线性方程组解的结构研究.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除目录摘要IAbstractII第一章 绪论1 1.1 研究目的和意义1 1.2 国内外研究现状1 1.3 研究的主要内容1第二章 线性方程组解的结构22.1 线性方程组的定义22.2 齐次线性方程组的解的结构22.2.1 齐次线性方程组有无穷多解时32.2.2 齐次线性方程组有唯一解时32.3 非齐次线性方程组解的结构42.3.1 一般的非齐次线性方程组的解42.3.2 存在全非零解的情况72.3.3 非齐次线性方程组的基础解系92.4 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解之间的联系112.4.1 解集的线性关系112.4.2 两个基础解系的不同

2、点11第三章 结论13参考文献14致谢15线性方程组解的结构学生：何敏 指导教师：何聪 摘要 线性方程组在解决应用问题中起着重要的作用,是一个极其重要的数学工具。线性方程组的求解过程通常与向量相联系,而空间又可以用向量来表示,向量又与我们日常生活的许多事例相关,所以,我们生活中遇到的许多抽象化的无法快捷求解的难题,都可以通过向量和方程组的求解而实现,而在方程组的求解中,线性方程组是方程组中的最基本的方程组,所以,线性方程组的求解是十分重要的。本文通过对齐次和非齐次线性方程组解的结构的研究来探讨线性方程组解的结构。对线性方程组解的结构作一个详细的归纳，并概括出两者解集间的联系。 关键词：线性方程

3、组；矩阵；秩；向量；解的结构【精品文档】第 12 页THE STRUCTURE OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS SOLUTION Student: Instructor:Abstract System of linear equations in solving the problem of application plays an important role, is an extremely important mathematical tools. Linear equations solving process is usually associat

4、ed with vector, and also can be used in the space vector, vector and associated with the many examples of our daily life, so, we encountered in the life of many abstract cannot be quick to solve the problem, can be studied by solving the equations of the vector and implementation, and in solving sys

5、tems of nonlinear equations, systems of linear equations is the most basic equations of the system of equations, so the solution of the system of linear equations is very important in this article, through alignment time and the structure of the system of nonhomogeneous linear equations research to

6、explore the structure of the system of linear equations solution. The structure of system of linear equations solution, a detailed article sums up and summarizes both the relation between solution set. Keywords: Linear equation； Matrix； Rank； Vector； The solution structure第一章 绪论 1.1 研究目的和意义 线性方程组在解决

7、应用问题中起着重要的作用,是一个极其重要的数学工具。线性方程组的求解过程通常与向量相联系,而空间又可以用向量来表示,向量又与我们日常生活的许多事例相关,所以,我们生活中遇到的许多抽象化的无法快捷求解的难题,都可以通过向量的方程组的求解而实现,而在方程组的求解中,线性方程组是方程组中的最基本的方程组,所以,线性方程组的求解是十分重要的,求解线性方程组的方法就显得尤其必要。 1.2 国内外研究现状 国内外都对方程组的解的结构的求解过程做出了详尽的分析，但是很少有人对的齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的过程放在一起做具体的分析，比较和概括，所以本文将对齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的求解过程做

8、详尽的分析，从具体的分析过程中我们可以看到两者的联系与区别，最后将两者解集间的区别和联系系统地归纳在一起，便于理解和记忆。 1.3 研究的主要内容线性方程组解的结构研究包括两方面的内容，齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法。而非齐次线性方程组的解法与齐次线性方程组的解法相联系，所以，本文通过递进的形式先研究齐次线性方程的解法，再研究非齐次线性方程的解法。即通过齐次线性方程组解的表示及解集的结构,对非齐次线性方程组解的表示及解集的结构进行了讨论和分析,给出了有无穷多解时非齐次线性方程组的解集。然后通过矩阵初等变换等，运用齐次线性方程组的求解方法等来求解非齐次线性方程组。第二章 线性方程组解的结

9、构2.1 线性方程组的定义 数域上的含有个未知量和个方程的线性方程组的一般形式为 线性方程组的矩阵表示为： ，则可以写成，其中称为方程组的系数矩阵，称为方程组的增广矩阵。若，则称方程组为齐次线性方程组。若，则称方程组为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组的导出组是。2.2 齐次线性方程组的解的结构参考文献1张禾瑞,郝邴新编.高等代数(第四版)M.北京:高等教育出版社,2003:263267. 令，则 2.2.1 齐次线性方程组有无穷多解时如果矩阵的行列式，则说明的秩,即,方程组可以通过矩阵的初等变换使得方程组最简化，简化后的方程组中未知数的个数大于方程组中方程的个数，不妨设,则简化后的方程组为：

