解析几何-知识点总结-大量练习.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date解析几何-知识点总结-大量练习解析几何知识点解析几何知识点一、基本内容（一）直线的方程 1、 直线的方程确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围2、两条直线的位置关系两条直线的夹角，当两直线的斜率k1，k2都存在且k1k2-1时，当直线斜率不存在时，应结合图形判断

2、，另外注意到角公式与夹角公式的区别(2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断3、在学习中注意应用数形结合的数学思想，即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义（二）圆的方程(1)圆的方程1、 掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化2、 圆的标准方程为(xa)2+(y

3、b)2r2；一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标，半径为。3、 在圆(xa)2+(yb)2r2，若满足a2+b2 = r2条件时，能使圆过原点；满足a=0，r0条件时，能使圆心在y轴上；满足时，能使圆与x轴相切；满足条件时，能使圆与xy0相切；满足|a|=|b|=r条件时，圆与两坐标轴相切4、 若圆以A(x1，y1)B(x2，y2)为直径，则利用圆周上任一点P(x，y)， 求出圆方程(xx1)(xx2)+(yy1)(yy 2)0(2) 直线与圆的位置关系在解决的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用0，=0，0，而

4、用圆心到直线距离dr，d=r，dr，分别确定相关交相切，相离的位置关系涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式已知O1：x2+y2 = r2，O2：(x-a)2+(y -b)2r2；O3：x2+y2+Dx+Ey+F=0则以M(x0，y0)为切点的O1切线方程为xx0+yy0r2；O2切线方程条切线，切线弦方程：xx0+yy0=r2(三)曲线与方程(1)在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对x、y表示，这就是动点的坐标(x，y)当点按某种规律运动而形成曲线时，动点坐标(x，y)中的变量x，y

5、存在着某种制约关系这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x，y方程F(x，y)0曲线C和方程F(x，y)0的这种对应关系，还必须满足两个条件：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，这时，我们才能把这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线这时曲线与方程就成为同一关系下的两种不同表现形式曲线的性质完全反映在它的方程上；方程的性质又完全反映在它的曲线上这样，我们便可以利用方程来研究曲线，构成解析几何中解决问题的基本思想曲线与方程对应应满足的两个条件，其中条件(1)说明曲线上没有坐标不满足方程的点，即曲线上所有点都适合这个条件而毫无例外，也说成曲线具有

6、纯粹性；条件(2)说明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏，也就是说曲线具有完备性(2)求曲线方程的五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；建标(2)写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)； 设点(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0 列式(4)化方程f(x，y)=0为最简方程 化简(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以不写，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程（3）求曲线方程主要有四种方法：(1)条件直译法：如果点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单

7、、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或，)的等式，我们称此为“直译法”(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点如果相关点满足的条件简明、明确，就可以用动点坐标把相关的点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹(3)几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律(4)参数法：有时很难直接找出动点的横纵坐标之间关系如果借助中间参量(参数)，使x，y之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程（四）圆锥曲线（1）椭圆(1)椭圆的定义平面

8、内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距这里应特别注意常数大于|F1F2|因为，当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在（2）椭圆的标准方程之所以称它为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用对称性建立直角坐标系有关同时，还应注意理解下列几点， 1)标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件2)焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型也就是

9、说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型3)任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式1)范围：焦点在x轴时，椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形里2)对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的，这时坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆中心3)顶点：椭圆与对称轴的交点为椭圆的顶点A1(a，0)A2(a，0)B1(0，b)B2(0，b)线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴，短轴，长分别为2a，2b1e越接近于1，则椭圆越扁，反之，e越接

10、近于0，椭圆越接近于圆5)焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径如图所示，当焦点在x轴上时，任一点到左焦点的焦半径为r1a+ex06)|A1F1|=a-c |A1F1|=a+c10)椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(e1的点的轨迹（三）圆锥曲线名称椭 圆双 曲 线图象定义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方程焦点在轴上时

11、： 焦点在轴上时：焦点在轴上时：焦点在轴上时：常数的关系 ， 最大，可以，最大，可以渐近线焦点在轴上时： 焦点在轴上时：抛物线：图形方程焦点准线【典型例题】例1、过点P（2，1）的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A、B两点求取得最小值时直线的方程解：设直线的方程为., ，即的最小值为8当且仅当a=2b，即a=4，b=2时取得等号。故所求直线的方程为：x+2y-4=0变式：过点P（2，1）的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A、B两点求取得最小值时直线的方程解：显然直线的斜率存在，设其方程为：y-1=k（x-2）,则A由，=当且仅当时取等号，的最小值为4时直线的方程为x+y-3=0例2、已知甲、乙

12、、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194 （）用x，y表示混合食物成本c元； （）确定x，y，z的值，使混合物的成本最低解：（）由题，又，所以（）由得，所以所以当且仅当，即时等号成立所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上

13、使得最大的点不难发现，应在点M（50，20）处取得例3、如图，一列载着危重病人的火车从O地出发，沿射线OA的方向行驶，其中.在距离O地（为正常数）千米、北偏东角的N处住有一位医学专家，其中.现120指挥中心紧急调离O地正东p千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速赶往载有危重病人的火车，并在C处相遇。经测算，当两车行驶的路线与OB所围成的面积S最小时，抢救最及时（1）在以O为原点，正北方向为轴的平面直角坐标系中，求射线OA所在的直线方程；（2）求S关于p的函数关系式；（3）当p为何值时，抢救最及时？解：（1）由得，所以直线的方程为（2）设，则 ，所以又，所以直线的方程为由得C的纵坐标所以

