浅析数学中的美.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date浅析数学中的美浅析数学中的美浅析数学中的美刘志有（咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 712000）摘 要数学是研究现实世界中的空间形式与数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，数学对推动人类生产生活和改造自然起着重大的作用数学美即是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法等等之中的简单、和谐、严谨、奇异等形

2、式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美本文将论述数学中的简洁美、对称美、和谐美、符号美、奇异美、意象美，这些美不但令人赏心悦目，能够陶冶人的性情，能够使人聪明，而且更能使人高尚. 研究数学中的美，使我们感受美的神韵，提高我们对数学的学习兴趣，培养良好的思维品质，提高我们的数学素养，使我们更加热爱数学，进而更加热爱科学关键词 :简洁美；对称美；和谐美；符号美；奇异美；意象美Simply Analyzing the Beauty in the MathematicsLiu Zhi You(Xian Yang Normal University Mathematics and

3、 Information Science Department Shaanxi 712000)AbstractMathematics, not only as a kind of science which research the relationship between the space form in the real world and the stichomythic but also as a scientific language and the effective tool which portrays natural laws and the social rules ,

4、plays a significant role in impelling the humanity to produce lives and transforming our mother nature. Mathematical beauty is one of science beauties, which is a form of simplexes, harmony, precision and singularity of its own abstract conception, the formula symbols, propositional model, structura

5、l systems, reasoning argument, mode of thinking and so on. It is a free-form in the mathematical creation it reveals the regular pattern. It is a real beauty science. The following paper will state the compact beauty, symmetry beauty, harmonious beauty, symbol beauty, singular beauty, image beauty i

6、n the mathematics. These beauties not only make us pleased, singular and wise, increasing our interest but also make us a noble person. In research of the beauty of mathematics, we can feel the spirit of the beauty, stimulate our interest in mathematics-learning and develop our good thinking quality

7、 which makes us love math more as well as loving science more.Keywords: Compact beauty；Symmetry beauty；Harmonious beauty；Symbol beauty；Singular beauty；Image Beauty目 录摘 要IABSTRACTII前 言11数学中的简洁美21.1 数学语言的简洁性21.2 数学方法的简洁性42数学中的对称美52.1对称性在几何中的应用52.2对称性在积分中的应用72.3对称性在方程中的应用83数学中的和谐美93.1美丽的黄金分割93.2数学推理的和谐

8、性104数学中的符号美114.1数学符号的方便性114.2数学符号的简洁性124.3数学符号的代表性125数学中的奇异美125.1数学方法的奇异性125.2数学思维的奇异性136数学中的意象美146.1数字与诗歌146.2数学与诗歌16结束语17参考文献18谢 辞19-前 言古希腊有一句名言：“哪里有数，哪里就有美”美国数学家、数学史家克莱因说过：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善生活，但数学却能提供上述这一切”著名哲学家罗素曾经指出：“数学，如果正确地看待，不仅拥有真理，而且也拥有至高的美”数学是研究现实世界中的空间形式与数量关系的科学，

9、是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，数学对推动人类生产生活和改造自然起着重大的作用然而，长期以来，许多人们只注重数学的实用性原则，忽视了数学的美学原则，把数学讲得枯燥无味，使得许多人，尤其是中小学生对数学失去了兴趣甚至产生了厌烦的情绪，其仅仅是为了应付考试，为了进入好的中学或大学，才硬着头皮去做那浩如烟海的习题，于是越做越烦，越烦越没兴趣，形成了恶性循环究其原因，除了社会的诸多因素之外，有一个基本的因素是学生没有感受到数学的和谐与优美，学起来味同嚼蜡自然收不到好的学习效果数学美即是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法等等之中的简单、和谐、严谨、奇

