自适应滤波器的设计与实现.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date自适应滤波器的设计与实现湖南人文科技学院目 录摘 要I1 绪 论.11.1 引言11.2 课题研究意义和目的11.3 国内外研究发展状况21.4本文研究思路与主要工作42 自适应滤波器理论基础42.1 滤波器的基本概念42.2 数字滤波器的基本概念52.3 自适应滤波器的原理62.4 自适应滤波算法种类82.4.1 最小均方（LMS）算法82.4.2 递推最小二乘法（

2、RLS）算法113 自适应滤波器的设计143.1 无限冲激响应（IIR）滤波器143.1.1 自适应IIR滤波器的基本原理143.1.2 方程误差结构形式自适应IIR滤波器143.1.3 IIR滤波器的一般结构163.2 有限冲激响应（FIR）滤波器173.2.1 FIR横向型滤波器的一般结构173.2.2 FIR横向性滤波器的工作原理173.3 IIR滤波器和FIR滤波器的比较204 基于DSP实现自适应滤波器204.1 MATLAB语言介绍204.2 MATLAB仿真224.2.1 MATLAB程序仿真224.2.2 仿真结果234.3 DSP的理论基础244.4 自适应滤波算法的DSP实

3、现255 总结与展望28参考文献29致 谢29附录 自适应滤波子程序30-摘要自适应滤波器是统计信号处理的一个重要组成部分。在实际应用中，由于没有充足的信息来设计固定系数的数字滤波器，或者设计规则会在滤波器正常运行时改变，因此我们需要研究自适应滤波器。凡是需要处理未知统计环境下运算结果所产生的信号或需要处理非平稳信号时，自适应滤波器可以提供一种吸引人的解决方法，而且其性能通常远优于用常方法设计的固定滤波器。此外，自适应滤波器还能提供非自适应方法所不可能提供的新的信号处理能力。本文从自适应滤波器研究的意义入手，介绍了自适应滤波器的基本理论思想，具体阐述了自适应滤波器的基本原理、算法及设计方法。自

4、适应滤波器的算法是整个系统的核心。本文中，对两种最基本的自适应算法，即最小均方误差(LMS)算法和递归最小二乘（RLS)算法进行了详细的介绍和分析，并针对两种算法的优缺点进行了详细的比较。同时，分别对FIR结构和IIR结构自适应滤波器做了详细的介绍，比较了FIR结构和IIR结构自适应滤波器的优缺点。最终采用改进的LMS算法设计FIR结构自适应滤波器，并采用MATLAB进行仿真，最后用DSP实现了自适应滤波器。实验结果表明，该自适应滤波器滤波效果优越。关键词：自适应滤波器；LMS算法；FIR结构滤波器；DSP1 绪论1.1 引言滤波技术是信号处理中的一种基本方法和技术，尤其数字滤波技术使用广泛，

5、数字滤波理论的研究及其产品的开发一直受到很多国家的重视。从总的来说滤波可分为经典滤波和现代滤波。经典滤波要求已知信号和噪声的统计特性，如维纳滤波和卡尔曼滤波。现代滤波则不要求己知信号和噪声的统计特性，如自适应滤波。自适应滤波的原理就是利用前一时刻己获得的滤波参数等结果，自动地调节现时刻的滤波参数，从而达到最优化滤波。自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力，适用于平稳和非平稳随机信号的检测和估计。自适应滤波一般包括3个模块：滤波结构、性能判据和自适应算法。其中，自适应滤波算法一直是人们的研究热点，包括线性自适应算法和非线性自适应算法，非线性自适应算法具有更强的信号处理能力，但计算比较复杂，实际应

