第10讲.直线与圆锥曲线.学生版.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第10讲.直线与圆锥曲线.学生版第10讲.直线与圆锥曲线.学生版直线与圆锥曲线高考要求圆锥曲线要求层次重难点椭圆的定义及标准方程C圆锥曲线了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质了解圆锥曲线的简单应用理解数形结合的思想曲线与方程

2、了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系椭圆的简单几何性质C抛物线的定义及标准方程C抛物线的简单几何性质C双曲线的定义及标准方程A双曲线的简单几何性质A直线与圆锥曲线的位置关系C曲线与方程的对应关系B知识内容1圆锥曲线中常用公式：弦长公式：对于直线：，点，两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）2椭圆：判断交点个数时，一般方法是连立直线与椭圆的方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，根据判别式的情况判断交点情况如果一条直线与椭圆只有一个交点，则此直线一定与椭圆相切，对于双曲线与抛物线，此说法不成立注意椭圆上的点可以直接设为，此处的的几何意义不明显；3过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点

3、的情况如下：点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线，以及只与双曲线的一支相切的两条切线，共四条；点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线，以及只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一条渐近线平行的直线，一条是切线；为原点时不存在这样的直线3抛物线焦点：，通径；准线：；焦半径：，过焦点弦长，利用抛物线的定义可以简化并解决抛物线中的很多问题，对于椭圆与双曲线，也有类似的定义，称为椭圆与双曲线的第二定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内，到一个定点距离与一条定直线（定点不在定直线上）的距离的比为常数的点的轨

4、迹，当此常数大于时，轨迹为双曲线；等于时，轨迹为抛物线；小于时，轨迹为椭圆这里的定点与定直线是圆锥曲线对应的焦点与准线4直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式等简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，也是难点这类问题围绕着圆锥曲线的性质与直线的基本知识点展开，涉及交点、弦长、中点弦、对称、夹角、面积、最值、定点定值等问题它容纳了解析几何的绝大部分知识点，各种解题方法在这里也

5、得到了充分的体现，它把代数、三角与几何联系在一起，不仅综合性大，而且方法变化多，体现了解析几何与方程思想、数形结合、等价转化、分类讨论等基本数学思想典例分析【例1】 通过焦点的直线被圆锥曲线所截得的线段被称为是焦点弦，它的长度与直线的倾斜角有如下关系：对于椭圆，有；对于双曲线，有；对于抛物线，有【练1】 （丰台理题20）已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点 求证：，三点的横坐标成等差数列； 设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值【练2】 （丰台文题20）已知椭圆经过点，过右焦点且不与轴重合的动直线交椭圆于、两点，当动直线的斜率为时

6、，坐标原点到的距离为 求椭圆的方程； 过的另一直线交椭圆于、两点，且，当四边形的面积时，求直线的方程【例2】 （2010全国卷高考）已知斜率为1的直线与双曲线相交于、两点，且的中点为求的离心率；设的右顶点为，右焦点为，证明：过、三点的圆与轴相切【练3】 （西城文题18）已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 求椭圆的方程； 设直线与椭圆交与两点，点，且，求直线的方程 【练4】 （2010天津高考）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4 求椭圆的方程； 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值【例3】 （海淀理题19

7、）已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于A，B两点写出抛物线的标准方程；若，求直线的方程；若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值【练5】 （2004年福建高考）如图，是抛物线：上一点，直线过点且与抛物线交于另一点若直线与过点的切线垂直，求线段中点的轨迹方程；若直线不过原点且与轴交于点，与轴交于点，试求的取值范围【例4】 （2010重庆高考）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交与、两点，求

8、的面积【练6】 （崇文理题19）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为（）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； （）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值【练7】 （东城理题18）已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上一点到准线的距离是，过点的直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为求抛物线的标准方程；求的值；求证：是和的等比中项【例5】 （2010四川卷高考）已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、 求的方程； 试判断以线段为直径的圆

9、是否过点，并说明理由【练8】 （朝阳理题19）已知动点到点的距离，等于它到直线的距离求点的轨迹的方程；过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；在的条件下，求面积的最小值【例6】 （2010广东）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点 求直线与交点的轨迹的方程 若过点，的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值【练9】 （西城理题19）如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点 若，求直线的方程； 设直线的斜率分别为，若，求的值【例7】 （宣武理题20）已知，动点到定点的距离比到定直线的距离

10、小求动点的轨迹的方程；设是轨迹上异于原点的两个不同点，求面积的最小值；在轨迹上是否存在两点关于直线对称？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由【练10】 （2009山东22）设椭圆（，）过，两点，为坐标原点，求椭圆的方程；是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由在的条件下，求的取值范围课后作业习题1. 已知椭圆，直线：与椭圆有两个交点时，的取值范围为_习题2. 直线被椭圆所截得的弦的中点的坐标是_习题3. （2009江南十校素质测试12）若是过椭圆中心的一条弦，是椭圆上任意一点，且、与坐标轴不平行，、分别表示直线、的斜率，则（ ）A B C D习题4. （2010丰台文科一模19）已知椭圆：，直线与交于不同的两点和问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由习题5. 过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程为_习题6. 已知点和，动点到、两点的距离之差的绝对值为，点的轨迹与直线交于、两点，求轨迹的方程；求线段的长习题7. （2010福建理17）已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点求椭圆的方程；是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由-