正三棱锥的内切球与外接球.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date正三棱锥的内切球与外接球正三棱锥的内切球与外接球正三棱锥的内切球与外接球 要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念-正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正

2、三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正

3、方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗？显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢？为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.-