电动力学6教案.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date电动力学6教案电动力学6教案第六章 狭义相对论本章重点：1、深刻理解经典时空理论和迈克尔逊实验 2、熟记狭义相对论基本原理、洛仑兹变换并熟练利用洛仑兹速度变换解决具体问题 3、理解同时的相对性和尺缩、钟慢效应， 4、了解相对论四维形式和四维协变量 5、掌握相对论力学的基本理论并解决实际问题本章难点：1、同时的相对性、时钟延缓效应的相对性 2、相对论的四维形式 3、电动

2、力学的相对论不变性的导出过程1 历史背景及重要实验基础19世纪末期物理学家汤姆逊在一次国际会议上讲到“物理学大厦已经建成，以后的工作仅仅是内部的装修和粉刷”。但是，他话锋一转又说：“大厦上空还漂浮着两朵乌云，麦克尔逊莫雷试验结果和黑体辐射的紫外灾难。”正是为了解决上述两问题，物理学发生了一场深刻的革命导致了相对论和量子力学的诞生。早在电动力学麦克斯韦方程建立之日，人们就发现它没有涉及参照系问题。人们利用经典力学的时空理论讨论电动学方程，发现在伽利略变换下麦克斯韦方程及其导出的方程（如亥姆霍兹，达朗贝尔等方程）在不同惯性系下形式不同，这一现象应当怎样解释？经过几十年的探索，在1905年终于由爱因

3、斯坦创建了狭义相对论。相对论是一个时空理论，要理解狭义相对论时空理论先要了解经典时空理论的内容。一、 经典力学时空理论简介我们知道参照系的选择是任意的，根据运动状态可分为惯性系和非惯性系（惯性：一个自由质点保持静止或匀速直线运动状态的性质）。不同参照系之间时空坐标存在一定的变换关系，在经典力学中惯性系之间的变换关系称为伽利略变换。1、 伽利略变换 伽利略相对性原理：在一切相对作匀速运动的惯性系中牛顿运动定律具有相同形式； 一切惯性系都是等价的，不存在特殊的惯性系。2、 经典时空观绝对时间：时间间隔与运动无关（任何过程所经历时间间隔在所有惯性系中均相同）；绝对空间：空间间隔与运动无关（任何物体长

4、度在所有惯性系中都相同）；时空独立：时间与空间相互独立，无必然联系，不受物质运动过程的影响，时间均匀无条件的流逝，过去为绝对过去，将来为绝对将来。为讨论时间、空间间隔，定义事件（在无限小空间元中无限短时间间隔内发生的物质运动过程称为一个事件，物质运动可视为一连串事件在时空中发展过程），事件本身与参照系无关，他可用任意一惯性系，时空坐标表示。3、 速度合成公式 或 4、牛顿运动定律的不变性 加速度： 质量： （假定质量在不同参照中不变） 牛顿第一定律对任何惯性系显然； 牛顿第二定律 形式不变； 牛顿第三定律 形式不变。二、 经典时空理论的局限性经典时空观与人们的日常生活感受基本一致，不能从理论上

5、证明，低速与实验一致。1、 光速为可变量假定光速在系中光速为，且各向同性。在系中测光速。根据伽利略逆变换 各向异性： 即沿x正方向 即沿x反方向 在系中光沿y轴时速度为多少？（时） 即 2、麦氏方程不满足伽氏变换 以为例，假定它为系中的形式，那么它在中的形式如何？ 因为不变量，为不变量，故认为，也为不变量。对于x分量， 同理可得其他分量关系 在这里人们证明算符变换为对于其他几个方程同样可证是可变的,特别是波动方程。3、伽氏变换下麦氏方程等可变性的三种看法（1） 伽氏变换与麦氏方程正确，伽氏相对性原理不适合电磁运动。（2） 伽氏变换正确，电磁运动服从相对性原理，而伽氏方程不正确。（3） 电磁运动

6、服从相对性原理，麦氏方程正确，而伽氏变换不适合高速运动惯性系间的变换。持第二种观点的只有极少数人，因为麦氏方程导出的许多结果与实验一致。而第三种观点也只有极少数人支持，原因是它违背了经典时空理论，而经典时空理论是当时物理学赖以生存的基础。多数人倾向于第一种观点，既电磁运动方程不服从相对性原理。那么它应当在一个特殊参照系中成立，在其它惯性系中方程形式将变化。这是一个什么样的参照系？它与什么固连？三、麦克尔逊莫雷实验实验目的：寻找电动力学规律成立的绝对参考系，即与以太静止的参照系。做了许多实验，结果相同。可以认为条纹没有移动，即地球相对以太静止（后来的许多次类似实验，精度越来越高，1972年激光实

