第三章--多维随机变量及其分布总结.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第三章-多维随机变量及其分布总结第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量一、二维随机变量的分布函数 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S. 设X、Y是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X, Y)称为二维随机向量或二维随机变量.一般地, (X, Y)的性质不仅与X有关, 与Y有关, 而且还依赖于X、Y的相互关系, 因此

2、必须把(X, Y)作为一个整体来研究. 首先引入(X, Y)的分布函数的概念.定义 设(X, Y)为二维随机变量, 对于任意实数x、y, 二元函数F(x, y) = P(X x)(Y y)= PX x, Y y称为二维随机变量(X, Y)的分布函数, 或称为随机变量X和y的联合分布函数. 分布函数F(x, y)表示事件(X x)与事件(Y y)同时发生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有随机坐标(X, Y)的点, 则分布函数F(x, y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X, Y)落在平面上的以(x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.由上面的几何解释, 容易得到随机点(X

3、, Y)落在矩形区域x1 X x2, y1 Y y2的概率为Px1 X x2, y1 Y y2 = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)(1)与二元函数类似, 二元分布函数F(x, y)也具有如下一些性质:1 F(x, y)是变量x和y的单调不减函数, 即当x1 x2时, F(x1, y) F(x2, y); 当y1 y2时, F(x, y1) F(x, y2).2 0 F(x, y) 1, 且F(-, y) = 0, F(x, -) = 0, F(-,-) = 0, F(+,+) = 1.（凡含-的概率分布为0）3 F(x, y)关于x和

4、y都是右连续的, 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).4 对任意的(x1, y1)、(x2, y2), x1 x2, y1 y2, 有F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1) 0.注: 二元分布函数具有性质1 4, 其逆也成立(2中0 F(x, y) 1可去), 即若二元实值函数F(x, y)(x R, y R)满足1 4, 则F(x, y)必是某二维随机变量的(X, Y)的分布函数. 其中4是必不可少的, 即它不能由1 3推出(除去0 F(x, y) 1).二、二维离散型随机变量如果二维

5、随机变量(X, Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X, Y)是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取的值为(xi, yj) (i , j= 1, 2, 3, ).记PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )则由概率定义有 pij 0; .我们称PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律(概率分布)或随机变量X和Y的联合分布律, (X, Y)的分布律也可用表格表示. 其分布函数为=这里表示对一切xi x, yj y的那些指标i、j求和.例1

6、 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X、Y的联合分布律与分布函数.解: (X, Y)的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). PX = 1, Y = 2= PX = 1PY = 2 / X = 1=.同理, 有 PX = 2, Y = 1= , PX = 2, Y = 2=.即(X, Y)的分布律如右表所示. 当x 1, 或y 1时, Fx, y = 0; 当1 x 2, 1 y 2时, Fx, y = 0;当1 x 2, y 2时

7、, Fx, y = ; 当x 2, 1 y 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E是一个随机试验, 它的样本空间为S, 设X1、X2、Xn是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个n维向量(X1, X2, , Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.对任意n个实数x1、x2、xn, n元函数F(x1, x2, , xn) = PX1 x1, X2 x2, , Xn xn称为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数或随机变量(X1, X2, , Xn)的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.第二节 边 缘 分 布设(X, Y)是二维随机变量, 其分布函数为F(x, y), 事

8、件X x即为 X x, Y +, 从而由(X, Y)的分布函数可定出X的分布函数, 记为FX (x).FX (x) = PX x = P X x, Y + = F(x, +)=.我们称FX (x)为关于X的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y的边缘分布函数为FY (y) = PY y = PX +, Y y= F(+, y) = .一、离散型设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其分布律为PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ), 则, .从而X与Y的分布律分别为, i = 1, 2, ; , j = 1, 2, ;记, i = 1, 2, ;, j =

9、1, 2, .分别称pi 和p j为(X, Y)关于X与Y的边缘分布律.注: 1 边缘分布律具有一维分布律的一般性质.2 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然.二、连续型设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y), 由;.知X与Y都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为;.称fX (x)与fY (y)分别为(X, Y)关于X与Y的边缘概率密度.例2 设D是平面上的有界区域, 其面积为A, 若二维随机变量(X, Y)的概率密度为则称(X, Y)在D上服从均匀分布.现(X, Y)在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边缘概率密度.解: 由, 得A = p.当|x

