数列极限的运算法则ppt课件.ppt

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1、( (二期课改二期课改) )* * *情景问题情景问题: :中国古代思想家庄周中国古代思想家庄周( (庄子庄子) )的名言的名言: : “一尺之棰一尺之棰, ,日取其半日取其半, ,万世不竭万世不竭” ” * *引出数列引出数列: : 请你通过观察上述数列中随着项数的变化请你通过观察上述数列中随着项数的变化项的变化规律项的变化规律, ,总结出该数列的特点总结出该数列的特点. . * * *导出问题导出问题: :上述数列是一个无穷等比数列上述数列是一个无穷等比数列, ,且所有且所有 的项都不等于零的项都不等于零; ; 随着的逐渐增大随着的逐渐增大, ,该数列的项明显的该数列的项明显的 逐渐变的越

2、来越小逐渐变的越来越小. . * *数列特点数列特点: : * *结论和解释结论和解释: :( (但永远不会成为零但永远不会成为零) ) 当当n n越来越大时越来越大时, , 就会逐渐变成越来越趋就会逐渐变成越来越趋 近于零的正数近于零的正数; ; 利用利用( (课本课本-P37-P37图图) )数形结合数形结合, ,观察和理解观察和理解a an n逐渐逐渐 在在( (越来越趋近于零越来越趋近于零) )的含义的含义; ; ( (想要多近就有多近想要多近就有多近) )nan123456789 1000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.550.50.6* * *无穷

3、数列极限的概念无穷数列极限的概念: :* *在一个无穷数列在一个无穷数列a an n中中, ,在项数在项数n n无限增大无限增大的过程中的过程中, ,如果如果a an n无限地趋近于一个常数无限地趋近于一个常数A,A,那那么么 A A就叫做就叫做数列数列a an n的极限的极限. .* *也可称之为也可称之为: :数列数列a an n收敛于收敛于A A. .* *通常记作为通常记作为: :* *读作读作: :当当n n趋向于无穷大时趋向于无穷大时,a,an n的极限为的极限为A.A.* * *对对“a an n越来越趋近于越来越趋近于A A的过程的过程”的数学描的数学描述述: : 当当n n逐

4、渐变大时逐渐变大时, ,对于预先给定的任意小的正数对于预先给定的任意小的正数, ,总可以找到这样的总可以找到这样的n,n,使得使得a an n,a,an+1n+1,a,an+2n+2, ,与与A A的的差的绝对值都小于差的绝对值都小于,即即: :* *举例说明举例说明: : 如果任给如果任给= =0.01,0.01,要使要使: ,: ,只需只需满足满足2 2n n100,100,即即:n:n6 6即可即可. . * *感悟感悟: :“越来越趋近越来越趋近”和和“越来越接近越来越接近”的词意的词意辨析辨析. . * *介绍三类常见无穷数列的极限介绍三类常见无穷数列的极限: :* *注意注意: :

5、 一个数列存在极限的前提条件是它首先应一个数列存在极限的前提条件是它首先应 该是一个无穷数列该是一个无穷数列; ; 强调在常见极限强调在常见极限(1)(1)中满足条件中满足条件: : 有有 其必要性其必要性. . 数列极限的运算性质：数列极限的运算性质：lim,lim,nnnnaAbB如果那么1 lim()limlimnnnnnnnababAB、2 lim()limlimnnnnnnnababA B、lim3 lim()(0)limnnnnnnnaaABbbB、lim()limlimnnnnnC aCaC A特：前提前提数列极限的运算性质表明：数列极限的运算性质表明： 如果两个数列都有极限如果

6、两个数列都有极限，那么这两个数，那么这两个数列对应各项的和、差、积、商所组成的数列列对应各项的和、差、积、商所组成的数列也都有极限，其极限值分别等于这两个数列也都有极限，其极限值分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（其中作为除数的的极限的和、差、积、商（其中作为除数的数列，它的极限不能为零）。数列，它的极限不能为零）。数列极限的运算性质的实质：数列极限的运算性质的实质：加、减、乘、除运算与极限运算的交换加、减、乘、除运算与极限运算的交换数列极限的运算性质的说明：数列极限的运算性质的说明：前提：前提：1 1、每一个已知数列都存在极限。、每一个已知数列都存在极限。2 2、这些数列的个数必须是有

7、限的。、这些数列的个数必须是有限的。推广：推广：两个数列的和、积的极限运算，两个数列的和、积的极限运算，可推广至可推广至有限个有限个数列的和、积数列的和、积的极限运算。的极限运算。 lim+)limlimlimnnnnnnnnnnabcabc例如：(例例1 1：计算下列数列的极限：计算下列数列的极限：4(1)lim1nn21(2)lim32nnn221(3)lim3nnnn4lim11nnn14lim1lim1limnnnnn012lim23nnn1lim(2)2lim(3)nnnn23221lim31nnnn221lim()3lim(1)nnnnn02323(5)lim237nnnnn222

