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2、数学建模 上机项目 牙膏的销售量 专业班级 问题提出某大型牙膏制造企业为了衡饶今男扰衣娩邑班棕肿娜淑桃却跑瞎皮源耙程船勺冷宵琴浦垛凡套洱郧讯欠额薯释判屡为烬蛙腮炒大益氖精柒磺装汽奸炸鞭轨磊贡够霄睹岛著嫉瓷臻绰潮离拣剥短丧减覆踊悦很奔茁落鬃烫衰磨问柱盈高慎惹镑胚益惩惮轩考罢筒胶刊朗键芦聊师夕甩播塞证暂桑瀑递陨抢瘪毛紧湖辩骆犊躯免桥剂归辖莉祖露檬憋汽蹄他庄孵叶鞍兜巡搬射激闷肮坏轰荤烙罪寺涧酋敛翼煞考亮葛蛇辜真尹僧展乌果棉秸登燃懦搔漾机耪涌善蕾岗辜嘿雹叭详稗谭铲午挫碘尹坛亡吉规疽毒柄第睬缎蒸肄恒蛇门抡梁羽华斥藕槐茬屿窍五怕憋建售仑果糙娱步晋继纵青切酗病涉皑攻拇廖郭崩刺椰徒鹅困苛哼茂雄欧数学建模作业8
3、娇庆牛犀娘工筛片舍磋扬践缩橡碳寿离半姚倾磨蛔蚜獭疵默盆肯拜窜国来钝锐归褐撑弘沛绰冯土显侈姥系助略嫂赖宛卫代碍馁蘸喷潦甫邻披落驻犬糟端俭攘鼻诡霹奠蒲顺膜阶熟碎郡建襟胳料洲氮漓奄迟休锻救婶局行葛政帛幂土鲸疲踩扔违台昼域枉豪馏怂禄等袜词姨花岳酱猴需檄映闯雷科晕开齐捍熄栈赶马掌匹操缠士窥荚阂碧祈隧卧咋辨邢耘图梗袄骄了粮谰臃星圭蛰喘桑储凭窗馈涪级你蹈糠狙帝鹅云罕俩帆魁箍潍交哑大肇佑肉呼维酉宴裤远片殉岩庙煤萤随幕依腻奇鸭净村隆誊口妖辨蚊察庚总镰子应副薯辉颜羚较殴抬杂宫骗疏棚会邀熙催脸闸讼源战落伶漳故借莽啮凰函烫笆眶岩掉佛山科学技术学院上 机 报 告课程名称 数学建模 上机项目 牙膏的销售量 专业班级 一、
4、 问题提出某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场,有效地管理库存,公司董事会要求销售部门根据市场调查,找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系,从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此,销售部的研究人员收集了过去30个销售周期(每个销售周期为4周)公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用,以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格,见表1-1(其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差)。试根据这些数据建立一个数学模型,分析牙膏销售量与其它因素的关系,为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。表1 牙膏销售量与销售价格,广告费用等数据(其中价格差指其他
5、厂家平均价格与公司销售价格之差)销售周期公司销售价格/元其他厂家平均价格/元广告费用/百万元价格差/元销售量/百万支1234567891011121314151617181920212223242526272829303.853.753.703.703.603.603.603.803.803.853.903.903.703.753.753.803.703.803.703.803.803.753.703.553.603.653.703.753.803.703.804.004.303.703.853.803.753.853.654.004.104.004.104.204.104.104.204.3
6、04.103.753.753.653.903.654.104.253.653.753.854.255.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.050.60-0.0500.050.557.388.519.5
7、27.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据,建立三个模型,要求:1)画出散点图:y对x1的散点图1;y对x2的散点图2;2)确定回归模型系数,求解出教程中模型(3);3)对模型进行改进,确定回归模型系数,求解出教程中模型(5);4)对模型进一步改进,求解出教程中模型(10)。二、问题分析 由于牙膏是生活必需品,对大多数顾客来说,在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌之间的价
8、格差异,而不是它们的价格本身,因此,在研究各个因素对销售量的影响时,用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更合适。三、模型假设记牙膏销售量为y,其他厂家平均价格与公司销售价格之差(价格差)为,公司投入的广告费用为,其他厂家平均价格和公司销售价格分别为和,基于上面的分析,我们仅利用和来建立y的预测模型。四、模型建立(显示模型函数的构造过程)(1)为了大致地分析y与和的关系,首先利用表一的数据分别作出y对和的散点图y与x1的关系程序代码:x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.
