直线与方程知识点归纳.docx

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0.2、 倾斜角的取值范围：0180. 当直线l与x轴垂直时, = 90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜

2、角一定存在,但是斜率k不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即（充要条件）注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果k1=k2, 那么一定有l1l22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即（充要条件

3、）3.2.1 直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为 2、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为 3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0 L2：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-2，y=2所以L1与L

4、2的交点坐标为M（-2，2）3.3.2 两点间距离两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点到直线的距离为：2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线和的一般式方程为：，则与的距离为基础练习一 选择题1经过点(3,2)，倾斜角为60的直线方程是()Ay2(x3) By2(x3)Cy2(x3) Dy2(x3)答案：C2如下图所示，方程yax表示的直线可能是()答案：B3已知直线l1：ykxb，l2：ybxk，则它们的图象可能为()答案：C4经过原点，且倾斜角是直线yx1倾斜角2倍的直线是()Ax0 By0Cyx Dy2x答案：D5欲使直线(m2)xy30与直线(3m2

5、)xy10平行，则实数m的值是()A1 B2C3 D不存在解析：把直线化为斜截式，得出斜率，通过直线平行的条件计算答案：B6直线yk(x2)3必过定点，该定点为()A(3,2) B(2,3)C(2，3) D (2,3)解析：直线方程改写为y3k(x2)，则过定点(2,3)答案：B7若直线(m2)x(m22m3)y2m在x轴上的截距是3，则m的值是()A. B6 C D6解析：令y0，得(m2)x2m，将x3代入得m6，故选D.答案：D8过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案：B9直线1在y轴上的截距为()A|b| Bb Cb2 Db2答案：D10下

6、列四个命题中是真命题的是()A经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示C不经过原点的直线都可以用方程1表示D经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示答案：B11直线axby1(a， b0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.ab B. |ab| C. D.解析：直线axby1可化为1，故其围成的三角形的面积为S .答案：D12过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()A2xy10 B2xy50Cx2y50 Dx2y70答案

7、：A13直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则a的值等于()A1或3 B1或3 C3 D1解析：由题意，两直线斜率存在，由l1l2知，a1答案：D14直线3x2y40的截距式方程是()A.1 B.4C.1 D.1答案：D15已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A4x2y5 B4x2y5Cx2y5 Dx2y5解析：kAB，由kkAB1得k2.由中点坐标公式得x2，y，中点坐标为.由点斜式方程得y2(x2)，即4x2y5.答案：B16直线(a2)x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a()A1 B1 C1 D解析：由(a2)(a1

8、)(1a)(2a3)0化简得1a20，a1.答案：C17直线l的方程为AxByC0，若直线l过原点和二、四象限，则()AC0，B0 BA0，B0，C0CAB0，C0答案：D18直线的截距式方程1化为斜截式方程为y2xb，化为一般式方程为bxay80.求a，b的值（ ）解析：由1，化得yxb2xb，又可化得：bxayabbxay80，则2，且ab8.解得a2，b4或a2，b4.19直线x2y20与直线2xy30的交点坐标为()A(4,1) B(1,4)C. D.答案：C20已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是

9、()A3x2y0 B2x3y50C2x3y10 D3x2y10答案：C21两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则|AB|等于()A. B. C. D.解析：易知A(0，2)，B，|AB|.答案：C22设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于()A5 B4 C2 D2解析：设A(x,0)，B(0，y)，由中点公式得x4，y2，则由两点间的距离公式得|AB|2.答案：C23已知M(1,0)，N(1,0)，点P在直线2xy10上移动，则|PM|2|PN|2的最小值为_答案：2.424已知点(3，m)到直线xy40的距离等于1，则m等于()A. B

10、 C D.或解析：1，解得m或.答案：D25两平行线ykxb1与ykxb2之间的距离是()Ab1b2 B.C|b1b2| Db2b1解析：两直线方程可化为kxyb10，kxyb20.d.答案：B26过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50解析：所求为过A(1,2)，且垂直OA的直线，k，y2(x1)，即x2y50.答案：A27点P(mn，m)到直线1的距离等于()A. B.C. D.解析：直线方程可化为nxmymn0，故d.答案：A28已知直线3x2y30和6xmy10互相平行，则它们之间的距离是()A4 B. C. D.解析：由题意m

11、4，则d.答案：D29垂直于直线xy10且到原点的距离等于5的直线方程是_解析：由题意，可设所求直线方程为xyc0，则5.|c|10，即c10.答案：xy100或xy10030点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是()A8 B2 C. D16答案：A31到直线3x4y10的距离为2的直线方程为()A3x4y110B3x4x90C3x4y110或3x4y90D3x4y110或3x4y90答案：C强化练习一 选择题1直线y2x3的斜率和在y轴上的截距分别是()A2,3 B3，2C2，2 D3,3答案A2过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()Ax1 Bx3Cy1 Dy3答案A3方程