10、异等形式，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美数学语言的概括性、简洁性、抽象性，数学知识的真理性，数学方法的多样性、灵活性、科学性，数学思维的新颖性、独特性、奇异性，等等，都是数学美的具体内容和表现形式数学里美的定理、概念、公式、问题、理论、方法、思想，简直就是一座美丽的大花园，开的都是人类思维的花朵，它们中有空谷幽兰，高寒杜鹃，老林中的人参，冰山上的雪莲，绝顶上的灵芝，抽象思维的牡丹例如2：爱因斯坦著名的质能公式，(能量，质量，光速)被誉为“神仙写出的公式”，它将深刻而复杂的自然规律一经数学抽象，竟成如此简单精练的数学公式；欧拉公式，被誉为“数学中美的典范，数学中最卓越

11、的公式之一”，它将看似毫无关系的五个数“0、1、”却神奇的联系在了一起；数学中的圆堪称数学家心灵和智慧创造的数学艺术美的杰作还有，闻名世界的埃及金字塔、维纳斯的雕像、蒙娜丽莎的微笑画像等等都是艺术家们应用“黄金分割率”创造出的传奇之作本文将论述数学中的简洁美、对称美、和谐美、符号美、奇异美、意象美，数学中的美不但令人赏心悦目，能够陶冶人的性情，能够使人聪明，而且更能使人高尚研究数学中的美，使我们感受美的神韵，提高我们对数学的学习兴趣，培养良好的数学思维品质，提高我们的数学素养，从而使我们更加热爱数学，热爱科学.1 数学中的简洁美爱因期坦说过 3“美，本质上终究是简单性”朴素、简单，是其外在形式

12、，只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完这首诗4，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁明了，微言大义数学和诗歌一样，有着独特的简洁美以下将从数学语言的简洁性及数学方法的简洁性两个方面论述数学的简洁美1.1 数学语言的简洁性数学语言是一种特殊的语言，从形式上大致可分为数学文字语言、数学符号语言和数学图式语言数学中的文字语言是数学化了的自然语言，或者称为自然语言中的数学语自然语言常具有模糊性，而数学是严谨的，容不得含糊所以，数学中的文字语言不是自然语言文字的简单移植或组合，而是经过一定的加工、改造、限定、精确化而形成的，并且，这些语言具有数学学科

13、特指的确定的语义，常以数学概念、术语的形式出现如数学中的直线、全等、连续、区间、组合、相似、极限、轨迹等都是自然语言的精确化；绝对值、正值、中线、中位线、有理、无理等都是对自然语言中的文字进行限定的结果；增加几倍、扩大几倍、概率、正弦、可微、可积等都是具有特定含义的数学文字语言有些数学语言本身还具有比喻或象形意义，如扇形、补角、射影、倒数、锐角、钝角、参数、行列式等数学词语，似乎能给人一种语言直观，使人较为自然、容易地领会和理解自然语言是数学文字语言形成与发展的基础，数学文字语言不仅借用了自然语言中的文字，沿用了自然语言中的语法规则，而且在大多数情况下两种语言的语义也是一致的符号语言是数学中通

14、用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式“数学的效能来自数学符号”5按感知规律，数学符号分为三种：象形符号、缩写符号、约定符号. 象形符号是由数学对象的空间位置结构或数量关系经抽象概括得到的各种数学图形或图式，再经缩小或改造而形成的一类数学符号如几何学中的符号、等都是原形的压缩改造，属于象形符号缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如函数(function),极限lim(limit)、正弦（sine）、最大（maximal）、最小（minimal）等符号均为此类. 约定符号是数学共同体约定的，具有数学思维合理性、流畅性的数学符号，如运算符号

15、、，存在（）、任意（）、全等（）、相似（）、大于（）、小于（）、存在（）、任意（）等均属此类图表语言是指包含一定数学信息的各种图或表，可细分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图象语言（函数图象或统计线图等）和格表语言（统计数据表、分析表、框图等），它们是数学形象思维的载体和中介，也是数学思维的重要材料和结果，而且还是进行抽象思维的一个重要工具我们必须确认，图表也是一种数学语言，是数学的一种直观性语言，是对其他两种语言的补充，它与数学概念、术语、符号与式子等一起构成数学语言系统尤其在当今信息化社会，人们会经常地在各种媒体上看到或阅读到某种载有一定数学意义的图形、图象或格表，这些图

