椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式-4...doc
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式-4.椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式 目录1引言2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式 2.1建立第一边值条件等价极小位能原理 2.2建立第一边值条件等价的虚功原理3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式 3.1建立第二边值条件的极小位能原理 3.2建立第二边值条件的虚功原理4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式 4.1建立第
2、三边值条件的极小位能原理 4.2建立第三边值条件的虚功原理- 椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式1引言 很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的, 在变分过程中增加了未知函数导数的阶数. 反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函, 使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说, 变分法最终寻求的是极值函数, 它们使得泛函取得极大或极小值. 变分原理在物理学中, 尤其是力学中有着广泛运用, 如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等, 几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达. 在当代变分已成为有限元法的理论基础,是求解边值问题的强力工具.2椭圆型方程第一边值
3、问题的变分形式椭圆型方程第一边值问题:, 其中是边界, 是平面区域定义:在解决第一边值问题的变分形式的过程中, 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式, 再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们需要考虑如下结果: 极小位能原理, 虚功原理, 格林第一公式.格林第一公式:是平面上的一有界区域,其边界为分段的光滑曲线,为曲线的单位外法向量,是沿的方向导数,则有: (2.1.3) (2.1.4)定义:其中是算符极小位能原理: 设是边值问题(2.1.3),(2.1.4)的解,则使达到极小.,反之,若使达到极小,则是边值问题(2.1.3),(2.1.4)的解.虚功原理: 设,则满足(2
4、.1.3),(2.1.4)的充要条件是:且对于任意满足变分方程,. 2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理(1)极小位能原理:设为一特定函数,令,则得到(2.1),(2.2)的等价问题: 构造的二次泛函在中,运用格林第一公式则下面回到原问题依据极小位能原理:是下列变分问题的解, .变分问题表述为:求使(是所有满足非齐次边值(2.2)的函数类构成的子空间) 2.2建立第一边值条件等价的虚功原理对任意的, 有.证明: 以乘(2.1)的两端并在上积分,得原问题的变分问题变为:求,满足变分方程,对任意的.3椭圆型方程的第二边值问题 在求椭圆型方程第二边值问题的变分形式时, 我们考虑如下模型方程. 我
5、们先运用格林第一公式和极小位能原理建立方程第二边值问题的变分形式 再运用虚功原理建立等价的变分形式.就: (3.1.1)是平面上的一有界区域,其边界为分段的光滑曲线,为曲线的单位外法向量.在上满足第二边值条件 (3.1.2) 3.1建立第二边值条件的极小位能原理取一特定函数,令,则 先运用极小位能原理和虚功原理导出等价的变分问题,则得到(3.1.1),(3.1.2)的等价问题 (3.1.2) (3.1.3)构造二次泛函:其中, 其中,又由格林第一公式知道 (3.1.6)原问题的变分问题的变分形式为:求,使得 3.2建立第二边值条件的虚功原理对任意的,有以乘(1.1)的两端并在上积分,得 (3.
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