12、yy0k(xx0)()A可以表示任何直线B不能表示过原点的直线C不能表示与y轴垂直的直线D不能表示与x轴垂直的直线答案D解析直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x轴垂直的直线4已知两条直线yax2和y(2a)x1互相平行，则a等于()A2 B1C0 D1答案B解析根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1a，k22a.两直线平行，则有k1k2.所以a2a，解得a1.5方程yax表示的直线可能是()答案B解析直线yax的斜率是a，在y轴上的截距是.当a0时，斜率a0，在y轴上的截距是0，则直线yax过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距是0，

13、b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0，b0，判知l2的图像符合，在C选项中，由l1知a0，b0，排除C；在D选项中，由l1知a0，b0，排除D.所以应选B.24直线l的方程为AxByC0，若l过原点和二、四象限，则()A. B.C. D.答案D解析l过原点，C0，又l过二、四象限，l的斜率0.25直线xy0与xy0的位置关系是()A相交 B平行C重合 D垂直答案A解析A1B2A2B111(1)10，又A1A2B1B21(1)110，则这两条直线相交，但不垂直26直线2x3y80和直线xy10的交点坐标是()A(2，1) B(1，2)C(1,2) D(2,1)答案B解析解方程组得即交点坐

14、标是(1，2)27直线ax3y50经过点(2,1)，则a的值等于()A2 B1C0 D1答案B解析由题意得2a350，解得a1.28若三条直线2x3y80，xy1，和xky0相交于一点，则k的值等于()A2 BC2 D.答案B解析由得交点(1，2)，代入xky0得k，故选B.29直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点()A(0,0) B(0,1)C(3,1) D(2,1)答案C解析方程可化为y1k(x3)，即直线都通过定点(3,1)30已知点M(0，1)，点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线x2y30，则N点的坐标是()A(2，3) B(2,1)C(2,3) D(2，1)答案C

15、解析将A、B、C、D四个选项代入xy10否定A、B，又MN与x2y30垂直，否定D，故选C.31过两直线3xy10与x2y70的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是()Ax3y70 Bx3y130C2xy70 D3xy50答案B解析由得交点(1,4)所求直线与3xy10垂直，所求直线斜率k，y4(x1)，即x3y130.32已知直线mx4y20与2x5yn0互相垂直，垂足为(1，p)，则mnp为()A24 B20C0 D4答案B解析两直线互相垂直，k1k21，1，m10.又垂足为(1，p)，代入直线10x4y20得p2，将(1，2)代入直线2x5yn0得n12，mnp20.33已知点A(a,

16、0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为()Aab BbaC. D|ab|答案D解析代入两点间距离公式34一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是()A(3,1)或(7,1) B(2，3)或(2,7)C(3,1)或(5,1) D(2，3)或(2,5)答案A解析ABx轴，设B(a,1)，又|AB|5，a3或7.35已知A(5,2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是()A BC. D.答案C解析|AB|，当a时，|AB|取最小值36设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于()A5 B4C2 D2

17、答案C解析设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x4，y2，则由两点间的距离公式得|AB|2.37ABC三个顶点的坐标分别为A(4，4)、B(2,2)、C(4，2)，则三角形AB边上的中线长为()A. B.C. D.答案A解析AB的中点D的坐标为D(1，1)|CD|；故选A.38已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则ABC的形状是()A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析|AB|3，|BC|，|AC|，|AC|BC|AB|，且|AB|2|AC|2|BC|2.ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形39两直线3axy20和(2a1)x5a

18、y10分别过定点A、B，则|AB|等于()A. B.C. D.答案C解析易得A(0，2)，B(1，)40在直线2x3y50上求点P，使P点到A(2,3)距离为，则P点坐标是()A(5,5) B(1,1)C(5,5)或(1,1) D(5,5)或(1，1)答案C解析设点P(x，y)，则y，由|PA|得(x2)2(3)213，即(x2)29，解得x1或x5，当x1时，y1，当x5时，y5，P(1,1)或(5,5)41点(0,5)到直线y2x的距离是()A. B.C. D.答案B解析由y2x得：2xy0，由点到直线的距离公式得：d，故选B.42已知直线3x2y30和6xmy10互相平行，则它们之间的距

19、离是()A4 B.C. D.答案D解析两直线平行，m4，两平行直线6x4y60和6x4y10的距离d.43已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x4y70的距离相等，则实数m等于()A. BC1 D.或答案D解析由题意得，解得m或m.44点P为x轴上一点，点P到直线3x4y60的距离为6，则点P的坐标为()A(8,0) B(12,0)C(8,0)或(12,0) D(0,0)答案C解析设P(a,0)，则6，解得a8或a12，点P的坐标为(8,0)或(12,0)45过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案A解析由已知得，所求直线过(1

20、,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线，所求直线的斜率k，y2(x1)，即x2y50.46已知直线l过点(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20答案D解析设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0.由已知有，所以k2或k，所以直线方程为2xy20或2x3y180.47P，Q分别为3x4y120与6x8y60上任一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C3 D6答案C解析|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离在直线3x4y120上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公