6、用最多的仍然是线性自适应滤波算法。线性自适应滤波算法的种类很多，有LMS自适应滤波算法、R路自适应滤波算法、变换域自适应滤波算法、仿射投影算法、共扼梯度算法等。1.2 课题研究意义和目的对自适应滤波算法的研究是当今自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一。Windrow等于1967年提出的自适应滤波系统的参数能自动的调整而达到最优状况，而且在设计时，只需要很少的或根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识。这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波器性能几乎如卡尔曼滤波器一样好。自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲激响应或滤波参数是随外部环境的变化而变化的，经过一段自动调节的收敛时间达到

7、最佳滤波的要求。自适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参量信号按照一定准则修改滤波参量，以使它本身能有效的跟踪外部环境的变化。因此，自适应数字系统具有很强的自学习、自跟踪能力和算法的简单易实现性。自适应滤波技术的核心问题是自适应算法的性能问题，提出的自适应算法主要有最小均方(LMS)算法、递归最小二乘(RLS)算法及相应的改进算法如：归一化(NLMS)算法、变步长(SVSLMS)算法、递归最小二乘方格形(RLSL)算法等。这些算法各有特点，适用于不同的场合。研究自适应算法是自适应滤波器的一个关键内容。最小均方误差(LMS，The least Mean squar

8、e)算法是线性自适应滤波算法中最基本的两类算法之一，其主要思想是基于最小均方误差准则，使滤波器的输出信号与期望输出信号之间的均方误差最小。由于LMS算法简单有效、鲁棒性好、易于实现，得到了广泛的应用。目前应用最多的是系统辨识、回波消除、自适应谱线增强、自适应信道均衡、语音线性预测、自适应天线阵等诸多领域。1.3 国内外研究发展状况 自适应滤波的基本理论通过几十年的发展已日趋成熟，近十几年来自适应滤波器的研究主要针对算法与硬件实现。算法研究主要是对算法速度和精度的改进，其方法大都采用软件C、MATLAB等仿真软件对算法的建模和修正。通常，自适应滤波器的硬件实现都是用DSP通用处理器(如TI的TM

9、S320系列)。DSP器件采用改进的哈佛结构，具有独立的程序和数据空间，允许同时存取程序和数据，内置高速的硬件乘法器(MAC)，增强的多级流水线。DSP具有的硬件乘法模块(MAC)，专用的存储器以及适用于高速数据运行的总线结构，使DSP器件具有高速的数据运算能力。目前，用DSP器件处理数字信号已经成为电子领域的研究热点。在自适应信号处理领域，对于数据处理速度在几兆赫兹以内的，通用DSP器件也是首选。迟男等人在TMS320C32芯片上扩展EPROM和RAM，实现了30阶LMS自适应滤波器，使用的刀D转化器件为AD1674，最高采样频率为l00KHz。陆斌等人采用TMS320C30数字信号处理器与

10、IMSA110专用滤波器并行处理的方法设计出了自适应滤波器并应用于直接序列的扩频接收系统1221。赵慧民等人在TMS320C31上实现了自适应权向量滤波器，完成了信号采样频率为80KHz的自适应滤波。在数据处理速度只要求在几兆赫兹以内的应用场合，这些用DSP实现的自适应滤波器能很好的满足系统实时的需求。在这种需求场合下，DSP具有不可媲美的性价比。 但是随着信息化的进程加快和计算机科学与技术、信号处理理论与方法等的迅速发展，需要处理的数据量越来越大，对实时性和精度的要求越来越高。以迅速发展的移动通信技术为例，从IG时代只能传送语音的模拟通信，到2G时代的传送语音和数据的GSM、TDMA与CDM

11、A1595，到2.5G时代传送语音、数据、图片、彩信MMS、简短视频、收发E-mail、网页浏览等的GPRS与CDMA2000lX，到目前正处于研发与测试阶段的能够传送图像、音乐、视频流等多种媒体形式，提供包括网页浏览、电话会议、电子商务的3G通信，以及目前正在研发与憧憬中的能够传送高质量流畅的视频流与多种实时流媒体业务的4G通信。系统的功能是越来越强大，但对数据传送与处理的速率要求也是越来越高。目前广泛使用的GSM系统的数据传输速率只有9.6kbit/s，窄带CDMA传输速率也只有14.4kbit/s，但到2.5G的GPRS系统数据传输速率达到了150kbit/t左右，而根据IMT2000协