16、形、图象或格表作为信息传递的一种形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直观所以，掌握图表语言是现代社会的要求，学生必须学会读图，掌握图表语言，要能够从图形、图象和格表中读出蕴涵的信息来三种数学语言各有优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；数学符号虽然抽象，但十分简洁，描述起来给人以结构感；图表语言比文字语言和一般符号语言更具直观性，容易形成表象为了使数学内容不那么难懂，能够借助母语理解，在实际表述数学思想内容的时候，常结合自然语言的表述，所以，一种数学思想内容的表达常是数学符号语言、文字语言、图表语言和自然语言的优势互补和有机融合数学语言作为一种

17、语言，是数学交流的工具，是数学思维的载体但是它和自然语言(如汉语、英语)却有着诸多不同数学语言抽象而精确、简练而多样、科学而通用1.2 数学方法的简洁性应用题的解法常有多种，我们也提倡解决问题的方法多样化，那么在这多种解法中如何判断其优劣呢?其最主要也是最基本的标准是否简捷例1.2.1 一条路长1200米，某工程队前3天修了全长的，照这样计算，修完这条路还需几天?解法一： (天)解法二： (天)解法三： (天)解法四： (天)后两种解法运算量小，道理也很清楚，特别是第四种解法利用天数与与工作量的关系，一下子算出总天数，再减去已用的3天，马上得解，因而也是最清楚、最美的解法在高等数学中,求不定积

18、分比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来得困难,因为其中需要技巧. 我们提倡快乐数学，用朴素、简明、生动的语言表达深奥的道理. 把求不定积分的主要技巧、思路经过提炼，编成顺口的便于记忆的口诀，学生很容易掌握求不定积分的方法.口诀是：心中有张积分表，做题想法去对照，表中没有换变量，积分换成表中样，查表得出原函数，积分变量换原样，遇到乘积和超越，分部积分有特效，办法总比困难多，熟记口诀实在妙.例1.2.2 5 求不定积分.解 ，（为任意常数）.例1.2.3 5 求不定积分.解 ,（为任意常数）.简洁美并非单薄、初等、低级, 而是用简单的原理、公式概括大复杂的事实, 这样的简洁就显得深远，且充分显

19、示出科学理论之美. 数学的这种简洁美，用几个定理、公式、概念、理论，是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使己有的定理更简洁. 正如伟大的希尔伯特曾说过6“ 数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着” 数学中的简洁美无处不在，从自然数到哥德巴赫猜想，只要有数学的地方，你总会采撷到数学的简洁美数学符号、图形的使用可以替代语言文字，同时又浓缩了语言文字的全部含义这给研究问题带来了方便，提高了工作、学习效率.总之，数学的抽象符号及直观的图形中有美的形象，数学的逻辑推理中更有简洁美的神韵2 数学中的对称美“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法在“

20、对称”中往往体现出数学的“美”来充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效的通道，而且常能起到化繁为简，出奇制胜的效果亚里士多德指出：认为数学不涉及美或善是错误的数学特别体现了秩序、对称和明确性，而这些正是美的主要形式下面就对称性原理在数学中应用的几个方面作一些介绍，从中体会一下数学上的对称之美及对称性应用之妙2.1 对称性在几何中的应用在几何方面，对称性较为直观，通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象.球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的，利用它们的对称性可以解决许多几何问题在欧氏平面几何中，过两点可作一条直线，但两直线不总有一个交点(当这两条直线平行时)，如果我们设想两