7、验为）。这一结果引起很大轰动，但仍然有许多人不认为是理论计算有问题，而是在经典时空框架下解释实验结果。四、对实验结果的解释此解释将说明地球是宇宙中特殊天体（为地心说），同时说明太阳光在地球周围各向同性，但太阳相对地球运动，仍不符合经典速度合成。拖曳理论：地球不是绝对参照系。由于以太很轻，地球在以太中运动时，可以拖动以太一起运动，但它于光行差现象矛盾。2.相对论的基本原理和洛伦兹变换爱因斯坦经过10年的潜心钻研，突破了经典时空观的局限，建立了狭义相对论。一、 基本原理（两个公理）1、相对性原理（伽利略相对性原理的自然扩展）（1）物理规律对于所有惯性系都具有完全相同的形式。（2）一切惯性系都是等价

8、的，不存在绝对参照系。它是物理学的基本原理：否定了绝对参照系的存在，即否定了“以太”的存在。2、光速不变原理真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为c，且与光源运动速度无关。说明：它否定了经典速度公式，即否定伽利略变换。 光的速度大小与参照系无关，但方向在不同参照系中可以不同。光速数值不变，则不同参照系中时间、空间、尺度要发生关系，且尺度不同。二、 间隔不变性1、事件在无限小空间，无限小时间间隔内发生的物质运动过程，称为事件。或说在某一时刻，某一空间上发生的某一事件称为事件，用P表示描述。一个事件与参照系无关，但它可用某一惯性系中（x、y、z、t）四个坐标表示。 2、经典理论定义空间距离

9、 空间距离与运动无关。时间间隔：，时间间隔与运动无关。3、相对论理论中定义时空间隔先考察光在真空中传播过程的发射和接收两件事，P和。在系 令在系 令可知由光信号相联系的两件事S2，为零，故为不变量。对任意两件事和，可知定义：为时空间隔（间隔）。它是相对论时空理论的一个重要的基本概念，它将时间与空间统一起来，有着极为深刻的物理含义。 认为两件事可用光信号联系。 两件事不能用光信号联系，可认为是无因果关系。 两件事可用小于光的信号联系（因果关系的必要条件）。4、间隔不变性（1） 时空基本属性的两条基本假设： 空间均匀性因为选择时空任意一点作为坐标系的原点和选择任一时间的起点都不应改变物理规律，即空

10、间和时间都是平权的，没有特殊点存在。 空间各向同性：选择不同取向的坐标轴都不会影响物理规律，即空间不存在一个特殊的方向，各方向都是平权的。（2） 两事件在不同参考系中的间隔为不变量设在系两件事件间隔为，在系中为，假定他们之间满足关系：，（这可以从数学上证明，与均为二次式，当=0时若要求=0，则他们只能相差一个与二次式变量x、y、z、t无关的常因子。）举例：在系静止光源S发光，经M反射后到S接收，相对沿x轴正向运动。计算时间间隔与间隔。 系 系：在由光源运动。可以证明沿垂直方向距离不变，所以。光传播路程，求出， 三、 洛伦兹变换导出的特定条件：同一事件P在不同坐标系（惯性系）之间的变换。假定两系

11、重合时，原点上各自时钟均指零（或12点）线性变换假定：空间坐标系变换适应当时线性的。这是考虑到两个因素：1） 欧几里几何变换是线性的，恒星系也要求是线性的；2）该变换在一定条件下应回到伽利略变换。变换应满足相对性原理，特别是光速不变原理（体现在时空间隔）。该变换形式为： 由于是线性变换，应与x、y、z、t无关，仅与v有关。为简单，我们仅讨论沿正方向运动的特殊变换式特殊洛伦兹变换。洛仑兹变换：对变换式的分析、说明与讨论：（1） 意义：（2） 使用条件：作匀速运动，原点重合时，时钟均指零。（3） 在vc时，回到伽利略变换。（4） 它不仅适用于真空，同样也是用于介质之中。（5） vc即真空中光速为极