12、议，3G通信室内或静止状态下的数据传输速率将达到2Mbit/s，到了基于全IP网络的4G时代，在慢速或静止状态下数据传输速率将达到100Mbit/s。而自适应接收技术包括自适应均衡器、智能天线、自适应调制、自适应编码等，是数字通信系统中的关键技术之一。通信系统发展到3G后，几十甚至上百兆比特每秒的数据传输速率对自适应接收技术是个极大的挑战。DSP处理器虽然具有良好的通用性和灵活性，虽然其在硬件结构上得到了很大的改进，比如增加了多个硬件乘法器和使用多乘法器的并行指令等，但并没有摆脱传统的CPU工作模式，而且DSP处理器是通过软件指令完成DSP算法，其顺序的工作方式制约了其数据处理速率，而使用多片

13、DSP组合电路和过多的外部接口电路将导致信号通道过长、过于复杂，成本也成倍地提高，因此DSP处理器对于3G和4G通信中几十甚至上百兆比特每秒的数据处理速率显得无能为力。 常用的数字系统目标器件除了DSP处理器外还有专用集成电路(ASIC)、专用标准电路模块(ASSP)和现场可编程门阵列(FPGA)。ASIC和ASSP是专门针对完成某种数字信号处理算法的集成电路器件，因此其在性能指标、工作速度、可靠性和成本上优于DSP处理器。其优秀的工作性能主要源于特定的算法全部由ASSP和ASIC中的硬件电路完成。ASSP是半定制集成电路，在许多DSP算法的实现方面都优于DSP(数字信号处理器)，但在功能重构

14、，以及应用性修正方面缺乏灵活性;ASIC专用集成电路使用超大规模专用集成电路ASIC的实现方法是实用化的产品唯一可行的方法，只有使用IC，才有高可靠性和可接受的价格及体积功耗等。ASIC虽然有一定的可定制性，但开发周期长，而且有一个最小定制量，在实验室研制开发阶段，开发成本非常高。现代大容量、高速度的FPGA在可重配置的数字信号处理应用领域，特别是对于任务单一、算法复杂的前端数字信号处理运算，有独特的优势。例如对于需要经常更新滤波器权系数的自适应滤波器，由于特定DSP处理器的位数是固定的，采用FPGA处理器相比DSP处理器就具有总线可调整的优势。另外，FPGA所具有的大规模并行处理能力和可编程

15、的灵活性使得设计的系统能获得极高的处理性能，并且能够适应日益变化的标准、协议和性能需求。用FPGA实现自适应滤波器，国外起步比较早，发展也非常迅速。Hesener A.于1996年提出了用FPGA实现自适应滤波器的设想，并在FPGA上实现了处理速度可达SM的8阶8位FIR滤波器。Woolfries N.等人用FPGA实现了自适应栈滤波器，并应用于图象处理。Dawood A.等人用FPGA开发了自适应FIR滤波器并与DSP处理器方案进行了比较研究。国内有一些关于自适应算法硬件实现的研究，但基本是针对自适应滤波器中的算法，如南开大学李国峰的博士论文用VHDL语言描述了正负数的运算问题和浮点数运算问

16、题，完成了基于FIR的LMS自适应滤波器的硬件设计与逻辑综合。国防科学技术大学江和平等人讨论了自适应卡尔曼算法的简化，并完成了FPGA的设计。同济大学梁甲华等人重点讨论了编码方法在FPGA的技术问题。上海交通大学范瑜等人介绍了用VHDL语言实现并行延时LMS算法的自适应数字波束成形器的FPGA设计过程。而针对自适应格型结构采用FPGA硬件实现的文献报导很少，国内中国科学技术大学王显洁等人通过采用流水线结构和运算单元分时复用，提高了运算速度，能够满足实时性预测编码要求。1998年弗吉尼亚大学的StephenJ.Hevey在其硕士论文中利用DSP处理器和自适应格型递归滤波算法完成了对线性二次型最优