21、式得|PQ|的最小值为3.48点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是()A8 B2C. D16答案A解析x2y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，原点到直线xy40的距离为2，x2y2最小值为8.故选A.二 填空题1过点(1,3)，且斜率为2的直线的斜截式方程为_答案y2x1解析点斜式为y32(x1)，化为斜截式为y2x1.2已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：yx1垂直，则l1的点斜式方程为_答案y1(x2)解析设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1l2，k1k21.又k21，k11.l1的点斜式方程为y1(x2)3已知点(1，4)和(1,0)是直线ykxb

22、上的两点，则k_，b_.答案22解析由题意，得解得k2，b2.4ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，则直线BC的方程为_答案8xy90或2xy10或yx或3xy40解析若A为直角，则ACAB，kACkAB1，即1，得m7；此时BC：8xy90.若B为直角，则ABBC，kABkBC1，即1，得m3；此时直线BC方程为2xy10.若C为直角，则ACBC，kACkBC1，即1，得m2.此时直线BC方程为yx或3xy40.5直线1在两坐标轴上的截距之和为_答案1解析直线1在x轴上截距为4，在y轴上截距为5，因此在两坐标轴上截距之和为1.6过点(0,1)和(2,4

23、)的直线的两点式方程是_答案(或)7过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_答案3x2y60解析设直线方程为1，则解得a2，b3，则直线方程为1，即3x2y60.8直线l过点P(1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为_答案2xy40解析设A(x,0)，B(0，y)由P(1,2)为AB的中点，由截距式得l的方程为1，即2xy40.9经过点A(4,7)，且倾斜角为45的直线的一般式方程为_答案xy110解析直线的斜率ktan451，则直线的方程可写为y7x4，即xy110.10如下图所示，直线l的一般式方程为_答案2xy20解析由图知，直线

24、l在x轴，y轴上的截距分别为1，2，则直线l的截距式方程为1，即2xy20.11若直线(a2)x(a22a3)y2a0在x轴上的截距为3，则实数a的值为_答案6解析把x3，y0代入方程(a2)x(a22a3)y2a0中得3(a2)2a0，a6.12已知直线的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，该直线的方程为_答案x6y60或x6y60解析设直线的方程为1，直线的斜率k，又|ab|3，或所求直线方程为：x6y60或x6y60.13过原点和直线l1：x3y40与l2：2xy50的交点的直线的方程为_答案3x19y0解析由得交点坐标(，)，所求方程为yx，即3x19y0.14在ABC中，高线AD

25、与BE的方程分别是x5y30和xy10，AB边所在直线的方程是x3y10，则ABC的顶点坐标分别是A_；B_；C_.答案(2,1)(1,0)(2,5)解析高线AD与边AB的交点即为顶点A，高线BE与边AB的交点即为顶点B，顶点C通过垂直关系进行求解15两条直线xmy120,2x3ym0的交点在y轴上，则m的值是_答案6解析设交点坐标为(0，b)，则有解得m6.16已知直线l1：a1xb1y1和直线l2：a2xb2y1相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是_答案2x3y1解析由题意得P(2,3)在直线l1和l2上，所以有则点P1(a1，b1)和P2(a2

26、，b2)的坐标是方程2x3y1的解，所以经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是2x3y1.17已知点M(m，1)，N(5，m)，且|MN|2，则实数m_.答案1或3解析由题意得2，解得m1或m3.18已知A(1，1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|BC|，则a_.答案解析，解得a.19已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为_答案(9,0)或(1,0)解析设P(a,0)，则13，解得a9或a1，点P的坐标为(9,0)或(1,0)20已知ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2，4)，则BC边上的中线AM的长为_答案21已知

27、点A(0,4)，B(2,5)，C(2,1)，则BC边上的高等于_答案解析直线BC：xy30，则点A到直线BC的距离d，即BC边上的高等于.22过点A(3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_答案3xy100解析当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大kOA，所求直线的方程为y13(x3)，即3xy100.23直线l1：2x4y10与直线l2：2x4y30平行，点P是平面直角坐标系内任一点，P到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最小值是_答案解析l1与l2的距离d，则d1d2d，即d1d2的最小值是.24两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距

28、离为5，它们的方程是_答案y5和y0或者5x12y600和5x12y50.解析设l1：ykx5，l2：xmy1，在l1上取点A(0,5)由题意A到l2距离为5，5，解得m，l2：5x12y50.在l2上取点B(1,0)则B到l1的距离为5，5，k0或k，l1：y5或5x12y600，结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：l1：y5，l2：y0；或l1：5x12y600，l2：5x12y50.三 解答题1已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程解析由斜截式方程知直线l1的斜率k12.又ll1，l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.2已知ABC的三个顶点分别是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程分析BC边上的高与边BC垂直，由此求得B