高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲1：如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，M、N分别是AB、A1C的中点，线面垂直的证明中的找线技巧u 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD证明：连结MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 设正方体棱长为，则， 在Rt中， OM

2、DB=O， 平面MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明u 利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC 证明：在平面PAC内作ADPC交PC于D因为平面PAC平面PBC，且两平面交于PC，平面PAC，且ADPC， 由面面垂直的性质，得AD平面PBC 又平面PBC，ADBC PA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC （另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC平面PAC） 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中

3、的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明3 如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：，证明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可证评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直

4、，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4 如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5 如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC若AEPC ，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，平面ABC

5、，平面ABC，平面APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系6. 空间四边形ABCD中，若ABCD，BCAD，求证：ACBD证明：过A作AO平面BCD于O。 同理BCDO O为ABC的垂心 7. 证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影 8. 如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证： . 证：取

6、PD中点E，则 9如图在ABC中， ADBC， ED=2AE， 过E作FGBC， 且将AFG沿FG折起，使AED=60，求证:AE平面ABC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： FGBC，ADBCAEFGAEBC设AE=a，则ED=2a由余弦定理得：AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60=3a2ED2=AD2+AE2ADAEAE平面ABC10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM分析:要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平

7、面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求证：平面ABC平面PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明：取BC中点D 连结AD、PD PA=P

8、B；APB=60 PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD为直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC12. 如图，直角BAC在外，求证：在内射影为直角。证：如图所示，、，为射影。确定平面 13 以AB为直径的圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AEPB于E，AFPC于F，试判断图中还有几组线面垂直。解：面AEF两个平面垂直例题解析1在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，那么必有（）A平面ABD平面ADCB平面AB

9、D平面ABCC平面ADC平面BCDD平面ABC平面BCD【解析】由ADBC，BDAD AD平面BCD，面AD平面ADC平面ADC平面BCD【答案】C2直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（）Aa Ba Ca Da【解析】取A1C的中点O，连结AO，AC=AA1，AOA1C，又该三棱柱是直三棱柱平面A1C平面ABC又BCACBCAO，因AO平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离解得：A1O=a【答案】C3三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为（）A5 B5 C3 D2【解析】构造一个

10、长方体，OP为对角线【答案】B4在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A、B，AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C、D间距离为_【解析】如图，CD=265设两个平面、，直线l，下列三个条件：l，l， 若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（）A3 B2 C1 D0【解析】，其余都错【答案】C【典型例题精讲】例1 如图939，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面BSC图939【证明】SB=SA=SC，ASB=ASC=60AB=SA=AC

11、取BC的中点O，连AO、SO，则AOBC，SOBC，AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又BSC=90，BC=a，SO=a，AO2=AC2OC2=a2a2=a2，SA2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面ABC平面BSC【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角这也是证两平面垂直的常用方法例2如图940，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC图940（1）求证：ABBC；（2）若设二面角SBCA为45，SA=BC，求二面角ASCB的大小（1）【证明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC

12、，而SA在平面SBC上的射影为SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB（2）【解】SA平面ABC，平面SAB平面ABC，又平面SAB平面SBC，SBA为二面角SBCA的平面角，SBA=45设SA=AB=BC=a，作AESC于E，连EH，则EHSC，AEH为二面角ASCB的平面角，而AH=a，AC=a，SC=a，AE=asinAEH=，二面角ASCB为60【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法例3如图941，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND平面PCD（1

13、）【解】PA平面ABCD，CDAD，PDCD，故PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD，PDA=45（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，四边形ENMA是平行四边形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，从而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN平面PCD较困难，转化为证明AE平面PCD就较简单了另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围例4如图942，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1

14、D1、B1C1的中点图942（1）求证：平面MNF平面ENF（2）求二面角MEFN的平面角的正切值（1）【证明】M、N、E是中点，即MNEN，又NF平面A1C1，MNNF，从而MN平面ENFMN 平面MNF，平面MNF平面ENF（2）【解】过N作NHEF于H，连结MHMN平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，由三垂线定理得MHEF，MHN是二面角MEFN的平面角在RtMNH中，求得MN=a，NH=a，tanMHN=，即二面角MEFN的平面角的正切值为例5在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF平面AB