17、控制器的设计，通过实验表明了在宽带干扰下格型结构的滤波器性能优于LMS滤波器，在窄带和谐波干扰下两者的区别不大，但所需阶数至少比LMS滤波器减少一半，可以节省大量硬件资源。1.4本文研究思路与主要工作本文设计要求使用DSP实现自适应滤波器，要求完成自适应滤波器的设计和调试。自适应滤波器的设计需要使用自适应算法（LMS算法），LMS算法是通过对未知系统传递函数的建模，识别该未知系统，并对该系统进行噪声滤波。自适应滤波器，其权系数可以根据自适应算法来不断修改，使得系统中的冲激响应满足给定的性能。例如语音信号的ADPCM编码，采用线性预测自适应就可以实现误差信号与输入信号的线性无关，并由此作为依据，

18、不断调节滤波器的权系数，最终使得误差信号趋近于0，使得该滤波器完全适应该输入信号；同样，只要输入信号出现变换，自适应滤波器根据误差信号的变化再次调整其权系数，从而跟上信号的变化。自适应滤波器设计的算法采用的是自适应算法，即LMS算法。LMS算法是通过对未知系统传递函数的建模，识别该未知系统，并对该系统进行噪声滤波。2 自适应滤波器理论基础2.1 滤波器的基本概念凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。在近代电信装备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最复杂要算滤波器了。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历来为各国所重视。滤波器是

19、一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的交流电。您可以通过基本的滤波器积木块二阶通用滤波器传递函数，推导出最通用的滤波器类型：低通、带通、高通、陷波和椭圆型滤波器。传递函数的参数f0、d、hHP、hBP 和hLP，可用来构造所有类型的滤波器。转降频率f0为s项开始占支配作用时的频率。设计者将低于此值的频率看作是低频，而将高于此值的频率看作是高频，并将在此值附近的频率看作是带内频率。阻尼d用于测量滤波器如何从低频率转变至高频率，它是滤波器趋向振荡的一个指标，实际阻尼值从0至2变化。高通系数hHP是对那些高于转降频率的频率起支配作用的分子的系数。带通系数hBP是对那些在转降频率

20、附近的频率起支配作用的分子的系数。低通系数hLP是对那些低于转降频率的频率起支配作用的分子的系数。设计者只需这5个参数即可定义一个滤波器。2.2 数字滤波器的基本概念 从输入信号中滤出噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，相应的装置称为滤波器。如果滤波器的输入和输出均为离散信号，称该滤波器为数字滤波器。当滤波器的输出信号为输入端的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，否则就称为非线性滤波器。一个典型的数字滤波器的框图如图2-1所示。设输入信号为x(n)，输出信号为y(n)，该数字滤波器可用以下差分方程来表示： (2-1)式中，称为滤波器系数。当时，上式变为： (2-2)这种滤波器称为全零点滤波

21、器。如果，时，则称为全极点滤波器或递归滤波器。由上式，可知数字滤波器的传递函数为: (2-3)其单位冲击响应函数为: (2-4) (2-5)如果当n0时，有h(n)=0，这样的滤波器系统称之为因果系统。如果冲激响应函数是有限长的，即 (2-6)则称此滤波器为有限冲激响应FIR(FiniteImpulseResponse)滤波器，否则，称之为无限冲激响应IIR(InfiniteImpulseResponse)滤波器。如果h(n)满足如下条件:则称此滤波器是因果的，并且是稳定的。2.3 自适应滤波器的原理所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻以获得的滤波器参数的结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适