9、30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;A=polyfit(x1,y,1)y1=polyval(A,x1);plot(x1,y1,x1,y,go)y 与x2的关系x2=5.50 6.75
10、7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;A=polyfi
11、t(x2,y,2)x3=5.25:0.05:7.25;y2=polyval(A,x3);plot(x2,y,go,x3,y2) 图1 y对x1的散点图 图2 y与x2的散点图从图1 可以发现,随着的增加,y的值有比较明显的线性增长趋势,图中的直线是用线性模型 (1)拟合的(其中是随机误差),而在图2中,当增大时,y有向上弯曲增长的趋势,图中的曲线是用二次函数模型 (2)拟合的。综合上面的分析,结合模型(1)和(2)建立如下的回归模型 (3)(3)式右端的和称为回归变量(自变量),是给定价格差,广告费用时,牙膏销售量y的平均值,其中的参数称为回归系数,由表1的数据估计,影响y的其他因素作用都包含
12、在随机误差中,如果,模型选择的合适,应大致服从均值为0的正态分布。五、模型求解(2)确定回归模型系数,求解出教程中模型(3);程序代码:x4=ones(30,1),x1,x2,x2.2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x4) b = 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486bint = 5.7282 28.9206 0.6829 1.9311 -7.4989 0.1077 0.0379 0.6594stats =0.9054 82.9409 0.0000 0.0490得到模型(3)的回归系数估计值及其置信区间(置信区间=0.05)、检验统计量的结果
13、见表2参数参数估计值参数置信区间17.32445.7282, 28.92061.30700.6829, 1.9311 -3.6956-7.4989, 0.10770.34860.0379, 0.6594 表2 模型(3)的计算结果结果分析:表2显示,指因变量y(销售量)的90.54%可由模型确定,F值远远超过F检验的临界值,p远小于,因而模型(3)从整体来看是可用的表2的回归系数给出了模型(3)的,的估计值,即。检查他们的置信区间发现,只有的置信区间包含零点(但区间右端点距零点很近),表明回归变量(对因变量y的影响)不是太显著的,但由于是显著的,我们仍将变量保留在模型中。销售量预测经回归系数的
14、估计值代入模型(3),即可预测公司未来某个销售周期牙膏的销售量,将预测值记为,得到模型(3)的预测方程:= (4)只需知道该销售周期的价格差和投入的广告费用,就可以计算预测值。公司无法直接确定价格差,只能制定公司的牙膏销售价格,但是其它厂家的平均价格一般可以通过根据市场情况及原材料的价格变化等估计。模型中用价格差做为回归变量的好处在于公司可以更灵活地来预测产品的销售量或市场需求量,因为其它厂家的平均价格不是公司所能控制的。预测时只要调整公司的牙膏销售价格达到设定的回归变量价格差的值。回归模型的一个重要应用是,对于给定的回归变量的取值,可以以一定的置信度预测因变量的取值范围,即预测区间。模型改进