21、平行线相交于无穷远点，那么就形成完全对称关系了. 正是基于这种对称性的“弥补”而推进了几何发展，建立了射影几何学. 在射影几何理论中，点与直线始终具有对称的重要特性，例如：两点确定一条直线，两直线确定一点；不共线三点确定一个二角形，不共点三直线也惟一地确定一个三角形等等这样一来，欧氏平面几何中的定理与射影几何中的定理之间也构成了一种对称关系在平面几何的定理中，若将其中“点”换成.“直线”，“直线”换成“点”，就可得到相应的射影几何中的定理例如7：由德萨格定理“若两个三角形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线”，经过对称地变动，即得“对偶定理”，若两个三角形对应边的交点共线，则其对应顶点的边

22、线共点例2.1.1 证明等腰三角形的两底角相等.CBA分析 此题的常规证法是通过作等腰三角形底边上的高而得到两个全等的三角形,从而由对应角相等来证明命题成立若我们能发现与的对称性就能够更简单地证明.证明 如图右所示,在与,因为, , ,所以因此当然,此题用常规思维,通过作底边上的高同样比较容易证到所要证的结论.但利用对称性来证明是一种很好的证明方法，更加简单，能够培养人的发散思维 GFEDCBA例2.1.2 如图，的三边分别,和分别是中，的外角平分线，垂足分别为、，求分析 从图形上看，与可能是平行的，于是猜想可能是某个三角形的中位线，那么想象中的三角形是哪个三角形呢？已知图形中给出了对称条件：

23、角平分线，由此而想象到把沿折到，把沿折到，这样既补全了完美的轴对称图形，又得到了一个完整的，而且易证就是的中位线，所以这显然是在图形美的追求过程中捕捉到解题灵感的.例2.1.3 8 已知中，的对边分别是,且，,求证：是等腰三角形分析 考虑到已知式、的对称性，用的代数式表示，进而可考虑构造出一元二次方程来探路求解. 解 由，得，于是构造一元二次方程，可见是该方程的两个实数根，故有，即，但，所以，即是等腰三角形. 在解题中给我们的启迪是什么？是它们的对称，是解题方法的巧妙. 对称性是数学发现与创造中的重要的美学因素. 解题时一旦题目提供的知识信息与学生的审美情感吻合，就会激起学生的审美直觉，从而迅

24、速、正确地确定解题方法，解题思路、解题策略.数学解题是一种审美活动，是审美情感支配下对数学美的追求. 2.2 对称性在积分中的应用对称是数学形态美最重要的特征，正如著名数学家魏尔所说：“美和对称紧密相连.”在积分学中，对称区间上的定积分依被积函数的奇偶性可变得简单，即在对称区间上，若函数为偶函数，则,若为奇函数，则，用积分求平面图形的面积和空间立体的体积时，若能首先断定所给的平面图形和空间立体是对称的，则只须分别求出其中一个对称块的面积和体积，再乘以对称的块数即可，因此利用对称性使计算变得十分简单在微积分中，可以利用对称性来求微分、积分等例2.2.1 9 求积分，其中为椭球体分析根据椭球体的变

25、量之间、参变量之间与的积分变量之间、参变量之间均具有对称性,可以把拆分成，只要求出其中任一个(不妨设)的值，就可以求出其余两个(,)的值，只需把所得结果中的参量()替换成相应参量(或)就可以了，例如，若求，解 令，其中表示椭球面，其面积为，所以 由对称性知，所以 对于此题，用通常的球坐标变换也能把积分求出来，但利用对称性计算更简洁、方便 2.3 对称性在方程中的应用例2.3.1 同学们乘坐公共汽车去参观，出发半小时后，小明乘高速客车追赶，问多少时间追上？公共汽车速度：60 / 高速客车：80 / 分析：这是一道初中的数学问题，也是常见的物理现象，我们根据题意可以很快列出方程. 由题意知这是相对