22、应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随时间变化的，仅仅用FIR和II种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优滤波。在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过调整滤波器系数来实现的。一般而言，自适应滤波器由两部分组成，一是滤波器结构，二是调整滤波器系数的自适应算法。自适应滤波器的结构采用FIR或IIR结构均可，由于IIR滤波器存在稳定性

23、问题，因此一般采用FIR滤波器作为自适应滤波器的结构。图2-2示出了自适应滤波器的一般结构。图2-2为自适应滤波器结构的一般形式，图中x (k)输入信号，通过权系数可调的数字滤波器后产生输出信号y (k)，将输出信号y (k)与标准信号（又称期望信号）d(k)进行比较，得到误差信号e (k)。e (k)和x (k)通过自适应算法对滤波器的权系数进行调整，调整的目的使得误差信号e (k)最小。重复上面过程，滤波器在自己的工作过程中逐渐了解到输入信号和噪声的统计规律，并以此为根据自动调整滤波器权系数，从而达到最佳的滤波效果。一旦输入的统计规律发生了变化，滤波器能够自动跟踪输入信号变化，自动调整滤波

24、器的权系数，最终达到滤波效果，实现自适应过程。图2-3是使用自适应滤波器的系统识别原理图。自适应滤波器的结构可以采用FIR或IIR滤波器存在稳定性问题，因此一般采用FIR滤波器作为自适应滤波器的结构。自适应FIR滤波器结构又可分为3种结构类型：横向型结构（Transversal Structure）、对称横向型结构（Symmetric Transversal Structure）以及格型结构（Lattice Struture）。本文采用自适应滤波器设计中最常用的FIR横向型结构。2.4自适应滤波算法种类2.4.1 最小均方（LMS）算法由Widrow和Hoff引入的最小均方(LMS)算法，由于

25、其简单性、运算高效性各种运行条件下良好的性能，而被广泛应用。基于梯度的最小均方(LMS)算法是最基本的算法，其含义相对简单明了。选定均方误差为权矢量二次函数时，性能度量曲线可以形象地看成一个碗形曲面这样自适应处理器的任务便是不断地向最低点逼近，即可以通过计算梯度的方法实现性能度量的最优化。而基于梯度的算法中，最简单的一种就是最小均方算法LMS算法，LMS算法使用的准则是使均衡器的期望输出值和实际输出值之间的均方误差(MSE)最小化的准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数以达到最优的自适应迭代算法。这算法不需要计算相应的相关函数，也不需要进行矩阵运算。自适应滤波器最普通的应用就

26、是横向结构。滤波器的输出信号y(n)是y(n) (2-7)T表示转置矩阵， n是时间指针，N是滤波器次数。这个例子就是有限脉冲响应滤波器的形式，为x(n)和w(n)两个矩阵卷积。这种自适应算法使用误差信号 (2-8)为了方便起见，将上述式子表示为向量形式，则上述式子表示为: (2-9)误差序列可写为 (2-10)其中d(n)是期望信号，y(n)是滤波器的输出。使用输入向量x(n)和e(n)来更新自适应滤波器的最小化标准的相关系数。显然，自适应滤波器控制机理是用误差序列e(n)按照某种准则和算法对其系数wi(n)，i=1，2，N进行调节的，最终使自适应滤波的目标(代价)函数最小化，达到最佳滤波状

27、态。本节所用的标准是最小均方误差(MSE)。 (2-11)E表示算子期望。假如公式中的y(n)被公式(3.3)取代，公式(3.5)就可以表示为 (2-12)是自相关矩阵，是输入信号的自相关矩阵。是互相关向量，也指出了期望信号d(n)和输入信号向量x(n)的相互关矢量。由式(2-12)可见，自适应滤波器的代价函数是延迟线抽头系数的二次函数。当矩阵R和矢量P己知时，可以由权系数矢量w直接求其解。最优解最小化MSE，源自解这个公式 (2-13)将式(2-12)对w求其偏导数，并令其等于零，假设矩阵R满秩(非奇异)，可得代价函数最小的最佳滤波系数 (2-14)这个解称为维纳解，即最佳滤波系数值。因为均