12、限。它说明物质运动或能量传播的速度的极限为c。（这里速度是指对某一系的速度）（6）时钟尺度与标准：各个惯性系上的时钟和尺内部结构假定都一样，且在自身中静止；每个惯性系中空间各点都放置一个钟，他们对于参照系是较准的（即 同步的）；任一事件的时空坐标由该事件上的钟和坐标上的尺度来确定，钟和尺读数的纪录者简称观察者（或观察者）。3 相对论时空理论一、 相对论时空结构1、 再论间隔设第一事件时空坐标（0，0，0，0），第二事件任意（x，y，z，t） 则 为空间间隔分类 两事件用光信号联系 两事件可用低于光速的信号联系 两事件不能用光信号联系由于 则 即与参照系无关。这种划分时绝对的。2、光锥间隔分类的

13、几何意义相对论时空本质上是四维时空。我们为直观考虑二维空间和时间（三维时空），每一事件用此三维时空坐标中一点P表示，将上面分类用几何图形绘出，得到一个对顶圆锥结构，称为光锥。P发生在锥面上 ；P发生在锥内 ，类时间隔。P发生在上半光锥，为绝对将来 P发生在下半光锥，为绝对过去 所以对于发生在上半锥的事件，在任何系均发生在上半锥，即上、下半锥不能互换。以后将看到他将是因果关系成立的条件。 P点光锥外 ，称为类空间隔。设，而有两种可能 或 二、 因果律和相互作用的最大传播速度1、 相对论时空理论不破坏因果律有因果关系的事件之间必然可用光和小于光速的信号相联系，因此必然发生于光锥之内，发生于光锥之内

14、的事件先后顺序在各个参考系都不会改变。这是因果律成立的必要条件。例如，假定原点O发生的事件与P点发生事件有因果关系，在系中O先发生，P后发生，则在任何系中都是O先发生，P后发生。2、相互作用的最大传播速度对于任意两事件 由洛伦兹变换 假定 ，要有因果关系，必须要求 因此有： 即： 令 如果两事件有因果关系，则他们为P1对P2作用的传播速度或认为是相互关系的传播速度（或物质、影响等传播速度）。得到，且v为任意，可知，最大传播速度为c。这一传播必然是一个物理过程，传输时必然伴随能量。因此可知，只要能量传输的速度不超过光速c，则因果关系就不会倒置。就目前所知，总是成立的。三、 同时的相对性已知两事件

15、间坐标变换为1、 同时同地事件2、 在系中同时同地两事件，则在系中同地不同时事件在系中同地不同时两事件，设。则在系观察两事件： 因为，所以不改变事物发生的顺序，即不改变因果律。而，两事件变为不同地不同时事件。3、 同时不同地事件（同时相对性） 在系中同时不同地两事件 若，则在系中观测 ， P2先发生若，则在系中观测 ， P1先发生四、 运动尺度的收缩1、长度标准：不同参照系中的长度均用同一种自然尺度为标准，例如用原子辐射波长定义长度。2、固有长度：与物体相对静止的参照系中测量到的物体的长度，记做。3、运动长度：与物体相对运动的参照系中测量到的物体的长度，记做。4、两种长度之间的关系假定物体（尺

16、子）与固连（静止），尺的两端点坐标为和，固有长度。 在系测量是当与重合，与重合的同时进行测量的。长度（运动长度） 有洛伦兹变换 设即 ， 为相对系的速度大小。5、分析与说明 运动尺度收缩： ，沿运动方向尺度收缩。其中是物体相对静止系的速度； 运动尺度收缩是相对的，即在上观测与相对静止的尺子，同样收缩（用反变换可的）； 尺缩是观测结果，但用眼看，物体并非一定变扁，看到的也不是一个扁形世界。原因：长度测量是根据物体上不同点同时发出的光进行的。眼睛看到的是物体各部位不同时刻发生的光在某一时刻同时到达眼睛所成的象。一个薄板在正面看，沿运动方向的确变扁了，但若是一个立方体，看到的不是变扁，而是转动了一个

17、角度， 尺缩效应是时空的基本属性，与物体内部结构无关。是测量运动物体的结果，他也是相对理论的必然结果。五、运动时钟延缓效应1、计时标准：事件尺度也是以某一物理过程为基准的。例如用分子振动或原子跃过辐射的周期。一个标准的钟静止在哪一个系中，走时都是一样，同一系的钟（空间各点一钟）是同步的。对于同一事件，说他发生的时间是某一系用自身空间上的钟计时的。2、固有时概念和时间间隔固有时：与某惯性系相对静止的钟所记录的时间称为固有时，记作。固有时间隔：与参照系相对静止的钟测到的静止物体内部自然过程经历的时间间隔，称为固有时间隔。时间间隔：相对某系静止的钟测到的某运动物体内部自然过程经历的时间，记作t。3、