8、3(4)lim237nnnnn3223(6)lim237nnnnn2223lim(1)37lim(2)nnnnnn122323123lim()37lim(2)nnnnnnn02323231lim237nnnnnn2223lim372nnnnnn不存在不存在22(7)lim(2)1nnnnn22222lim1nnnnnn3方法小结：方法小结：10111011limmmmmppnppa na nanab nb nbnb 1,;mp、极限不存在3,0.mp、极限002,;ampb、极限*0,0mpNb、例例2 2：计算下列数列的极限：计算下列数列的极限：32(1)lim3nnn18( 3)(2)li

9、m52nnnn 1223(3)lim32nnnnn12lim 333nnn0131855lim215nnnn 02213lim293nnn19 limnnnnnkpcqtpdq 1,;npqp、如果那么分子、分母同除以2,;npqq、如果那么分子、分母同除以lim,.nnr再利用求极限值方法小结：方法小结：例例3 3：计算下列数列的极限：计算下列数列的极限：222213521(2)limnnnnnn1232010(1)lim()nnnnn1111(3)lim 11112341nn021(121)lim2nnnnlim1n11 2 3lim2 3 41nnn1lim1nn023212222(5)

10、lim1 333nnn 2(1 2 )1 2lim1 31 3nnn4(21)lim31nnn0111(4)lim1 33 5(21)(21)nnn1lim 121nn1214433lim113nnnn 数列极限的四则运算法则，只能数列极限的四则运算法则，只能推广到有限个数列的和与积的运算中推广到有限个数列的和与积的运算中去，对于无穷多个数列的和与积不成去，对于无穷多个数列的和与积不成立。立。再次说明：再次说明：例例4 4：计算下列数列的极限：计算下列数列的极限：1(1)lim1nnnaa11(2)limnnnnnabab11lim11nnnaa1( 11)0(1)1(11)(1)aaaaa

11、或不存在11(2)limnnnnnabab1limnnnbbabaalim1nnnabbaab1(| |)(| |)1()1()abababaabaab 不存在例例5 5：数列极限的存在性问题数列极限的存在性问题存在的充要条件是存在的充要条件是limnnq1,1q （1）已知）已知22lim2,nancnbnclim3nbnccna22lim_nanbnccnanb则则（2）已知）已知22lim5,3nanbnn_ab则（3）若）若 存在，求存在，求 的取值范围。的取值范围。lim(12 )nnxx0,1x 6505ab1 1 21x *+1(),nnnSTnNS又，例例6 6：已知首项为已知

12、首项为1 1，公比为，公比为 的等比数列的等比数列 的前的前 项和为项和为 ,(0)q q n,nSlimnnT求解：解：当当时，时，1q1naSn111(1)nnnSnaTSna1nn当当时，时，1q 1(1)1nnaqSq1111(1)1(1)1nnnnnaqSqTaqSq111nnqq111nnqqq1(01)lim(1)nnqTqq1(01)lim(1)nnqTqq练习：练习：书书 P-42 练习练习 7.7（3）书书 P-44 练习练习 7.7（4）作业：作业：一课一练：一课一练： P-28 练习练习 7.7（3）一课一练：一课一练： P-30 练习练习 7.7（4）作业：作业：22

13、(2)lim(2)1nnnnn12523(3)lim32nnnnn113(4)lim3nnnnn 21(1)lim(33)2nnn 222215943(5)lim()nnnnnn111(7)lim2 55 8(31)(32)nnn111(6)lim(1)(1)(1)342nnn21lim()0,1,nnanbna b(8) 已知求的值。（9）已知：nnk)53(lim存在，试求：实数 的取值范围。k121(10)lim2(2)2nnnmn若，试求：实数 的取值范围。m(11)lim (31)1,limnnnnnana若求的值。答案：答案：0) 1 (2) 31(3)33(4)3(5) 2(6)

14、 11(7)61(8)1ab 2 4(9),5 5(10)0,41(11)3例例7 7、计算下列数列的极限：计算下列数列的极限：1(1)lim2nnnnn 111lim211nnn(1)(1)lim(2)(1)nnnnnnnnn 2221lim322nnnnnnnn21lim32211111nnnnnn(2)lim( 1+2+12(1)nnn210111(3)lim()1210nnnnnn例例8 8、(1)(1)已知数列已知数列 和和 满足：满足：na nblim (54)7 ,lim (72)5nnnnnnabab 试求试求lim (6)nnnab的值。(2)lim (31)1,limnnnnnana若求的值。