直线、平面平行与垂直的判定与性质(证明题详细讲解).doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date直线、平面平行与垂直的判定与性质(证明题详细讲解)考点24、直线、平面平行与垂直的判定及其性质直线、平面平行与垂直的判定及其性质DCPAB（第16题）7. 在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是梯形，ADBC，ABC=90，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD.（1）求证：PA平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说

2、明理由.【解析】（1）因为ABC=90，ADBC，所以ADAB.而平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD平面PAB, 所以ADPA. 同理可得ABPA. 由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=A,所以PA平面ABCD. （2）（方法一）不平行. 证明：假定直线l平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以CD. 同理可得lAB, 所以ABCD. 这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰不平行相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行. （方法二）因为梯形ABCD中ADBC,所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T. 由TCD，CD平

3、面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB. 即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线与平面ABCD不平行. 8. 如图，在三棱柱中，分别为线段的中点，求证：ABCA1B1C1EFG （1）平面平面; （2）面； （3）平面【解析】(1) 平面平面平面平面 ABCA1B1C1EFG(2), 面； (3)连接，则四边形EFGB为平行四边形,平面。 9. 在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形，OA平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：（1）平面BDO平面ACO；（2）EF/平面OCD.【解析】证明：平面，平面，所以， 四边形是菱形，又，

4、平面， 又平面，平面平面 取中点，连接,则，四边形是菱形，为的中点， 四边形是平行四边形，又平面，平面平面 10. 如图l，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，ABC=600，E是BC的中点如图2，将ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点 (1)求证：AEBD； ABCDE图1ABCDEFP图2 (2)求证：平面PEF平面AECD； (3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由 【解析】（1）连接，取中点，连接在等腰梯形中，AB=AD，E是BC的中点与都是等边三角形 平面 平面平面 （2）连接交于点，连接，且 四边形是平行四边形

5、是线段的中点是线段的中点 平面 平面平面（3）与平面不垂直证明：假设平面， 则平面 ，平面 平面 ，这与矛盾与平面不垂直11. 如图，在四棱锥中，底面中为菱形，为的中点。（1） 若，求证：平面平面；（2） 点在线段上，试确定实数的值，使得平面。【解析】（1）连，四边形菱形 ， 为的中点， 又 ， （2）当时，使得，连接交于，交于，则为 的中点，又为边上中线，为正三角形的中心，令菱形的边长为，则，。 即： 。12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，M为PA的中点.（）求证：PC平面BDM；（）若PAAC，BD，求直线BM与平面PAC所成的角.【解析】（）设AC与BD的交点为O，连结

6、OM. 因为四边形ABCD是菱形，则O为AC中点.又M为PA的中点，所以OMPC. 因为OM在平面BDM内，所以PC平面BDM. （）因为四边形ABCD是菱形，则BDAC.又PA平面ABCD，则PABD.所以BD平面PAC.所以BMO是直线BM与平面PAC所成的角. 因为PA平面ABCD，所以PAAC. 在RtPAC中，因为PAAC，则PC2.又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MOPC1. 又BOBD，在RtBOM中，tanBMO，所以BMO60. 故直线BM与平面PAC所成的角是60. 13. 一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是直角边长为的等腰三角形）如图

7、所示，其中、分别是、的中点，是上的一动点.（）求证：（）求三棱锥的体积；（）当时，证明平面.主视图侧视图俯视图【解析】（）由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是直角边长为的等腰直角三角形，侧面, 是边长为的正方形. 连结, 因为, 所以，面 又, 所以，面, 面 所以 （）. 另解：（）连结交于,连结因为分别是的中点，所以/，/,所以，/,是平行四边形,面,面 所以，/平面. 14. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （1）求证：ACSD；（2）若SD平面PAC，在SC上取一点E，使，连接BE，求证：BE平面PAC.【解析】（1）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中， 所以,得.（2）由,知,在等腰三角形SCD中，O可解得. 在上取一点,使,所以， 连BN，在中知， 又由于,故平面，得.-