空间向量与立体几何综合题.doc

《空间向量与立体几何综合题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量与立体几何综合题.doc（38页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date空间向量与立体几何综合题综合测评(三)综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()A. B(1，3,2)C. D.【解析】a(1，3,2)2.【答案】C2在正方体ABCDA1B1C1D1中，xy()，则()Ax1，

2、y Bx1，yCx，y1 Dx1，y【解析】()，x1，y.应选D.【答案】D3已知A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，D(0,0,0)，令a，b，则ab为()A(5，9,2) B(5,9，2)C(5,9，2) D(5，9，2)【解析】a(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5,9，2)【答案】B4在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若a2b3c，则abc的值等于()A. B. C. D【解析】a2b3c，a1，b，c.abc.【答案】D5棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论不正确的是()A. B.0C.0 D.0【解析】如图，B1D1，故A、B、C选项

3、均正确【答案】D6已知向量a、b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“ca0，且cb0”是l的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若l，则l垂直于内的所有直线，从而有ca0，cb0.反之，由于a、b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立【答案】B7已知ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()A2 B3 C4 D5【解析】设BC中点为D，则D(2,1,4)，(1，2,2)，|3，即BC边上的中线长为3.【答案】B8(2014荆州高二质检)若向量a(x,4,

4、5)，b(1，2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x()A3 B3C11 D3或11【解析】因为ab(x,4,5)(1，2,2)x810x2，且a与b的夹角的余弦值为，所以，解得x3或11(舍去)，故选A.【答案】A9如图1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为() 图1A. B.C. D.【解析】以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，(2,0,1)，(2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向

5、量cos，.sin1，|cos1，|，BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.【答案】D10已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.【答案】A11(2014安

6、徽省合肥一中期末考试)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且mn，则m，n的值分别为()A.， B，C， D.，【解析】由于()，所以m，n，故选A.【答案】A12在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小为()A30 B45 C60 D75【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则，(3,4,0)设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则即令x1，则n.又n1为平面ABCD的一个法向量，cosn1，n.所求二面角为30.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)

7、，且a与b为共线向量，则x_，y_.【解析】由题意得，x，y.【答案】14(2014人大附中期中考试)ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(1,0，)，则角A的大小为_【解析】，(1,0,0)，则cosA，故角A的大小为30.【答案】3015(2014清华附中高二月考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,3)、B(2,1，1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为_【解析】设点C的坐标为(x,0，z)，则(x1,2，z3)，(1,3，4)，因为与共线，所以，解得所以点C的坐标为.【答案】16(2014长沙高二检测)如图2，在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直

8、，且DBDC，E为BC中点，则等于_图2【解析】因为E为BC的中点，所以()，因为在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDC，所以()(22)0.【答案】0三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图3所示的平行六面体中，求证：.图3【证明】平行六面体的六个面均为平行四边形，.()()()2()又，.2.18(本小题满分12分)(2014石河子高二检测)如图4所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1. 图4(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若xyz，求x

9、yz.【解析】(1)因为，所以A，E，C1，F四点共面(2).xyz，x1，y1，z.xyz.19(本小题满分12分)如图5，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，AB5，BC4，AA14，点D是AB的中点图5(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1.【解】直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D.(1)(3,0,0)，(0，4,4)，0，ACBC1

10、.(2)设CB1与C1B的交点为E，则E(0,2,2)，(3,0,4)，.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点图6(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值【解】(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0，0，a)，F.(0，a,0)0.，EFCD.(2)设平面DEF的法向

11、量为n(x，y，z)，则即即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设DB与平面DEF所成角为，则sin .21(本小题满分12分)如图7，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BAAD，CDAD，CDAD2AB，PA底面ABCD，E是PC的中点图7(1)求证：BE平面PAD；(2)若BE平面PCD，求异面直线PD与BC所成角的余弦值；求二面角EBDC的余弦值【解】设ABa，PAb，建立如图的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，P(0,0，b)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，E.(1)，(0,2a,0)，(0,0，b)，所以，因为BE平面PA

12、D，所以BE平面PAD.(2)因为BE平面PCD，所以BEPC，即0，(2a,2a，b)，所以2a20，则b2a.(0,2a，2a)，(a,2a,0)，cos，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为；在平面BDE和平面BDC中，(0，a，a)，(a，2a,0)，(a,2a,0)，所以平面BDE的一个法向量为n1(2,1，1)；平面BDC的一个法向量为n2(0,0,1)；cosn1，n2，所以二面角EBDC的余弦值为.22. (本小题满分12分)(2014湖北高考)如图8，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱D

13、D1，BB1上移动，且DPBQ(02)图8(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解】以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)，(2,0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)当1时，(1,0,1)，因为(2,0,2)所以2，可知BC1FP，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，由得于是可取n(，1)，同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2，1)，若存在，使得平面EFPQ与平面PQMN所在的二面角为直二面角，则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1，故存在1，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角-