14、的面积（3）由（2），因为，所以所以时，所以当千米时，抢救最及时例4、某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为（90180）的镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,（ab）.问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C（x,0）（x0）,欲使看画的效果最佳，应使ACB取得最大值.由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为（acos,asin）、（bcos,bsin）,于

15、是直线AC、BC的斜率分别为：kAC=tanxCA=,于是tanACB=由于ACB为锐角，且x0,则tanACB,当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时ACB取最大值，对应的点为C（,0）,因此，学生距离镜框下缘cm处时，视角最大，即看画效果最佳例5、在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）将矩形折叠，使A点落在线段DC上. （）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； （）求折痕的长的最大值解：（I）（1）当时，此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程y（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的

16、点为G（a,1）所以A与G关于折痕所在的直线对称，有故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为，折痕所在的直线方程，即由（1）（2）得折痕所在的直线方程为（II）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为，解得；解得，当A与D重合时，k= -2（1）当时，直线交BC于， （2）当时，令解得, 此时，（3）当时，直线交DC于所以折痕的长度的最大值为例6、如图所示，是通过城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧若点M在点O正北方向，且，点N到的距离分别为4km,5km（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程（2）若该城市的某中学拟

17、在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于，并且铁路上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（校址视为一个点）解：（1）分别以为轴和轴建立坐标系，由已知得，故，又线段的中点为，所以线段MN的垂直平分线的方程为，令得，故圆心的坐标为，半径，因此所求的圆的方程为，故有所求圆弧的方程为.（2）设校址选在，则对恒成立，即对恒成立，整理得对恒成立，令，由可得，所以在区间上为减函数，要使得，当且仅当和，即和，解之得，即校址应选在距点最近的地方。例7、已知抛物线，作直线与抛物线交于两点如图所示，过两点的圆与抛物线在点处有相同的切线，求圆的方程点拨：两曲线的交点能求出来，

18、同时点处的切线也可以应用导数求解，圆心在过点垂直于此切线的直线上，并且也在弦的垂直平分线上，故圆心和半径均亦确定。解：由可得或者即，再由得，所以有，设圆的方程：，圆的圆心为，则，解得，所以所求的圆的方程为例8、已知在平面直角坐标中，向量的面积为，且，已知P点在第一象限内 （）设求向量与的夹角的取值范围； （）设以原点为中心，对称轴在坐标轴上，以为右焦点的椭圆经过点，且当取最小值时，求椭圆方程解析：（）由得得，又，故夹角的取值范围为 （）设则由（）知又，得 当且仅当，即c=2时，此时、故所求椭圆方程为例9、椭圆的两个焦点为、，M是椭圆上一点，且满足（）求离心率的取值范围；（）当离心率取得最小值时

19、，点到椭圆上的点的最远距离为求此时椭圆G的方程；设斜率为的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问：A、B两点能否关于过点、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由解析：（）设点M的坐标为，则，由得，即 又由点M在椭圆上，得，代入得，即 ， 即，解得又， （）当离心率取最小值时，椭圆方程可表示为设点是椭圆上的一点，则 若0b3，则当时，有最大值，由题意知：，或，这与0b3矛盾.若，则当时，有最大值由题意知：，符合题意所求椭圆G的方程为设直线l的方程为，代入中，得由直线l与椭圆G相交于不同的两点知 要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须设、，则，由、得，又，

20、或故当时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称例10、已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F，P是双曲线右支上一点，且的面积为（）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；（）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程解析：（）设所求的双曲线的方程为，由 由点在双曲线上，解得， 离心率 （）设所求的双曲线的方程为，则OFP的面积为 解得 ，当且仅当时等号成立. 此时（舍）则所求双曲线的方程为12、如图，已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点，则该椭圆的离心率为 15、已知动点到点的距离是它到点的距离的一半求：（1）动点的轨迹方程；（2）若为线段的中点，试求点的轨迹16、已知A、B是

21、双曲线上的两点，O是坐标原点，且满足，（）当，且时，求P点的坐标；（）当时，求的值；（）求AB的最小值12答案：提示：研究椭圆与抛物线在第一象限的交点，对于椭圆来说，坐标为，对于抛物线来说，坐标为，所以有，又，联立解得15. 解：（1）设动点M为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P 由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，平方后再整理，得可以验证，这就是动点M的轨迹方程（2）设动点N的坐标为，M的坐标是由于A，且N为线段AM的中点，所以 ，所以有，由（1）题知，M是圆上的点，所以M坐标满足：，将代入整理，得所以N的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆16. 解析：（）设=（x，y），则由及点B在双曲线上，得解得或或。，或。即P点的坐标是，或 （）设直线OA的方程为，则由得同理可得， 由|OP|AB|=|OA|OB|，得 （）方法一：由|OP|AB|=|OA|OB|， ，故|AB|2，当且仅当|OA|=|OB|=时，等号成立故|AB|的最小值为2 方法二：由（）知，|AB|2=3（，设则，当时，（不合题意，舍去）；当时， 当且仅当，即时取等号故|AB|的最小值为2-