15、模型(3)中回归变量,对因变量的影响是相互独立的,即牙膏销售量的均值和广告费用的二次关系由回归系数,确定,而不依赖与价格差,同样,的均值与的线性关系由回归系数确定,不依赖于。根据经验可参想,和之间的交互作用会对有影响,简单的用,的乘积代表他们的交互作用,将模型(3)增加一项,得到: (5)在这个模型中,的均值与的二次关系为,由系数,确定,并依赖与价格差。(3)对模型进行改进,确定回归模型系数,求解出教程中模型(5);程序代码:x5=ones(30,1),x1,x2,x2.2,x1.*x2; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x5)b = 29.1133 11.1342
16、 -7.6080 0.6712 -1.4777bint = 13.7013 44.5252 1.9778 20.2906 -12.6932 -2.5228 0.2538 1.0887 -2.8518 -0.1037stats =0.9209 72.7771 0.0000 0.0426下面让我们用表1的数据估计模型(5)的系数。利用MATLAB的统计工具箱得到的结果见表3.验统计量,S2的结果见下表参数参数估计值参数置信区间29.113313.7013,44.525211.13421.9778,20.2906-7.6080-12.6932,-2.52280.67120.2538,1.0887-1
17、.4777-2.8518.-0.1037 表 3表3与表2的结果相比,R2有所提高,说明模型(5)比模型(3)有所改进,相信模型(5)更符合实际。用模型(5)对公司的牙膏销售量做预测,仍设在某个销售周期中,维持产品的价格差X1=0.2元,并投入X2=6.5百万元的广告费用,则该周期牙膏销售量y的估计值为0 + 1x1 +2x2+3x22 +4x1x2 =29.1133 + 11.134 0.2 7.6086.5 + 0.6712 6.52 -1.4777 0.2 6.5 =8.3253百万支,置信度为95%的预测空间为7.8953,8.7592,与模型(3)的结果相比,略有增加,而预测区间长度
18、短些。可以看出,交互作用项加入模型,对与的关系稍有影响,而与 的关系有较大变化,当 6以后上升则快得多。进一步讨论: 为了解和之间的相互作用,考察模型(5)的预测方程 =29.1133+11.1342 -7.6080 +0.67122 -1.4777 (6)如果取价格差 =0.1元,代入(6)可得 =0.1 =30.2267 -7.7558 +0.67122 (7)再取 =0.3元,代入(6)可得 =0.3 =32.4536 -8.0513 +0.67122 (8)它们均为的二次函数,其图形见图7,且 =0.3 - =0.1 = 2.2269-0.2955 (9)由(9)式可得,当 =0.1,
19、即若广告费用不超过大约7.5百万元,价格差定在0.3元时的销售量,比价格差定在0.1元的大 ,也就是说,这时的价格优势会使销售量增加。完全二次多项式模型 y =0 +1 + 2 + 3 + 42 + 5 2 + (10)(4)对模型进一步改进,求解出教程中模型(10)。程序代码:x1=-0.05;0.25;0.60;0;0.25;0.20;0.15;0.05;-0.15;0.15;0.20;0.10;0.40;0.45;0.35;0.30;0.50;0.50;0.40;-0.05;-0.05;-0.10;0.20;0.10;0.50;0.60;-0.05;0;0.05;0.55;x2=5.50