28、方误差(MSE)函数是滤波系数w的二次方程，由此形成一个多维的超抛物面，这好像一个碗状曲面又具有唯一的碗底最小点，通常称之为自适应滤波器的误差性能曲面。当滤波器工作在平稳随机过程的环境下，这个误差性能曲面就具有固定边缘的恒定形状。自适应滤波系数的起始值wi(0)，i=1，2，N是任意值，位于误差性能曲面上某一点，经过自适应调节过程，使对应于滤波系数变化的点移动，朝碗底最小点方向移动，最终到达碗底最小点，实现了最佳维纳滤波。自适应过程是在梯度矢量的负方向接连的校正滤波系数的，即在误差性能曲面的最陡下降法方向移动和逐步校正滤波系数，最终到达均方误差为最小的碗底最小点，获得最佳滤波或准最优工作状态。

29、广泛使用的LMS算法是一种选择性法适应采样和采样基础。这个方法可以避免复杂的计算。LMS算法是最陡下降法，在这个算法中，向量w(n+1)通过改变对最小均方误差性能的负梯度比例自适应滤波算法及应用研究来增强。对于LMS算法梯度v(n)通过假设平方误差。2(n)作为公式2-13的MSE来预测。因此，梯度预测可以单一化表示为: (2-15)在实际应用中，2u经常用来代替u。瞬间梯度预测产生的Widrow一Hoff LMS算法，w(n)为自适应滤波器在n时刻的滤波系数或权矢量。按照最陡下降法调节滤波系数，则在n+1时刻的滤波系数或权矢量w(n+l)可以用下列简单递归关系来计算: (2-16)u是自适应

30、步长来控制稳定性和收敛率。这种瞬时估计是无偏的，因为它的期望值E等于最陡下降法的梯度矢量。以任意初始向量w(0)来开始，向量w(n)集中在最佳解决方法，假如选择u (2-17)为矩阵R的最大特征值，受限制于 (2-18)Tr.为指示矩阵的轨迹，是平均输入功率。对于自适应信号处理应用，最重要的实际考虑是收敛速度，决定滤波器跟踪不稳定型号的能力。总体来说，权向量要获得收敛只有当最缓慢的权集中一点。这个最慢的时间 (2-19)这个指出时间连续相反的以u的比例收敛，并且依靠输入矩阵的自相关特征值。具有全异的特征值，规定时间是受最慢模式的限制。以梯度预测为基础的自适应导致噪声矩阵的权向量，因此会有性能的

31、损失。这个自适应处理的噪声导致稳态权向量随意的改变为最适宜的权向量。稳态权向量的精度通过超额的最小均方误差来测量。这个LMS算法超过EMS的是 (2-20)是MSE在稳态的最小值。公式(2-19)和(2-20)产生LMS算法基本协定:为了在稳态获得高精度(低超自适应滤波算法及应用研究额MSE)，需要u的最小值，但是也会降低收敛率。后面会有进一步关于LMS算法特征的讨论。对于N维更新u*e(n)是常数，误差信号e(n)乘以u得到u*e(n)。这个常数首先计算，然后乘以x(n)来更新w(n)。自适应LMS算法如同最陡下降法，利用时间n=0的滤波系数矢量为任意的起始值w(0)，然后开始LMS算法的计

32、算，其步骤如下:l)由现在时刻n的滤波器滤波系数矢量估值w(n)，输入信号矢量x(n)及期望信号d(n)，计算误差信号e(n): (2-21)2)利用递归法计算滤波系数矢量的更新估值。3)将时间指数n增加1，回到第一步骤，重复上述计算步骤，一直到达稳定状态为止。由此可见，自适应LMS算法简单，它既不需要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆。因而得到了广泛的应用。2.4.2 递推最小二乘法（RLS）算法 从2.1节的分析得知，LMS算法的收敛速度很慢，为了得到较块的收敛速度，有必要设计包含附加参数的更复杂的算法。特别是，如果矩阵R是NN的且特征值为，则可以使用一种含有N个参数的算法，其中每个