10、 则该方程组的系数矩阵设为,则,则,故,该方程组此时有无穷多个解，我们可以将该方程组的一般解表示为的基础解系)。 2.2.2 齐次线性方程组有唯一解时 如果矩阵的行列式，则说明的秩,即,此时方程组最简化，方程组中未知数的个数与方程组的个数相同，方程组此时的结构为：且且,此时，方程组只有唯一的解，且为零解，即。2.3 非齐次线性方程组解的结构2钱吉林.高等代数题解精粹M.北京:中央名族大学出版社,2002:145230.3王萼芳,石生明.高等代数(第三版)M.北京:高等教育出版社,2003:83-84. 2.3.1 一般的非齐次线性方程组的解 令(此时),则就为一非齐次线性方程组，即 (2.1)

11、 该非齐次线性方程组的矩阵表示为：，方程组称为的导出组，矩阵叫做矩阵的增广矩阵。求非齐次线性方程组的解又涉及到方程组是否有解以及方程组有多少个解的问题，故系数矩阵及的增广矩阵有很大联系。下面讨论系数矩阵及增广矩阵之间的关系。若=，设增广矩阵=，与经过初等行列变换可以求出的秩，如果，则（2.1）有解，若，则（2.1）无解。 当（2.1）有解时，分两种情况：(1) 时，（2.1）只有唯一的一个解，且为非零解，求解方法为： 先求出求出|=（），则，则()就是该方程组的唯一解。定理 设有无穷多解,且是它的一个特解，是由导出的齐次线性方程组的一个基础解系,令 (2.2)则方程组个线性无关的解向量,且的全

12、部解可表示为 (2.3)我们来证明上面这个结论：(i)证明是方程组的个线性无关的解向量。显然是的解向量。设有个数,使得 (2.4) 将(2.3)代入(2.4),再整理得: 因为是的解且线性无关,又是的解,所以不能被线性表示,即,线性无关。从而 所以，所以线性无关,故(i)得证。(ii)证明(2.1)的全部解可表示为首先,因为方程组的任一解向量是可表示为令，再将(2.2)代入上式,并整理得且,即方程组的每一个解向量都可表示为以上形式。反过来,具有上述形式的向量一定是方程组的解,所以方程组的全部解可写成这种形式。故(ii)得证。综合(i),(ii),该结论得证。(2)时，此时,方程组的增广矩阵可以

13、通过初等行列变换变为 (2.5)此时该方程组的系数矩阵设为，则增广矩阵且=|，(2.5)中未知数的个数大于方程组的个数，因此(2.5)式所表示的方程组有无数个解。现给出一方程组： (2.6)其中(2.6)是(2.5)所表示方程组的导出组，设是(2.5)的一个特解，(2.6)的系数矩阵经过初等行列变换可以求出(2.6)的一个基础解系，设，则(2.5)所表示的方程组的一般解为: 2.3.2 存在全非零解的情况4王金山,任蓓.齐次线性方程组存在全非零解的条件J.大学数学,2005:9597.5杨子胥.高等代数习题解(修订版)上册M.济南:山东科学技术出版社,2002:450-470.6郭育红.高等代

14、数选讲M.国防工业出版社,2012:66-68.致谢衷心感谢我的指导老师，在论文开题报告之初就给以我耐心的指导和孜孜不倦的教诲，本论文的书写能够顺利完成全靠了老师的指导与帮助，在此，谨献以我最高的崇敬。感谢他一直以来的耐心指导和爱心教导。在此成文之际，谨向导师何聪教授致以我最崇高的敬意和衷心的感谢，并祝何聪老师及家人身体健康，生活幸福.感谢学院的老师和领导，特别是老师，老师，老师，老师，老师，感谢他们在我读书期间所给予的关心和帮助。感谢同窗、以及其他师兄妹，非常高兴能与他们一起学习讨论。最后，感谢我的家人，感谢他们对我永远的支持与鼓励！ 除上面所谈到的一般的非齐次线性方程组外，我们下面来谈论一

15、下非齐次线性方程组中一类特别的解存在的情况非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件。首先，我们来介绍一下全非零解的定义：设是(2.1)的一个解，如果所有的，则就是该非齐次线性方程组的一个全非零解。 此外，再介绍一下行简化阶梯型矩阵的定义：设为矩阵，根据矩阵的行列变换-初等变换将矩阵化为阶梯型矩阵，并且使这个阶梯型矩阵中每一个的非零行(从左边算起)的第一个非零元素为1，且该元素所在列的其他元素全部等于0，那么这样的阶梯型矩阵就是行简化矩阵。同理，列简化矩阵的定义类似给出。下面我们给出某一个非齐次线性方程组有全非零解的充要条件：定理非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是它的增广矩阵的秩与系数矩阵的