10、| 0, s2 0, -1 r 1. 我们称(X, Y)为服从参数为m1、m2、s1、s2、r的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度. 解: 令m = .所以, =.令, 则, 从而,.所以, (). 同理可得, ().表明, , .此例说明, 二维正态随机变量(X, Y)中的X、Y都服从正态分布, 并且与参数r 无关. 所以对于确定的m1、m2、s1、s2而取不同的r, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X和Y的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X和Y的联合概率密度(分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道, 两事件

11、A、B相互独立的充要条件是P(AB) = P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义. 定义 设F(x, y)及FX (x)、FY (y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x、y, 有 PX x, Y y = PX x PY y, 即F(x, y) = FX (x)FY (y)(1)则称随机变量X和Y是相互独立的. 可见, 在随机变量X和Y相互独立的情况下, 由关于X和Y的边缘分布函数就唯一地确定(X, Y)的联合分布函数, 而且还可推得= FY (y) = PY y.这就是说在X和Y相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分

12、布.一、离散型 设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ),(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为, i = 1, 2, ;, j = 1, 2, .则X和Y相互独立的充要条件是PX = xi, Y = yj = PX = xi PY = yj, 即pij = (2)二、连续型 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为f (x, y), 关于X和Y的边缘概率密度为fX (x)和fY (y), 则X和Y相互独立的充要条件是等式f (x, y) = fX (x) fY (y)(3)几乎处处成立. 例3

13、 设(X, Y)服从二维正态分布, 即其联合概率密度为 .证明: X和Y相互独立的充要条件是r = 0. 例4 若(X, Y)的联合概率密度为则X和Y相互独立. 证: 显然 故有f (x, y) = fX (x) fY (y). 从而X和Y相互独立. 例5 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在0, 0.2上服从均匀分布, Y的概率密度为试求: (1) X与Y的联合概率密度;(2) PY X. 解: (1) 由已知条件, 得 从而得X与Y的联合概率密度为 (2) PY X= PY - X,积分区域如图, 化成二次积分后得.以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n维随机变量的情形.设n

14、维随机变量(X1, X2, , Xn)的联合分布函数为F(x1, x2, , xn), 若存在非负函数f (x1, x2, , xn), 使得对于任意实数x1、x2、xn, 有F(x1, x2, , xn) = ,则称f (x1, x2, , xn)为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的联合概率密度. 称, , 为关于X1, (X1, X2), 的边缘分布函数, , 为关于X1, (X1, X2), 的边缘概率密度. 若对于所有的x1、x2、xn, 有F(x1, x2, , xn), 则称X1, X2, , Xn是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x

15、1、x2、xm; y1、y2、yn, 有F(x1, x2, , xm; y1, y2, , yn) = F1 (x1, x2, , xm) F2 (y1, y2, , yn)其中F1、F2和F依次为(X1, X2, , Xm)、(Y1, Y2, , Yn)和(X1, X2, , Xm; Y1, Y2, , Yn)的分布函数, 则称随机变量(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, , Yn)是相互独立的. 定理 设随机变量(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, , Yn)相互独立, 则Xi (i = 1, 2, , m)与Yj(j = 1, 2, , n)相互独立. 又若h、g是连

16、续函数, 则h(X1, X2, , Xm)和g(Y1, Y2, , Yn)也相互独立.第三节、条件分布离散型：在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型：在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为例3.9： 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度和X的边缘密度解：y=- x+1y= -x-1x+y= x-1y= x+1例3.10 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布，每个顾客购买某种商品的概率为，并且每个顾客是否购买某种商品相互独立，求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y的分布列。解：X的分布为，由题意知，在的条件下，Y的条件分布的是二项分布，即 从而由全概率公式有 即Y服从泊松分布。例3.11 设服从上的均匀分布，求给定条件下X的条件密度函数.解：注：在给定Y的具体某个取值时，X的条件分布也是均匀分布。-