考研数学模拟试题数学二.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date考研数学模拟试题数学二考研数学模拟试题数学二考研数学模拟试题（数学二）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设是多项式的最小实根，则（）. （A）（B）（C）（D）解 选择A. 由于，又是多项式的最小实根，故.2.设 则函数在点（）. （A）取极大值（B）取极小值（C

2、）可导（D）不可导解 选择D. 由极限的保号性知，存在，当时，当时，当时，故在点不取极值.，所以在点不可导.3.设连续，且满足，则（）.（A） （B）（C） （D）解 选择B. 由题设知 .4.微分方程的特解形式为（）.(A) (B) (C) (D) 解 选择D. 特征方程，特征根，是特征根，特解形式为.5. 设函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）. （A） （B） （C） （D）解 选择C. 由于为奇函数，故为偶函数.6. 设在全平面上有，则保证不等式成立的条件是（ ）（A），.（B），.（C），.（D），.解 选择A. 关于单调减少，关于单调增加，当，时，.7.设和为实对称矩阵，且与

3、相似，则下列结论中不正确的是（）.(A)与相似 (B) 与合同 (C) (D) 解 选择D. 与相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故A，C正确，又和为实对称矩阵，且与相似，可以推出与合同，故B正确.8. ，为维列向量，则有（）.(A)当时，方程组有解(B)当时，方程组有唯一解(C)当时，方程组有唯一解(D)当时，方程组有无穷多解解 选择A. 当时，方程组有解.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9. .解 答案为.10设有二阶连续偏导数，则 . 解 答案为.11.设微分方程的通解为，则 . 解 答案为. 将代入微分方程，得，故.12.数列中

4、最大的项为 .解 答案为.【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】设，时，单调增加，故时，递增，最大，时，单调减少，故时，递减，最大，又，数列的最大项为.13.方程在区间内的实根个数为 .解 答案为. 令，由零点定理知，此方程在区间内至少有一个实根，又，单调增加，故此方程在区间内有且仅有一个实根.14.设阶矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则的通解为 .解 答案为，为任意常数. 是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则是的两个解，且它们线性无关，又，故是的基础解系，所以的通解为.三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.

5、（本题满分9分）求极限解 16. （本题满分9分）设单调且具有一阶连续导数，满足，求可导函数.解 ，代入方程，得，即，解得，其中为任意常数.17. （本题满分9分）计算积分解 画出二重积分区域，是的第一象限部分，由对称性，得18. （本题满分11分）求微分方程满足初始条件，的特解.解 令，代入原方程，得，由，得，即，故，由得，所以.19. （本题满分11分）设和在区间可导，并设在内，证明在内至多存在一点，使得.证 设，则.若在内存在两个不同的点，使得，则由罗尔定理知，至少存在一点介于之间，使，即，于是有，与题设矛盾，故在内至多存在一点，使得.20. （本题满分11分）设有抛物线：，试确定常数的

6、值，使得与直线相切；与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大.解 设切点为，切线斜率，代入切线方程，得.又旋转体体积，解得或者，故时，体积最大，将代入得，所以，.21.（本题满分11分）一质量为的物体以速度从原点沿轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度.解 根据牛顿第二定律，物体上升的高度所满足的微分方程为，初始条件为.代入方程，得，记，积分得，时，故，令，得上升到最高点的时间为，上升的最大高度为.22. （本题满分11分）设.当满足什么条件时，可由线性表示，且表示式唯一？当满足什么条件时，可由线性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式.解 设 ，其增广矩阵当时，方程组有唯一解，即可由线性表示，且表示式唯一.当时，故当时，方程组有无穷多解，即可由线性表示，且表示式不唯一，同解方程组为，通解为，故的表示式为，其中为任意常数.23. （本题满分11分）设为阶矩阵，可逆，且，证明：若是的特征向量，则也是的特征向量； 若有个不同的特征值，是的特征向量，则也是的特征向量.证 证 设，则，故也是的特征向量由有个不同的特征值知，的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，故存在常数，使得，故也是的特征向量.-