高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理.doc
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理三角函数恒等变换知识归纳与整理一、 基本公式1、 必须掌握的基本公式(1) 两角和与差的三角函数 同名乘积的和与差 异名乘积的和与差 (2) 二倍角的三角函数 差点等于1 (3) 半角的三角函数 2、 理解记忆的其他公式(1) 积化和差同名相乘用余弦;异名相乘用正弦。留首项,用加法;剩
2、尾项,用减法。(2) 和差化积正弦加减得异名;余弦加减得同名。加法得2倍首项;减法得2倍尾项。 (3) 万能公式(全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式) (4) 辅助角公式 其中: 常见的几种特殊辅助角公式: 二、 理解证明1、 两个基本公式的证明的证明方法:在单位圆内利用两点间的距离公式证明。计算繁杂。在化简中注意使用“”的证明方法:在单位圆内利用向量的数量积证明。计算简便。运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。或者:在单位圆内利用三角函数线证明。构图较难。利用三角函数线的加减、平移来代换。2、 由两角和向差的演变方法:用代替,代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。3、 由余弦向正
3、弦的演变方法:用诱导公式把余弦转化为正弦:,展开即可推导出正弦的两角的和公式。4、 由正弦和余弦推导正切方法:利用:可以推导出正切的两角和与差有的公式。5、 由两角和推导二倍角方法:把换成代入两角和的公式,即可得到二倍角的三角函数公式。6、 由余弦的二倍角推导半角方法:由余弦的二倍角公式:,把换成,即换成,通过移项,整理,开方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。另外:关于正切的另一个半角公式:可以通过:来理解。特别体会其演变过程中的转化思想:分子、分母同时乘一个式子,向二倍角靠拢!然后再利用二倍角化简。7、 由两角的和与差推导积化和差方法:整体思考法:两角的和与
4、差的和差必然会相互抵清一些项。相加会抵消尾项,相减会抵消首项。这与完全平方的和与差的加减类似。会抵消中间项,剩下首尾项的2倍;而会抵消首尾项,剩下中间项的2倍。8、 由两角的和与差推导和差化积方法:对于两角和差的和与差来说,化成积并不难。利用展开相抵原则即可得到。关键是角度的转换问题。只有一个角无法展开。因此引入了一个合新的角度变换方法:把单角:和转换成两角的和与差:,。于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。9、 万能公式的理解方法:利用二倍角公式转换:,然后把分母“1”巧妙利用。,这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。值得高度关注。,然后上下再同时除以即得。同样利用二倍角公式转化
5、余弦:=再巧妙利用“1”的转化:,上下同时除以即得。对于正切的万能公式,直接利用二倍角公式即得。10、 辅助角公式的理解方法:辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。只是通过一些转换化成:的形式而已。对于来说:要通过换元法来转换,这种换元法叫三角换元法(以前的换元法叫代数换元法)。三角换元法是一种非常巧妙的换元方法,利用它能把两个毫不相干的变量联系起来,从而得到简化式子的作用。 分析思考过程如下:若直接换元:令cos,则怎样用三角函数式表示呢?无法完成换元过程,因此:化不成的形式。若提公因式呢!假如公因式为,则得:,此时令,也无法用三角函数表示出,因而化不成:的形式。所以公因式必然与、同时有联系
6、。考虑到三角函数的产生环境,我们不妨将常数、放到直角三角形中来思考:若、分别是直角三角形的两直角边,得斜边为:。这个常数显然与、都有关系。假如公因式是,则化为:此时令(此时在直角三角形中,为邻边,为斜边)所以:(此时在直角三角形中,为对边,为斜边)于是化为:根据两角和的正弦公式得:=在直角三角形中:(对边:邻边)当然:若令,则则于是化为:=所以:=此时:(对边:邻边)在此推导过程中,千万注意:两种演变中的是不同的(实质上这两个角互余)。不然就会产生以下错觉:。如果注意到两个角互余,那么就会得到:下面来分析这个结论:右边由诱导公式得:左边所以结论成立。三、 实际运用1、 给角求值:告诉已知角度,
7、求出它的一些倍角、半角等的值。(1)求、的值方法1:直接用半角公式可求得:=方法2:由两角的差求得:=同理可得:=方法3:用60与45的差角求得=同理可得:=方法4:利用直角三角形作图计算15D30CBA如图:直角三角形ABC中,A=30,C=90。延长CA到D,使AD=AB。则易知:D=15设BC=1,则AB=2,AC=;CD=2+ =同理可求得cos15=方法5:利用诱导公式和倍角公式求解:利用诱导公式我们知道:的值,然后利用倍角公式可求得的值,再利用诱导公式就可以求出的值。=,=同理可得:=,=(2)求+的值方法1:分别求出的值: 和 的值:二者相加得:+=方法2:直接利用辅助角公式计算
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