18、运动时钟延缓（爱因斯坦延缓）设物体内部发生的物理过程起始时刻为事件P1，结束为P2，假定在系统物体静止，则，固有时间隔为，则在系统中观测这两事件：（反变换），得 4、分析与说明： 运动时钟延缓：只与速度有关，与加速度无关； 时钟延缓是相对的，但在广义相对论中延缓是绝对的； 时钟延缓是时空的另一基本属性，与钟的内部结构无关； 它与长度收缩密切相关。六、速度变换公式 洛伦兹变换求微分：分析与说明：（1）v c, 回到伽利略变换。（2）若在一个参照系中物体运动速度小于光速, 则不能通过参照系的变换使物体的运动速度大于光速。 （3）物体运动速度小于光速是指相对某一惯性系的运动速度，不排除超光速的现象存

19、在。如在一个惯性系中测量两个相反方向运动物体的相对速度（即分离速度）可以大于光速4 相对论理论的四维形式一、物理量按空间变换性质分类物理量分类有许多方法，这里仅讨论按空间转动将物理量分类。1、标量。 空间转动变换中不变的量称为标量。例如：质量，电荷，空间距离。2、矢量。 空间转动变换中按 方式变换的量称为矢量。（与坐标形式相同），记为例如：速度，如速度，力，电场强度等。以及算符。3、二阶张量。 在空间转动变换下按 方式变换的具有9个分量的物理量。记为。例如：应力张量，电器极短张量等。4、使用自由指标判断。标量：无自由指标，又称为零阶张量。矢量：一个自由指标，又称为一阶张量。张量：两个自由指标，

20、又称为二阶张量。例如：两矢量点积无自由指标为标量；张量与矢量点积，一个自由指标为矢量。二、洛伦兹变换的四维形式下面讨论四维变换以及在先该变换下物理的分类及变换形式。1、 四维空间的转动变换。（三维情况的推广）转动中的不变量：（ 变换表示式： 正交条件为2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换。洛伦兹变换下间隔为不变量，即：与转动变换中不变量表示形式稍有差别，但若定义 ，则因此它为复四维空间的“转动”变换。该空间又称为闵可夫斯基空间（1907年提出）。变换形式与变换矩阵：写成矩阵： 正变换形式 反变换形式 三、四维协变量协变量：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质。洛伦兹协变性：在洛伦兹变换下物理

21、规律的数学方程保持不变的性质。四维协变量：在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。即，在变换下方程不变，方程中的同一类物理量被相同变换形式变换，这样的物理量统称为四维协变量。 洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量。 例如：电荷Q，时空间隔，固有长度，固有时间隔，静止质量m0，四维空间的体积元。固有时间隔为不变量的说明：设为静止坐标系中同地两事件（一个自然过程）的时间间隔，若设物体静止在系过程的时间间隔为dt，则将它放在系中并静止。这一过程的时间间隔为dt，显然dt= dt。它可由间隔不变导出：在静止 （空间间隔为零）在静止 （空间间隔为零） 注意：这与时钟延缓表述不同，时间间隔dt 是一个

22、可变量 不是洛伦兹意义下的标量，它是四维位移中第四个分量的一部分。 四维矢量：具有四个分量，在洛伦兹变换下与坐标变换形式相同。 四维空间的位移： ， 四维速度。用固有时度量四维空间的位移可得四维速度。 ，它的变换关系为 （ ，因此它为四维矢量与三给速度间的关系：用度量得到的为三维空间速度矢量。 ，不是四维速度的前三个分量。令某物体沿系正方向运动，它的三维速度大小为V，固有时为dt ，系上度量时间为dt ， 令 四维波矢量平面电网磁波波矢量圆频率w在洛伦兹变换下是可变量，但其位相 引入， 。 为四维矢量，称为四维波矢量。（前三个分量既为。它的变换式为 ，具体写出，由 光行差。设系光波矢，两矢量间

