高一数学--对数函数综合练习题(答案).doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高一数学-对数函数综合练习题(答案)对数的运算性质对数的运算性质1例题分析：例1用，表示下列各式： （2）（1）； （2）解：（1）；例2求下列各式的值：（1）； （2） 解：（1）原式=；（2）原式=例3计算：（1）lg1421g； （2）； （3）解：（1）解法一：；解法二：=；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。（2）；（

2、3）=例4已知，求的值。分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。解： 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。例5已知，求分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式。解：（法一）由对数定义可知：（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：， （法三）， 说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。1对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M

3、0 ，N 0， 那么（1）；（2）；（3）证明：（性质1）设，（性质3）设，由对数的定义可得 ，即证得 由对数的定义可得 ，即证得练习：证明性质2说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如 ；（3）注意定义域： 是不成立的， 是不成立的；（4）当心记忆错误：，试举反例， ，试举反例。例6（1）已知，用a表示；（2）已知，用、表示 解：（1）， log 3 4 - log 3 6 = （2）， ， 又，=换底公式1换底公式： ( a 0 , a 1 ；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，从而得： ， 说明：两个较为常用的推论：（1）

4、 ； （2） （、且均不为1）证明：（1） ；（2） 2例题分析：例1计算：（1） ； （2） 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = 例2已知，求（用 a, b 表示）解：， ， ，又， ， 例3设 ，求证：证明：， ， 例4若，求解：， ， 又 ， ， 例5计算：解：原式 例6若 ，求解：由题意可得：， ，对数函数例1求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由0得，函数的定义域是；（2）由得，函数的定义域是；（3）由9-得-3，函数的定义域是说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。例2求函数和函数的反函数。解：

5、（1） ； （2） 例4比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），.解：（1）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是例5比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ， （3）， ， ， （4）， 例6已知，比较，的大小。解：， ，当，时，得， 当，时，得， 当，时，得， 综上所述，的大小关系为或或例7求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（且）解：（1）令，则， ， ，即函数值域为 （2）令，则， ， 即函

6、数值域为 （3）令， 当时， 即值域为， 当时， 即值域为例8判断函数的奇偶性。解：恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。例9求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又， 或，故在上递增，在上递减， 又为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。例10若函数在区间上是增函数，的取值范围。解：令， 函数为减函数，在区间上递减，且满足，解得，所以，的取值范围为对数函数1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )（A） （B） （C） （D） 2.函数

7、y=logx1(3x)的定义域是 如果对数有意义，求x的取值范围；解：要使原函数有意义，则解之得： 原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5) (-1，+)函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。利用图像判断方程根的个数3已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。4若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围解：由原方程可化为，变形整理有（*），由于方程（*）的根为正根，

8、则解之得，从而5求函数的单调区间解：设，由得，知定义域为又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数的单调增区间为，单调减区间为题目2】求函数的单调区间。正解】由得x1或x5，即函数的定义域为x| x1或x5，当x1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；当x5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；所以的增区间是（-，1）；减区间是（5，）。6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集则有 或 ，解得 已知函数f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x

9、+1.(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.解：(1)(a21)x2+(a+1)x+10对xR恒成立.a21=0时，a=1，经检验a=1时恒成立；a210时， a1或a ，a1或a .(2)a21=0，即a=1时满足值域为R；a210时， 1a .1a .7的定义域为R，求a的取值范围。【正解】当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；当a0时，由题意得：；由得a的取值范围为0，4）。【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式。8.函数y=log(1x)(x+3)的递减区间是( )A.(3,1)

10、B.(,1) C.(,3)D.(1，)【解析】设t(1x)(x3)x22x3(x1)24由(1x)(x3)0得3x1当x(3，1)时，t(1x)(x3)递增ylog(1x)(x3)的递减区间是(3，1)9.已知函数yloga(2ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是( )A.0a1 B.a1 C.1a2D.1a2【解析】若0a1，则函数在定义域上是增函数；若a1，则当0x1时，2ax0恒成立即x，因此11a210.求函数y=loga(2-ax-a2x)的值域。【解】由于2-ax-a2x0，得-2ax1时，y=logat递增，yloga2；当0aloga2。故当a1时，所求的值域为（-，

11、loga2）；当0a1时，所求的值域为（loga2,+）。11.求函数y=log2log2(x1,8)的最大值和最小值.【解】 令t=log2x,x1,8,则0log2xlog28即t0,3y=(log2x1)(log2x2)=(t1)(t2)=t23t+2=(t)2 t0,3当t=,即log2x=,x=2=2时，y有最小值=.当t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8时，y有最大值=2.12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg

12、(3-x)有意义，则又lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),lgy=3x(3-x)。y=103x(3-x)(0x3)。（2）3x(3-x)=-3x2+9x=-3(x-)2+(0x3),0-3x2+9x。1y10。y=f(x)的定义域为（0，3），值域为（1，10）。13函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =_或 ；14已知函数 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性； 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值在 上单调递减，在 上单调递增当 时， ，当 时， 15、已知函数y=loga(1ax)(a0且a1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=

13、x对称。 (1)当a1时，函数的定义域和值域均为(，0)；当0a1时，函数的定义域和值域均为(0，+)。(2)由y=loga(1ax)，得1ax=ay，即ax=1ay，x=loga(1ay)，f1(x)=loga(1ax)=f(x)。f(x)与f1的图象关于直线y=x对称，函数y=loga(1ax)的图象关于直线y=x对称。16、.设，求函数的最大值。、1217、已知函数。(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域。 (1)函数的定义域为(1，p)。(2)当p3时，f(x)的值域为(，2log2(p+1)2)；当1p=时，f(x)的值域为(，1+log2(p+1)。18、已知 ，

14、 求函数的最大值和最小值 、19：已知的减函数，则的取值范围是（）A（0，1）B（1，2） C（0，2）D答案：B。解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有，故在0，1上定为减函数，依题设必有，故应排除A和C，在B、D中要作选择，可取，则已知函数为，但是此函数的定义域为，它当然不可能在区间0，1上是减函数，故又排除了D，从而决定选B。20函数 （ ）图象的对称轴方程为 ，求 的值解：解法一：由于函数图象关于 对称，则 ，即 ，解得 ， 或 又 ， 解法二： 函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对称，则它为偶函数，即 ，21 已知f(x)= 3(x1)2，求f(x)的

15、值域及单调区间.分析：分清内层与外层函数.解：令u(x)=(x1)2+33，则f(x) 3=1，f(x)值域为1，+).f(x)的定义域u(x)0，即(x1)2+30，x(1 ，1+ ).u(x)在(1 ，1上递增，在(1，1+ )上递减.0 1，f(x)在(1 ，1上递减，在(1，1+ )上递增.22已知y=log0.5(x2axa)在区间(， )上是增函数，求实数a的取值范围.解：函数y=log0.5(x2axa)由y=log0.5t与t=x2axa复合而成，其中y=log0.5t为减函数，又y=log0.5(x2axa)在(， )上是增函数，故t=x2axa在区间(， )上是减函数.从而

16、 a1， .23.已知函数f(x)=loga(ax2x)， 是否存在实数a，使它在区间2，4上是增函数?如果存在，说明a可取哪些值;如果不存在，说明理由.解：设g(x)=ax2x.当a1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2x)在x2，4上为增函数，只需g(x)=ax2x在2，4上为增函数，故应满足 得a .a1.当0a1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2x)在x2，4上为增函数，只需g(x)=ax2x在x2，4上为减函数，故 无解.a不存在.当a1时，f(x)=loga(ax2x)在x2，4上为增函数.对数函数的图象变换及在实际中的应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显

17、示了函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。一 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质（一） 图象的平移变换例1 画出函数与的图像，并指出两个图像之间的关系？解：函数的图象如果向右平移2个单位就得到的图像；如果向左平移2个单位就得到的图像，所以把的图象向右平移4个单位得到的图象注：图象的平移变换：1.水平平移：函数，的图像，可由的图像向左（+）或向右平移个单位而得到.2.竖直平移：函数，的图像，可由的图像向上（+）或向下平移个单位而得到.（二）图像的对称变换例2画出函数的图像，并根据图像指出它的单调区间.解：当时，函数满足，所以是偶函

18、数，它的图象关于轴对称。当时，。因此先画出，（）的图象为，再作出关于轴对称，与构成函数的图像，如图：由图象可以知道函数的单调减区间是，单调增区间是例3画出函数与的图像，并指出两个图像之间的关系？解：图象如图：把函数的图象作关于轴对称得到的图像注：图象的对称变换：与关于轴对称与关于轴对称与关于原点轴对称与关于直线轴对称的图像可将 ，的部分作出，再利用偶函数的图像关于轴对称，作出的图像.二 利用对数函数的图象解决有关问题（一） 利用图像求参数的值例4已知函数的图像如图所示，求函数与的值. 解：由图象可知，函数的图象过点与点，所以得方程与，解出，。（二）利用图像比较实数的大小例5已知，试确定实数和的

19、大小关系.解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，再作的直线，可得。注：不同底的对数函数图象的规律是：底都大于1时，底大图低（即在的部分底越大图象就越接近轴）底都小于1时，底大图高（即在的部分底越大图象就越远离轴）（三）利用图像解有关的不等式例6解关于的不等式解：在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为（四）利用图像判断方程根的个数例7已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。能准确地作出对数函数的图象，利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质。运用数形结合的数学思想，来研究对数函数的有关问题。-