正弦定理与余弦定理的证明.doc

《正弦定理与余弦定理的证明.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦定理与余弦定理的证明.doc（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除一、正弦定理的几种证明方法abDABC1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有,。由此，得 ，同理可得 ， 故有 .从而这个结论在锐角三角形中成立.ABCDba（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有， 。由此，得 ，同理可得 故有 .由(1)(2)可知，在ABC中， 成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即.2.利用三角形面积证明正弦定理DCBA已知ABC,设BCa, CAb,ABc,作ADB

2、C,垂足为D.则RtADB中, ,AD=ABsinB=csinB.SABC=.同理,可证 SABC=. SABC=.absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以ABC,可得.即.3.向量法证明正弦定理(1)ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90-A,j与的夹角为90-C.由向量的加法原则可得,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到 由分配律可得. B C|j|Cos90+|j|Cos(90-C)=|j|Cos(90-A). j asinC=csinA. A 另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角

3、为90+C,j与的夹角为90+B,可得.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90-C,j与的夹角为90-B).CA(2)ABC为钝角三角形,不妨设A90,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90,j与的夹角为90-C.由,得j+j=j, jAB即aCos(90-C)=cCos(A-90),asinC=csinA.另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90+C,j与夹角为90+B.同理,可得. 4.外接圆证明正弦定理在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B,设BB=2R.则根据直径所对的

4、圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB=90，C =B，sinC=sinB=.同理,可得.这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式ACB法一(平面几何)：在ABC中，已知，求c。过A作，在Rt中，法二（平面向量）：，即：法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)|AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2=a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b22abcosC，即c2=a2+b22abcosC法五（用相交弦定理证明

5、余弦定理）:如图，在三角形ABC中，A=，AB=a，BC=b，AC=c。现在以B为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E 这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为AG=2acos，所以CG=2acos-c。根据相交弦定理有： DCCE=ACCG，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acos-c) 化简以后就得b2=a2+c2+2accos。也就是我们的余弦定理。如图，在ABC中，AB4 cm，AC3 cm，角平分线AD2 cm，求此三角形面积.分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式SABCABACsin

6、A，需求出sinA，而ABC面积可以转化为SADCSADB，而SADCACADsin，SADBABADsin，因此通过SABCSADCSADB建立关于含有sinA，sin的方程，而sinA2sincos，sin2cos21，故sinA可求，从而三角形面积可求.解：在ABC中，SABCSADBSADC，ABACsinAACADsinABADsin43sinA32sin，6sinA7sin12sincos7sinsin0，cos，又0A，0sin，sinA2sincos，SABC43sinA（cm2）. 在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD4，求BC边长.解：设BC边为x，则由D为BC

7、中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC.解得，x2所以，BC边长为2.2.在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cosC，又0C180，sinC在ABC中，ABAC7.3.在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值.解：cosAcos45，0A45A90，sinAsinBsin30，0B0B30或150B180若B150，则BA180与题意不符.0B30 cosBcos（AB）cosAcosBsinAsinB 又C180（AB）.cosCcos180（AB）cos（AB）.【精品文档】第 5 页