计算第一型曲线积分.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除1. 计算第一型曲线积分:(1),其中是以为顶点的三角形分析：先将L分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。 L=OA+AB+BO，又 OA： AB： BO：解：=+(2),其中是以原点为中心,为半径的右半圆周;分析：是以原点为中心,为半径的右半圆周的参数方程为：解：=.(3), 其中为椭圆在第一象限中的部分;分析：先将椭圆在第一象限中的部分表示为: 解：因为从而此题也可将椭圆在第一象限中的部分表示为参数方程：(4) ,其中为单位圆周;解：由于单位圆的参数方程为:,从而(5) ,其中L为螺旋线的一段;解：=.(6) ,其中L是曲线的一段;解：=(7

2、),其中L是与相交的圆.分析：与相交的圆的其参数方程为解：=注意：计算第一型曲线积分的关键是将L的表达式正确的给出来。2. 求曲线的质量,设其线密度为.分析：根据第一型曲线积分的物理意义解： 曲线质量为:3. 求摆线的重心,设其质量分布是均匀的.分析：设摆线的密度为，先求出摆线的质量，再求出它的重心解： 因为所以质量故重心坐标为4. 若曲线以极坐标表示,试给出计算的公式,并用此公式计算下列曲线积分:(1),其中L为曲线的一段;(2) ,其中L为对数螺线在圆内的部分.分析：先将L的极坐标表示为直角坐标：L：解 ：因L的参数方程为,从而故 (1) =(2) =.记,则于是,故.5. 证明:若函数在光滑曲线上连续,则存在点,使得其中为L的弧长.分析：先将第一型曲线积分转化为定积分即：=.再利用推广的定积分第一中值定理证： 由于f在光滑曲线L上连续,从而曲线积分存在,且又因f在L上连续,L为光滑曲线,所以与在上连续且非负（不变号），由推广的定积分第一中值定理:使令显然,且【精品文档】第 3 页