26、速度问题或者为等距离问题(1) 等距离思路解 设经过小时追上，则经过小时后，公车行驶时间为，距离为0. 5+ ；高速客车行驶时间为，距离为. 两者从同一地点出发，追上时肯定行驶距离相等 (小时)(2)相对速度思路公车早出发半个小时，也就是说，在小明开始出发时，公车已经行驶600.5=30 了，这距离也就是两者相比多出来的. 但是小明的车快啊，所以这部分多出来的距离必须靠速度的差距来弥补. 他们的速度差距是多少？就是了，用这个速度80-60=20 / ，行驶小时后赶上，方程式不是很简单吗？ (小时)无论用那种方法列方程，都体现了对称思想，解的过程也一样通过以上运用对称性解答题目，可知解题的简洁和

27、快捷例2.3.2 求函数在满足条件的最大值解根据x与y的对称性令,于是故当即时，取得最大值此题也可用代数方程和求导方法解之，但相比之下，上述利用对称性的特点的解法较为简便对称在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则3 数学中的和谐美和谐美，或称统一美，是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同

28、层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之间所存在的内在联系或共同规律和谐性是数学结构美的重要标志，是数学家不懈追求的永恒目标，也是数学发现与创造的美学方法之一作为研究客观世界数量关系和空间形式的数学科学，反映了客观世界的和谐统一性，正如希尔伯特所说：“有机统一，是这门学科固有的特点，因为这是一切自然科学知识的基础”3.1 美丽的黄金分割17世纪德国著名的天文学家、数学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作为宝石矿”6可见黄金分割在数学中的重要性“数字”与“艺术”之间存在着巧妙而密

29、切的联系，人类早已对此表示出了极大的关注并进行了深入不懈的探讨和研究最早提出黄金分割这一名称的是中世纪著名画家达芬奇艺术家们都着力于研究自然界，为的是在画布上忠实地再现它于是他们面临着一个数学问题，就是怎样把立体的现实世界绘制到平面的画布上去达芬奇与他同时代的一些绘画家经过研究认为，数学特别是其中的几何学，与绘画有着密切的关系达芬奇尤其坚信数学的透视法是使画面再现实体的唯一途径，因此他十分注意对透视原理和线段间比例关系的研究在达芬奇的绘画法则中，充分吸收了黄金分割的几何意义，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位“黄金分割”代表着一种至高的“和谐” 黄金分割是人类艺术的宠儿，特别是绘画，建筑和摄影.

30、 雅典巴台农神庙、巴黎圣母院等著名建筑的外观，都利用黄金分割比给人以美的享受，金字塔的斜面三角高与底面半边长之比也是黄金分割比数的和谐能够产生美感效果，和谐是由一定数的比例关系中派生出来的把这种数的比例关系推广到音乐、绘画、雕刻、建筑等各个方面就可以得到动听的音乐，美丽的绘画、雕刻、建筑等等 “黄金分割率”就是和谐比例关系的其中之一3.2 数学推理的和谐性推理是从一个或几个已知的判断得出一个新的判断的思维过程其结构包括前提和结论两部分，已知的判断称为推理的前提，得出的新判断叫做推理的结论正确的推理要求前提真实，要求运用符合形式逻辑的推理方式，遵守推理规则xy-33数学推理的严谨性和无矛盾性也是

31、和谐美的一种体现和谐性在数学中还表现为一定意义上的不变性，即在不同对象或同一对象的不同组成部分之间总有共同的规律存在例3.2.110 如右图，已知函数的一段图象，求这个函数的解析式解 易知，因为，所以，将最高点代入得，所以，又，所以，所以函数的解析式为：.在上述求的过程中，若将零点代入可得，所以，又，所以或，但当时，点不在函数的图象上，难道以上推理错了？奥秘何在？事实上，只要考虑正弦曲线与轴的交点情况不难发现，若是位于递增段上的零点，则；若是位于递减段上的零点，则，按此奇、偶分布规律，由于上述零点位于曲线的递减段上，所以有，又，所以，与最高点代入法得到的完全一致，这正是数学推理和谐美的一种体现