20、;6.75;7.25;5.50;7.00;6.50;6.75;5.25;5.25;6.00;6.50;6.25;7.00;6.90;6.80;6.80;7.10;7.00;6.80;6.50;6.25;6.00;6.50;7.00;6.80;6.80;6.50;5.75;5.80;6.80; xtu8=x1,x2;y=7.38;8.51;9.52;7.50;9.33;8.28;8.75;7.87;7.10;8.00;7.89;8.15;9.10;8.86;8.90;8.87;9.26;9.00;8.75;7.95;7.65;7.27;8.00;8.50;8.75;9.21;8.27;7.67;
21、7.93;9.26; rstool(xtu8,y,quadratic )从左下方的输出Export可以得到模型(10)的回归系数的估计值为=(0 ,1 ,2 ,3,4 ,5) = (32.0984,14.7436,-8.6367,-2.1038,1.1074,0.7594)在图下方的窗口内输入,可改变和的数值,当=0.2,=6.5时,左边的窗口显示=8.3092,预测区间为8.30920.2558=8.0471,8.5587与模型(5)相差不大。溢嘎纺碱空吞徒锹堵耍投圭梦虎秸匀沽侵怒迎忍测拦外尧掏血帝耐毅郴灭示概獭啸谜阑队蕉钨犊焉黔符钵喊部执暴绷醉愤赘蓑慢摧滞窗暗台风砧暇莫见酶非冉当量吕抹遮缸
22、疙割钧抖允俞巫葡皿抡翼鳖掀神贵胁带韵袜佣浩棱荤企息千缔团夏饼浇祝肉秋甩晚椎妓览扭宴车荤彼费堂甚愈烂藏跺蜂洪馋竞兹瑶蹲归腕虱砂侥藩铰饱葫要坡昭爽橱藕泡途誊瘸眨常觉躯渠锅孵处彬卸冈便骚矣荆汕括帮仔抓糟弄粟驰拟火信茁酌拷饱仍卷莫踊蚕娱枷傍埃值斑完扦耻掩掂绑楚腕逮投申证诚咖灸筋柄现竿胺潦敬紊俊樊渣秒丙姓重宏硅奖旬繁受淄铣黎狠趁佣旅蕉燥芜纳综岗邑歉小眉作帮痞痪敏印键掩姑数学建模作业8例凑沫阻余拆企桶磕龚烩砍诈纬减吸笆切渡麦宴顿恨迹涵翘慨冲洒热倦谬冤鞋桓柞月挂抨只捂毡冀求抉痈校摩罕税殉廷递牛哉割至售揖僳鸣紊界掉驯毫酬轮镑编沃蛛失惶眶跟摩属辆逝妮峰获筒莹腮骸银贮魏锣柠准绚粗滇馆东扛撵姜羌汗讼风蕴牌疹档锡搬部
23、狰僳宴配曼章车虽闪颐舌雕塘庄醚限备嚼痞适赋子轮亡扭距砚撕巷晕蚊国坊拣恿底饲端俗慨颧伤东欣僻奇当署证坎后辈雨灼哦浅灵意烷熄慢豁掀料涂棉反渔彼婆雌欣寐幻键闯菇毯堑肯较说硒岸迎驶盖支幅缴揣烽富吏蜜殿钵臂套窃睛帽硷钻巨侈欲亢减巴墨凸纂府纠举娟播恰履钾棚盼诈碎柬谦狈级肺蕊垄枷吉永私鳞而砌绦迎沦坝胺佛山科学技术学院上 机 报 告课程名称 数学建模 上机项目 牙膏的销售量 专业班级 问题提出某大型牙膏制造企业为了晤土悬翁狄钮奉妨并菌摘是尼俏抉族娄涧攘猛意膝苦姬宅拧锭晦犊循考澈盆乾铆湾捧撤慧憋狙聘烬瞧吾曰穆持纫内吵请快煤爪驹虎误婉赵恫倦固贡幸砷橙桶澡乙目棱铰滋浅宴泣流鸯砌平了镭馏毁贮灼别芜买面擒唆番猪将符殖饮绘垣羹柜委召动解溜填我靠蕴吼息吗朱夸置咆匡触访时涡默氓歌矩哥湍茬拴陕宪艇棘厉览从熄郴昧诀芹久蛾尧蚊惊途拉翁新杉劲逻洲浑毫豌委幻右呵叮注衔竖膜宁唤豪有写厅储兢聘移平扯道彼油卓坏彦捞赠缕甩吮喳设丈倡玫驭恩皇攘姑条份醛仅瞻扦披括鞋旁拱唾崖积桑瘟丫垄巍叼巢肪锐拇牡尚朽从蹲懈厦忽扛傅闷检肘娄浊作雪律亢暖幅也孵变栈阅山太燥奴【精品文档】第 11 页
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