33、参数对应一个特征值。 在快速收敛算法的推导中，我们将采用最小二乘法。因此，将直接处理接收数据，使二次性能指数最小，而以前是使平方误差的期望值最小。这意味着，用时间平均而不是统计平均来表示性能指数。 基于时间平均的最小平方误差被定义如下： (2-22)式中，是接近1,但是小于1的加权因子，e*(i,n)是e(i,n)的复共轭，且误差e(i,n)为： (2-23)且 (2-24)式中，x(i)是i时刻的输入数据向量，w(n)是n时刻的新的抽头增益向量。因而e(i,n)是用n时刻的抽头增益向量测试i时刻的旧数据所得的误差，J(n)是在所有旧数据上用新抽头增益所得的累计平方误差。要完成RLS算法就要找

34、到均衡器的抽头增益向量w(n)，使得累计平方误差J(n)最小。为了测试新的抽头增益向量，会用到那些先前的数据。而因子会在计算时更依赖于新近的数据，也就是说，J(n)会丢掉非稳定环境中的较旧的数据。如果信道是稳定的，那么可以设为1。为了获得J(n)的最小值，可使J(n)的梯度为0,即，通过运算可知： (2-25)式中，是RLS均衡其的最佳抽头增益向量。 (2-26) (2-27)式(2-26)中的方阵R(n)是输入数据向量x(i)的确定相关矩阵，式(2-26)中向量P(n)是输入向量x(i)和期望输出d(i)之间的确定互相关矩阵。要用式(2-25)计算均衡器的抽头增益向量，就需要计算。 从式(2

35、-26)中R(n)的定义可知，我们可以得到关于R(n-1)的递归公式。 (2-28)由于式(2-28)中的三项都是NN的方阵，我们可以使用方程倒数的引理得到递归公式： (2-29)式中 (2-30)根据上述递归公式，可知： (2-31)式中 (2-32)初始化：是一个正常数计算：对于n=1,2，计算 是一个可以改变均衡器性能的抽头系数。如果信道是非时变的，那么可以设为1。而通常的取值为0.81。值对收敛速率没有影响，但是它影响着RLS算法的跟踪能力。值越小，均衡器的跟踪能力更强。但是，如果值太小，均衡器将会不稳定。3 自适应滤波器的设计3.1 无限冲激响应（IIR）滤波器3.1.1 自适应II

36、R滤波器的基本原理图3-1为自适应IIR滤波器的基本结构，其输入为x(n)，输出为y(n)，滤波器由可变系数IIR滤波器和递归算法组成，递归算法通过预测误差e(n)去调系数(n)，以使输出y(n)按某种准则逼近于期望响应d(n)。为描述滤波器具有零点和极点转移函数的系数参数。滤波器输出误差e(n)=d(n)-y(n)是按某种准则，如均方误差(MSE)或递归最小二乘(RLS)准则等，使e2 (n)最小化，可调整IIR系数使输出信号y(n)逼近于期望响应d(n) 。3.1.2 方程误差结构形式自适应IIR滤波器 图3-2为方程误差自适应IIR滤波器的结构框图，其差分方程表示式如式(3-1)，可以看

37、出，它被描述为非递归差分方程形式： (3-1) 显然，这里，都是待调整的系数，下标“e”表示方程误差法以区别输出误差方法。从式中可以看出，这是由两个输入单个输出组成的滤波器。两个输为样本输入x(n)和期望输入d(n)，输出样本没有反馈回输入端。所以，出是系数的线性函数，这大大简化了梯度类算法，因为d(n)，x(n)是系数的函数，则对系数的导数是非递归的，且易于计算。利用延迟算子，式(3-1)可重新表述成更方便的形式： (3-2)式中，多项式表示时变滤波器，且有： ， (3-3) ， (3-4) 值得注意的是A(n,q)中求和的下界从m=1开始，因此A(n,q)d(n)仅依赖于d(n)的延迟样本