23、有一夹角，这就是光行差 ，由 ， ， tg一般情况 假定恒量与系固连，地球与固连。相对以v沿x轴运动。在地球观测，用-v代v。 与第一节叙述结果相同。3、相对论多普勒效应：设光源静止时，静止观察者测到光频为，运动时，静止观测到当光源靠近观察者时当光源远离观察者时当光源垂直观察者运动时. 光波的相对论多普勒效应由公式 设光源在系中静止，上观测在系中静止观察者观测，即光源靠近观察者：，即光源远离观察者： ，即光源垂直于观察者运动： 这一结果与经典理论结论完全不同，称为横向多普勒效应。它已被实验证实，是狭义相对论正确的有力证据之一。4、怎样验证描述物理规律的方程的协变。检验描述物理规律方程是否协变，

24、最一般的方法是将该方程化为四维形式，而物理量转化为四维协变量，如果能够实现这种转化，则方程一定是协变的。标量 无自由指标（注 光自由指标的量不一定都是标量）；矢量 有一个自由指标；张量 有两个自由指标。5电动力学的相对论不变性本节主要论述如何将描述电动力学的方程转化为四维形式。一、四维电流密度矢量1、电荷密度的可变性电荷量是洛伦兹标量，即。（电荷量与运动无关。）电荷密度与体积有关，长度在运动中收缩，体积必然变化，密度是一个可变量。（设静止密度为，它是一不变量。）设带电体与固连，运动速度为， ，体积在二系观察者测量带电体密度分布为，体积为dv，由于运动尺缩： 注意：这里带电体可沿任意方向运动，且

25、不必是均匀速度，在某一瞬间与带电体可有一瞬时惯性系存在。2、四维电流分布矢量。在系是测得，而四维速度引入则可引入四维电流密度 很显然它是一个四维矢量，它将统一为整体，满足洛伦兹变换。具体形式 3、电荷守恒定律的四维形式 它没有自由指标，为洛伦兹标量，因此在洛伦兹变换下形式不变也可以直接证明它为不变式，引入四维矢量算符：二、四维势矢量与达朗伯方程的四维形式1、达朗伯算符。麦克斯韦方程可以转化为由，在洛伦兹规范下形式为：引入算符： ，为洛伦兹标量算符。达朗伯方程可写为 （由此可见洛伦兹规范的重要性）2、四维势矢量。 在洛伦兹变换下它的具体形式为3、达朗伯方程四维形式 4、洛伦兹规范条件的四维形式：

26、， 四、 电磁场张量与麦氏方程组的四维形式统一为，统一为。它们为四维矢量。其中标量正好作为的第四个分量。由于有6个分量，显然不能构成四维矢量，但是可以想办法构成四维张量。 由四维势引入电磁场张量。已知 可得到， 定义四维电磁场张量：具体张量为 写成矩阵形式 2、麦氏方程的四维形式（仅讨论真空情况） 6 相对论力学经典力学在伽利略变换下形式不变（具有伽利略因变性）。它符合经典时空理论，但一般它仅应用于。当时，时空理论为相对论时空理论，变换应当满足洛伦兹变换。而原来的力学方程显然不适合洛伦兹变换。本节主要讨论相对论力学方程。一、能量动量四为矢量（简称为4维动量）1、 经典力学的牛顿第二定律： 符合

27、伽利略变换由于均不是洛伦兹协变量，他们不满足洛伦兹变换。 2、用四维速度定义四维动量：（在相对论中认为刻划物质惯性量度的质量不是洛伦兹标量）已知四维速度矢量假定物体相对参考系静止时的质量为m，它是一个洛伦兹标量（不变量）。定义四维动量： 前三个分量为3、运动质量概念为静止时的质量，称为静止质量，为了让动量四维式前三分量与经典形式上一致引入运动质量与经典形式上相同。 4、与能量相关 将做泰勒展开 可见与能量相关为经典动能，也为能量量纲 但当时，可舍去高次项中仅含两项，一项为经典动能，另一项代表什么？ 设为物体具有的能量，即： 能量动量矢量，为相对论不变量。5、静止能量与动能当时，物体相对静止，定义此时动能为零但此时，称为静止能量，这在经典力学中不存在。当时，物体具有的能量为，所以动能应为与经典动能不同，但在，称为质能关系。我们知道动能是在动能势能转化和守恒中得到物理意义的，而能量是在与其他形式能量转化是得到意义的。可见静止能量可以转化为其他形式的能量。-