15、1C【证明】如图943，E、F分别是AB1、CB1的中点，图943EFACAB1=CB1，O为AC的中点B1OAC故B1OEF在RtB1BO中，BB1=，BO=1BB1O=30，从而OB1D1=60，又B1D1=2，B1O1=OB1=1（O1为BO与EF的交点）D1B1O1是直角三角形，即B1OD1O1，B1O平面D1EF又B1O平面AB1C，平面D1EF平面AB1C1棱长都是2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_【解】过A1作A1GC1D1于G，由于该平行六面体是直平行六面体，A1G平面D1C，连结CG，A1CG即为A1C

16、与侧面DCC1D1所成的角A1G= A1 D1 sinA1 D1 G=2sin60=2=而AC=A1C=，sinA1CG=【答案】2E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF、BD相交于O，以EF为棱将正方形折成直二面角，则BOD=_【解析】设正方形的边长为2a则DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2cosDOB=，DOB=1203如图944，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面成的角，侧面ABB1A1垂直于底面，图944（1）证明：B1CC1A（2）求四棱锥BACC1A1的体积（1）【证明】过B1作

17、B1OAB于O，面ABB1A1底面ABC，面B1O面ABC，B1BA是侧棱与底面所成角，B1BA=，又各棱长均为2，O为AB的中点，连CO，则COAB，而OB1CO=O，AB平面B1OC，又B1C平面OB1C，B1CAB，连BC1，BCC1B1为边长为2的菱形，B1CBC1，而ABBC1=B，B1C面ABC1A1C面ABC1B1CAC1（2）【解】在RtBB1O中，BB1=2，BO=1，B1O=，V柱=Sh=4=3，=V柱=1，=V柱=31=24如图945，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB图945（1）求证：平面PCE平面PCD；（2）求

18、点A到平面PCE的距离（1）【证明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四边形ABCD为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA为二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45，取RtPAD斜边PD的中点F，则AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF CD又AE CD，GF AE四边形AGEF为平行四边形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD（2）【解】由（1）知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，过F作FHPC于H，则FH平面PECFH为F到平面PEC的

19、距离，即为A到平面PEC的距离在PFH与 PCD中，P为公共角，而FHP=CDP=90，PFHPCD，设AD=2，PF=，PC=，FH=A到平面PEC的距离为5已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=2，E、F分别为棱CC1、BB1上的点，且满足EC=BC=2FB图946（1）求证：平面AEF平面A1ACC1；（2）求异面直线EF、A1C1所成角的余弦值（1）【证明】菱形对角线AC=2，BD=2BC=2，EC=2，FB=1，取AE中点M，连结MF，设BD与AC交于点O，MO EC FB平面AEF平面ACC1A1（2）在AA1上取点N，使AN=2，连结NE，则NE

20、 ACA1C1故NEF为异面直线A1C1与EF所成的角，连结NF，在直角梯形NABF中易求得NF=，同理求得EF=在ENF中，cosNEF=，即EF与A1C1所成角的余弦值为【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用【拓展练习】一、备选题1如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC（1）求证：平

21、面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面（1）【证明】C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC（2）【解】平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD2ABCABC是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB，CC上的一点，BDa，ECa（1）求证：平面ADE平面ACCA；（2）求截面ADE的面积（1）【证明】分别取AC、AC的中点M、N，连结MN，则MNAABB，B、M、N、B共面，M为AC中点，BC=BA，BMAC，又BMAA且AAAC=ABM平面AACC设MN交AE于P，CEAC，PNNA又DBa，PNBDPNBD， PNBD是矩形，于是PDBN，BNBM，PDBMBM平面ACCA，PD平面ACCA，而PD平面ADE，平面ADE平面ACCA（2）【解】PD平面ACCA，PDAE，而PDBMa，AEaSADEAEPD-