16、秩相等,且的行简化阶梯形矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于2。(注意：该条件的成立是建立在线性方程组有解判别定理的基础上的。)(以下给出具体的证明过程)证明:(必要性)方程组有全非零解,则必满足方程组有解的条件,因而.不妨设其秩为,且的行简化阶梯矩阵为 (4)(4) 对应的方程组为 (5)若对某个,有，则,这和矩阵(4)所对应的方程组(5)有全非零解相矛盾,所以对任意的,至少存在一个(其中),使或者,即(4)中第行至少有两个非零元素。(充分性)设是充分大的正数,令.将其带入方程组(5),得 而当(),时,显然成立; 当上式右端存在至少一个非零系数时,不妨设第一个非零系数为(),则(其中)

17、。由于，因此。故存在充分大的正数,使()。 取=,使得于是得到方程组的一个全非零解。 2.3.3 非齐次线性方程组的基础解系 定义1 数域上的非齐次线性方程组的一组解向量称为的一组基础解系,如果满足如下条件:线性无关;的任意解向量可由线性表出。 定义2 设与为某一非齐次线性方程组的任两组基础解系,且,()，即称为基础解系到基础解系的过渡矩阵。 定理1 设为的任一组基础解系,则。证明：由于任意两组基础解系是等价的线性无关的向量组,因而所含向量个数相同.所以只需证明特定的一组基础解系含向量个数为即可。 设的导出组的一组基础解系为为的一个特解,令: (); (I)则为的一组基础解系。可以证明,与是等

18、价的.这是因为 () (II)由(I)与(II)可知,两向量组等价。而向量组的秩为。 事实上,若是线性相关的,因是线性无关的,则有,即可由线性表出,则是的一个解,这与是的一个特解相矛盾,由此易知,是的一组基础解系,且。 由于的解向量不构成向量空间,其基础解系的线性组合未必是的解。针对这一点我们有： 定理2 设为的任一组基础解系,则的解集可表示为设为基础解系的线性组合,由定理1知,则可表示为:从而,为的解。 由定理2,容易推知: 推论1 基础解系的过渡矩阵的各列元素之和均为1。 推论2 若可逆矩阵的各列(行)元素之和均为常数,则其逆矩各列(行)元素之和均为常数。2.4 齐次线性方程组和非齐次线性

19、方程组的解之间的联系 2.4.1 解集的线性关系 两个非齐次线性方程组的解的差是该非齐次线性方程组所对应导出组的解。 非齐次线性方程组(其中为矩阵)的解集中极大线性无关向量组的向量个数等于导出组的基础解系中向量个数加1,且它们以某种特定方式联系着。 2.4.2两个基础解系的不同点 非齐次线性方程组的“基础解系”与齐次线性方程组的基础解系,主要有以下三个不同点: 当方程组或的系数矩阵的秩等于时,的基础解系所含解向量的个数是个,而的“基础解系”所含向量的个数是个。 方程组的一个基础解系的任意线性组合都是的一个解,而对于方程组来说,它的“基础解系”只有满足的线性组合才是的一个解,否则就不是的一个解。

20、二者的求法不同。齐次线性方程组的基础解系的求法如课本中所介绍过程求解,而非齐次线性方程组的“基础解系”的求法如前所述,可利用方程组的一个特解和与它相应的齐次线性方程组的基础解系线性构造的和而得。第三章 结论 对于上面所讲到的一般线性方程组： 我们有以下结论： (i)有解定理：有解的充分必要条件是。 (ii)解的个数定理：设有解，若，则有唯一解；若，则有无穷多解。(iii)齐次线性方程组解的结构：一个齐次线性方程组总有解，每一个齐次线性方程组至少有零解。假设含有个未知量和个方程的齐次线性方程组为,若这个齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有唯一解的条件是；有非零解的条件是；当时，有非零解的充分必要条件是；特别地，当时，必有非零解。设含有个未知量和个方程的齐次线性方程组为, 其中系数矩阵的秩为，则若,则必有基础解系，且基础解系所含向量的个数为;当时，则的任何个线性无关的解都是基础解系。设是的任一个基础解系，则方程组的每一个解都是这一基础解系的线性组合。(iv)非齐次线性方程组解的结构：设线性方程组有解，且它的导出方程组为，其中的秩为，则线性方程组的每一个解都可以表示成它的一个特解与其导出组的一个解之和；若线性方程组有无穷多个解，而是的一个特解，是导出方程组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的全部解可表示为。