32、数学中严密的数学推理犹如艺术作品中合理的布局、流畅的线条和层次分明的色阶严谨是数学本身一大特点，所谓严谨就是使用精确的数学语言进行严格的推理论证和计算，整个系统内部是和谐的由于数学不同于物理、化学等实验型科学，理论系统的严谨性就成为其赖以生存的首要条件和谐性则是严谨性的必要条件，由于数学理论的严谨，其和谐性表现特别突出，有人把和谐列为“数学美”的标准之一严谨性是理论系统序化的特点，一切缺乏组织的随意定义和扩充的理论是谈不上严谨的，当然也就不可能和谐4 数学中的符号美数学符号是最简洁的文字，表达的内容却极其广泛而丰富，它是数学科学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面数学的世界是一个符号的

33、世界，数学语言就像一座灯塔，照亮了自然的未被揭示的秘密数学语言是由一些符号和记号组成的语言因此符号是交流与传播数学思想的媒介我们就从下面几个方面看看数学的符号美4.1 数学符号的方便性数学符号的第一大特点就是它的方便性，正是数学符号的方便性决定了它持久的生命力数学符号一直不断地在方便性上逐步改进，不断完善它美的魅力二进制的得宠就在于它便于电子计算机的使用首先二进制只需0和1两个数码就可表示一切数目这对于计算机来说是最为有利的，可以大大简化计算机的“运算器”一种符号的方便性有助于各方面的发展，而数学符号的方便性不仅给数学本身带来便捷，而且也促进了其它科学的发展4.2 数学符号的简洁性符号表达的算

34、式、公式、概念、定理等等，节省了大量文字，反映了普遍规律，简洁，明了，易记，充分体现了数学语言干练，简洁的特有美感4.3 数学符号的代表性符号：“=”（等于号）两条同样长短的平行线，表达了运算结果的惟一性，体现了数学科学的清晰与精确“”（约等于号）是等于号的变形，表达了两种量间的联系性，体现了数学科学的模糊与朦胧“”（大于号）、“”（小于号），一个一端收紧，一个一端张开，形象地表明两量之间的大小关系线条：看到“”（垂直线条）我们想起屹立街头的十层高楼，给我们的是挺拔感；看到“”（水平线条），我们想起了无风的湖面，给我们的是沉静感；看到“”（曲线线条），我们想起了波涛滚滚的海浪，给我们的是流动感

35、几何形体中那些优美的图案（圆、抛物线、椭圆、圆锥曲线等等）更是令人赏心悦目5 数学中的奇异美数学中的奇异美，是指数学中所得出的结果或有关的发展是如此地出人意料，既引起了极大的惊愕和诧异，又引起了人们的赞赏与叹服，从而给人以新奇的美感，奇异美也是数学美的一个基本内容数学中新颖的结论、出人意料的反例和巧妙的解题方法都表现出了一种独特的令人惊讶的奇异美5.1 数学方法的奇异性“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这是苏轼的七绝题西林壁诗中的前两句，意思是：正看庐山，高岭横空，侧看庐山，峭拔成峰，远近高低形象各异我们观察事物，如果所出的立场不同，观察到的结果也有所不同我们思考处理某一数学题，如果从某一角

36、度用某种方法难以奏效时，不妨换个角度去观察，换个方法去处理便可能“迎刃而解”例5.1.111 解方程这是一个一元三次方程，在现行的中学教材，未介绍解一般三次方程的方法，难以求解如果我们换个角度（已知和未知互易）去考虑，即将看作“未知数”而将看作“已知数”则将原方程整理成解得 或，故得，微积分使得一些用初等数学方法根本不可能求得其值的无理数的近似计算成为可能，由函数的幂级数展开式毫不费力地得到人们熟知的无理数和的表示式:把一个确定的数用一无穷级数来表示，并由此再利用电子计算机就可以得到满足任意精度要求的近似值，奇妙无穷，令人惊异.几何中许多方法巧妙无比，许多结论令人惊叹，许多图形形状令人赞叹，充

