高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 利用导数研究函数的单调性、极值、最值一、 选择题1.(2016全国卷高考文科T12)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.-1,1 B.C. D.【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sin

2、x,f(x)=1-cos2x-cosx,但f(0)=1-1=-0,不具备在(-,+)上单调递增,排除A,B,D.方法二:f(x)=1-cos2x+acosx0对xR恒成立,故1- (2cos2x-1)+acosx0,即acosx-cos2x+0恒成立,令t=cosx,所以-t2+at+0对t-1,1恒成立,构造函数f(t)=- t2+at+,开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需解得-a.2.(2016四川高考理科T9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是(

3、)A.(0,1) B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.【解析】选A.由题设知:不妨设P1,P2点的坐标分别为:P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0x11x2,则由于l1,l2分别是点P1,P2处的切线,而f(x)=得l1的斜率k1为-,l2的斜率k2为;又l1与l2垂直,且0x1x2,可得:k1k2=-=-1x1x2=1,我们写出l1与l2的方程分别为:l1:y=- (x-x1)-lnx1,l2:y= (x-x2)+lnx2,此时点A的坐标为(0,1-lnx1),点B的坐标为(0

4、,-1+lnx2),由此可得:|AB|=2-lnx1-lnx2=2-ln(x1x2)=2,两式联立可解得交点P的横坐标为x=,PAB的面积为:SPAB=|AB|Px|=2=1,当且仅当x1=即x1=1时等号成立,而0x11,所以SPAB0,f(x)0的解集得出函数的极值点.【解析】选D. f(x)=3x2-12=3,令f(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)的极小值为f,所以a=2.二、 解答题4.(2016全国卷高考理科T21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围.(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,

5、证明:x1+x20,则当x(-,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b0且b (b-2)+a(b-1)2=a0,故f(x)存在两个零点;设a0,因此f(x)在(1,+)内单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)内单调递减,在(ln(-2a),+)内单调递增,又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点,综上,a的取值范围为(0,+).(2)不妨设x1x2,由(1)知,x1(-,1),x2(1,+),2

6、-x2(-,1),f(x)在(-,1)内单调递减,所以x1+x2f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0.从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x20,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x).(2)求A.(3)证明|f(x)|2A.【解析】(1)f(x)=-2asin2x-(a-1)sinx.(2)当a1时, 当0a1时,令cosx=t,则f(x)=g(t)=2at2+t-1,其对称轴为t=,当t=时,解得a,所以当a0,又,所以A=g.当0a时, =a, =2-3a所以此时=2-3a.综上可得:A=(3)由(1)得.当0a时,1+a2-4a2=2A,当a1时,

7、A=.所以2A.当a1时,3a-16a-4=2(3a-2)=2A.综上所述:2A.6.(2016全国卷文科T21)(本小题满分12分)设函数f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性.(2)证明当x(1,+)时,11,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.【解析】(1)由题设,f(x)的定义域为,f(x)=-1,令f(x)=0,解得x=1.当0x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxlnc,令g(x)=0.解得x0=.当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.由(2)知1c,故0x01.

8、又g(0)=g(1)=0,故当0x0.所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.7.(2016浙江高考文科T20)设函数f(x)=x3+,x0,1.证明:(1)f(x)1-x+x2.(2) ,从而得到结论.【证明】(1)因为1-x+x2-x3=,由于0x1,有,即1-x+x2-x3,所以f(x)1-x+x2.(2)由0x1得x3x,故f(x)=x3+x+=x+-+=,所以f(x),由(1)得f(x)1-x+x2=,又因为f=,所以f(x) ,综上, f(x)+对于任意的x成立.【解题指南】(1)求导后,对a分情况讨论.(2)令g(x)=f(x)+ =,对其求导,求其最大值,判断f(x)min

9、与g(x)max的关系,进而可给出证明.【解析】(1)由题意,函数f(x)的定义域为,f(x)=. a0时,x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,在x时,f(x)0时,f(x)=,当0a1,当x或时,f(x)0,函数f(x)单调递增,当x时,f(x)2时,00,函数f(x)单调递增,当x时,f(x)0,函数f(x)单调递减.综上:当a0时,函数f(x)在(0,1)内单调递增,在内函数f(x)单调递减.当0a2时,函数f(x)在和内单调递增,在内函数f(x)单调递减.(2)方法一:由(1)知函数f(x)在1,)内递减,在(,2内递增.故f(x)min=f()=-ln+,f(x)+.若

10、令g(x)=,则有g(x)=.故存在x01,2使得函数g(x)在1,x0)递减,在(x0,2递增,则g(x)max=max,而g(1)=,g(2)=,所以g(x)max=.因为f(x)min-g(x)max=-ln+-=2-ln22.82-2.25-ln2 (1-ln2)0,所以,f(x)f(x)+对于任意的x成立.方法二:因为lnxx-1(当且仅当x=1时等号成立),G(x)=.又f(x) (当且仅当x=1时等号成立),即可得f(x)f(x)+.9.(2016山东高考文科T20)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f

11、(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)通过二次求导,研究g(x)的单调性.(2)通过端点分析,找到分界点,再分情况讨论.【解析】(1)g(x)=f(x)=lnx-2ax+2a,所以g(x)= -2a=.当a0,x时,g(x)0,函数g(x)单调递增.当a0,x时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x时,g(x)0,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知f(1)=0.当a0,f(x)单调递增,所以x时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1时,由(1)知f(x)在内单调递增,所以x时,f(x

12、)0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=,=1时,f(x)在内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以x时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a,00,f(x)单调递增,当x时,f(x).10.(2016四川高考理科T21)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性.(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【解题指南】(1)对f(x)求导,对a进行讨论,判断函数的单调性.(2)利用导数判断函数的单调性,判断最值,证明结论.【解析】(1)由题意, f(x)=2ax-,

13、x0. a0时,2ax2-10, f(x)0时,f(x)=,当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增.(2)原不等式等价于f(x)- +e1-x0在x(1,+)上恒成立.一方面,令g(x)=f(x)- +e1-x=ax2-lnx-+e1-x-a,只需g(x)在x(1,+)上恒大于0即可.又因为g(1)=0,故g(x)在x=1处必大于等于0.令F(x)=g(x)=2ax-+-e1-x,g(1)0,可得a.另一方面,当a时,F(x)=2a+-+e1-x1+-+e1-x=+e1-x,因为x(1,+),故x3+x-20,又e1-x0,故F(x)在a时恒大于0.所以当a时,F(x)在x(

14、1,+)上单调递增.所以F(x)F(1)=2a-10,a,故g(x)也在x(1,+)上单调递增.所以g(x)g(1)=0,即g(x)在x(1,+)上恒大于0.综上,a.11.(2016北京高考理科T18)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值.(2)求f(x)的单调区间.【解题指南】(1)利用列方程组求解.(2)求导数后,再构造新的函数,二次求导.【解析】(1)f(x)=ea-x-xea-x+b,由切线方程可得解得a=2,b=e.(2)f(x)=xe2-x+ex,f(x)=(1-x)e2-x+e.令g(x)=(1-x)e2-x,则g(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2).令g(x)=0得x=2.当x2时,g(x)2时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=2时,g(x)取得极小值-1,也是最小值.所以f(x)=g(x)+ee-10.所以f(x)的增区间为(-,+),无减区间.-