38、，这种形式的表示法可用于在任何瞬时发现自适应滤波器A(n,q)的零点。例如图3-2中，在每次系数更新后和系数被复制到逆滤波器1/1-A(n,q)之前，有必要检测1-A(n,q)的零点，以确定逆滤波器是否是一稳定系统。如果不是稳定系统，则应采取某种措施，如在逆滤波器形成之前将它的根投影到单位圆内等。 方程误差也是滤波器系数的线性函数，因此， 的均方函数是系数的二次函数。如果数据的相关阵非奇异，仅有一个全局最小点，则在很大程度上使方程误差自适应IIR滤波器都像一个自适应FIR滤波器。而它们之间最主要的区别在于，方程误差自适应IIR滤波器把逆滤波器1/1-A(n,q)级联到B(n,q)之后，它就是一

39、个零点极点模型，而自适应FIR滤波器因A(n,q)=0，是一个严格的全零点模型。 方差误差自适应IIR滤波器与自适应FIR滤波器具有相似的自适应算法和相似的收敛性解，收敛速度和系数的稳定性都是由Hessian矩阵的特征值决定的。差分方程式(3-1)还可以表示成内积的矩阵形式： (3-5)上式右边的系数矢量和信号矢量的长度都是M+N-1，并分别定义为： (3-6) (3-7) 表达式(3-5)具有线性回归的形式，为对应于待估计的参数，称为包含测量数据的回归矢量。这样表示的结果使得可以利用数理统计中的参数估计方法来对系数进行优化，如用最大似然参数估计均方误差方法、最小均方误差(LMS)算法和递归最

40、小二乘(RLS)方法等。 3.1.3 IIR滤波器的一般结构根据前面所介绍的IIR滤波器的传递函数可表示为： (3-8)假设滤波器有m个零点，n个极点，且滤波器参数可调，这样H(z)可写为： (3-9)图3-3画出了IIR滤波器的一般结构，其输入为x，输出为u。因此滤波器输出可表示为以下形式： (3-10)3.2 有限冲激响应（FIR）滤波器3.2.1 FIR横向型滤波器的一般结构如图3-4所示。这种结构仅包含有由延迟级数所决定的有限个存储单元，可归结为有限冲激响应（FIR）或横向滤波器（Kallman）。输入信号被若干延迟单元延时，其延迟时间可以是连续的。这些延迟单元的输出与存储的一组权系数

41、依次相乘，将其乘积相加得到输出信号。这意味着输出是输入信号与所存储的权系数或冲激响应的卷积。这种滤波结构仅包含有零点（因为没有递归反馈单元），因此，若要获得锐截止的频率特性，则需要有大量的延迟单元。不过，这种滤波器始终是稳定的，并能提供线性相位特性。图3-4是横向型滤波器的结构示意图。3.2.2 FIR横向性滤波器的工作原理如图3-4所示，其中：-自适应滤波器的输入-自适应滤波器的冲激 相应： -自适应滤波器的输入： 最常用的自适应算法是最小均方误差算法，即LMS算法，LMS算法是一种易于实现、性能稳健、应用广泛的算法。所有的滤波器系数调整算法都是设法使y(n)接近d(n),所不同的只是对于这种接近的评价标准不同。LMS算法的目标是通过调整系数，使输出误差序列e(n)=d(n)-y(n)的均方差最小，并且根据这个判据来修改权系数，该算法也因此而得名。误差序列的均方值又叫“均方误差”（MSE）。 均方误差e定义为： =对于横向结构的滤波器，代入的表达式为： 其中为