37、分表现了数学的奇异美如欧氏几何的辅助线、解析几何中的几何问题代数化处理等；许多曲面如二次柱面、二次锥面、单叶双曲面和双叶双曲面的直纹性令人惊讶通过分析可知，单叶双曲面既可由一族椭圆生成，又可由一族双曲线生成，由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤因此，在美国有一座天文馆,就建成单叶双曲面的形状，其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索宇宙空间的精美图画更为奇妙的是，它的外表设计应用了单叶双曲面的直纹性，在天气晴朗的时候，阳光沿着两族直母线将该馆分成两半，上半的阴与下半的阳相对称这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识，他们就是巧妙的利用了几何图形表现的奇异美5.2 数学思维的奇异性克莱

38、因所指出的“数学的另一个重要的特征是它的符号语言如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式”他又说：“数学语言是慎重地、有意识地而且经常是精心了设汁的，凭借数学语言的严密性、抽象性、概括性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，如果用普通语言表达出来就会显得冗长不堪，这种简洁性有助于思维的效率”12这表明，数学思维的符号化特性是与这种思维的高度间接性概括性相适应的，因为只有运用摒弃了具体内容的形式化符号，才能保证思维实现更高程度的抽象和概括有人曾经把数学美学特征概括为统一性、简洁性、奇异性三个方面，数学思维由于其高度的间接性和概括性保证了数学思维的统一性和奇异

39、性因为只有高度的抽象、高度的概括才能得到高度的统一，而高度的间接性反作用于现实，就隐含了思维的奇异性同时，数学思维的符号性特征又保证了思维的简洁性因此数学思维往往具有显著的美学特征，正如庞加莱所说：12“我敢冒昧地说数学的探索适有深刻的美学原则”又如波莱尔所说：“我们的活动与艺术家的活动有许多共同之处，画家进行色彩与形态的组合音乐家将乐音组合起来，诗人组词，而我们则是把一定类型的概念组合起来”可见数学思维的美学特征是十分明显的6 数学中的意象美秀才进京赶考13： 明朝有一穷书生，历尽千辛万苦赶往京城应试由于交通不便，赶到京城时，试期已过。经他苦苦哀求，主考官让他先从一到十，再从十到一作一对联穷

40、书生想起自己的身世，当即一气呵成：一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四浆五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟十年寒窗，进了九、八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今天一定要中。几十载的人生之路，通过十个数字形象深刻地表现出来了。主考官一看，拍案叫绝，当即将他排在榜首诗与数学之间最深刻的关系莫过于数学概念或意象与诗歌的结合6.1 数字与诗歌以宋代邵康所作的一首诗9来具体说明数学诗中所蕴涵的形式美一去二三里, 烟村四五家亭台六七座, 八九十枝花14该诗巧妙运用了110十个数字形成一种错落有致的形式美, 活生生的勾画出了一幅风景如画的山村自然美景在此也以数字一至十为首的诗来形容

41、旧中国教师劳动的艰辛和生活的现状中国古代的诗词中更不乏数字美的佳句如李白的“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”，是公认的长江漂流的名篇，展示了一幅轻快飘逸的画卷“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，“白发三千丈”8也是借助数字达到了高度的艺术夸张杜甫的“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”，同样脍炙人口，数字深化了时空意境他还有“霜皮溜雨四十围，黛色参天二千尺”，“青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”等，表现出强烈的夸张和爱憎柳宗元的“千山鸟飞绝，万径人踪灭孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪”，数字具有尖锐的对比和衬托作用，他的“一身去国六千里，万死报荒十二

42、年”和韩愈的“一封朝奏九重天，夕贬潮州路八千”一样，抒发迁客的失意之情，异曲同工，惊心动魄岳飞的“三十功名尘与土，八千里路云和月”，陆游的“三万里河东入梅，五千仞岳上摩天”，同样是壮怀激烈的还有一些状似打油诗之作，也含有一定的哲理如唐诗题百鸟归巢图：“一只一只复一只，五六七八九十只，凤凰何少鸟何多？食尽人间千万石”传说郑板桥见人赏雪吟诗，戏作：“一片二片三四片，五六七八九十片，千片万片无数片，飞入梅花总不见”8读来妙题横生文君复书： 西汉时期，司马相如赴长安赶考，对送行的妻子卓文君发誓：“不高车驷马，不复此过”多情的卓文君却深为忧虑，就叮嘱他：“男儿功名固然很重要，但也切勿为功名所缠，作茧自缚

43、”说完，司马相如便上路了到了长安，勤奋读书，终于官拜中郎将从此，他沉湎于声色犬马、纸醉金迷的生活觉得卓文君配不上他了，处心积虑想休妻，另娶名门千金小姐时光任苒，一转眼5年过去了一天卓文君正暗字垂泪，忽然京城来了一名差官，交给她一封信，并说司马相如大人吩咐，立等回书卓文君又惊又喜，拆开一看，寥寥数语：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万” 卓文君一下子明白了，当了新贵的丈夫，已有弃她之意卓文君回信写道：“一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知五年六年七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万般无奈把郎怨万语千言说不完，百无聊赖十依栏，重九

44、登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红偏遭阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱，急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断，噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男”15司马相如读后十分羞愧、内疚，良心受到了谴责，越想越对不住这位才华出众、多情多义的妻子后来他终于用高车驷马，亲自登门接走卓文君，过上了幸福美满的生活试想一下，在上述妙语绝句中，如果没有数字与文字的结合，会如此精彩和美妙吗？数字和文学语言的结合到了出神入化的境界，引人入胜读上面这些诗，每个人都能明显感到，诗的意境几乎是来自那些数词，无论是数词的单个应用，重复引用，抑或是循

45、环使用，看似毫无感染力的数词竟也都能表现出或寂寥，或欣然，或恬淡，或伤感的思想感情所以数学中的数字还有如此丰富的感情色彩，数学的美感也是回味无穷的6.2 数学与诗歌在数学家的眼中，很多事情都包含着数学在我国的一些古诗名句中也能找到一种数学意境，让人品味唐代诗人王维在 使至塞上 中的绝唱 “ 大漠孤烟直，长河落日圆 ” 16，这句诗描绘了一幅空旷、荒寂的塞外黄昏景象但学数学的人读这句诗的时候，可以将那荒芜人烟的戈壁视为一个平面，而将那从地面升起直上云霄的如烟气柱，看成是一条垂直于地面的直线因此，“ 大漠孤烟直 ”在数学家的眼中便成了一条垂直于平面的直线；而那远处横卧的长河被视为一条直线，临近河面

46、逐渐下沉的一轮落日被视为一个圆， 这样 “ 长河落日圆 ”在数学家的眼中便是一个圆切于一条直线“ 孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流 ”16是李白在 黄鹤楼送孟浩然之广陵 中的名句在我们上高等数学课的时候，在理解无穷小量是以零为极限的变量时，这时就能在脑海中出现一幅“ 一叶孤舟随着江流远去，帆影在逐渐缩小，最终消失在水天一际之中”的图景，这个无穷小的数学概念也就融合在这美的诗意中去了而且学生在听课的时候的兴趣也就会大增，对概念的理解就会更加的形象化，就理解的更深刻数学这块肥沃富饶的土地为人类培育出万千杰出的英才欧几里德的几何原本、笛卡尔与费尔马的解析几何、牛顿和莱布尼兹的微积分、罗拔切夫斯基的双曲几何、黎曼的椭园几何、伽罗瓦的群论、康托的集合论、希尔伯特的几何基础、庞加莱的组合拓扑、奈万林纳的亚纯函数值分布理论、布尔巴基学派的数学原理、陈省身的纤维丛与示性类理论、华罗庚的典型域上的调和分析、冯康的有限元等等他们都在数学史上写下光辉灿烂的一页，为数学的发展作出了不朽的贡献数学的语言和符号是静怡典雅的