北京大学量子力学课件-第5讲ppt.ppt
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1、 第第 五五 讲讲 . 态叠加原理态叠加原理 A. 态叠加原理:态叠加原理: 如果如果 是体系的一个可是体系的一个可能态,能态, 也是体系的一个可能态,则也是体系的一个可能态,则 是体系的可能态,并称是体系的可能态,并称 为为 和和 态的线性叠加态。态的线性叠加态。1a2a21a2a1cc1a2a B讨论讨论(经典波函数与量子波函数比较)(经典波函数与量子波函数比较) , 系数系数 不仅仅是展开系数。而是对体系测不仅仅是展开系数。而是对体系测量量 获得获得 值的几率振幅。值的几率振幅。 而而描述自由粒子状态的最普遍的形式为描述自由粒子状态的最普遍的形式为) t , r (a ) t , r (
2、2a 0) t , r ( iaa) t , r (C) t , r (ii iaCiapde )p( c) t , r () tErp( iPm2pE2PA 一个动量为一个动量为 的自由粒子是以一个平的自由粒子是以一个平面波面波 这表明,这一自由粒子有一定几率处于这表明,这一自由粒子有一定几率处于 态上,其几率为态上,其几率为 p) tErp( ipPe21) t , r ( tiElmm, llmPe ),(Y) r , k(C lmYdrr) r , k(C22m, l 态叠加原理的直接后果是要求波函数满态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程,必须是线性齐次方程。足的方程,必须是线性
3、齐次方程。 作为例子,介绍了一个描述波包的波函数作为例子,介绍了一个描述波包的波函数 ,220 x2)PP(4122xe)2()0 ,P(C 2P2P00 xiP4x412022ee)21()0 , x( 1dx)0 , x(dp)0 ,p(C2x2x . 含时间的薛定谔方程(含时间的薛定谔方程(AustrianAustrian) 25252626年间,将能量不连续和波动性联系起年间,将能量不连续和波动性联系起来,并将求粒子能量可能值的问题归结为一定边来,并将求粒子能量可能值的问题归结为一定边条件下的本征方程求解问题,随后给出了含时条件下的本征方程求解问题,随后给出了含时间的薛定谔方程。这方程
4、给出了描述微观粒子运间的薛定谔方程。这方程给出了描述微观粒子运动的波函数是怎样演化的。动的波函数是怎样演化的。 A. Schroedingers equation的建立的建立 有确定动量的自由粒子:根据有确定动量的自由粒子:根据de Broglie关系关系和和Einstein关系关系 它应相应于一个它应相应于一个de Broglies波波这波函数满足这波函数满足 m2PE2PknhP )n2k( ) tErP( iPpAe ) t , r (m2P) t , r (tiP2P 在这方程中无特殊参量在这方程中无特殊参量 。它不仅对有。它不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立,对最普遍确定动量的自
5、由粒子的波函数成立,对最普遍的自由粒子的波函数也成立。的自由粒子的波函数也成立。 pEPde )P(Cti) t , r (ti) tErP( ip Pdem2P)P(C) tErP( i2p 而 Pdem2)P(C) t , r (m2P) tErP( i222p Pdem2P)P(C) tErP( i2p ) t , r (m2) t , r (ti22 ) t , r (H 自由粒子 这一微分方程决定了描述自由粒子状态随这一微分方程决定了描述自由粒子状态随时间的演化。时间的演化。 将上述情况推广,对于质量为将上述情况推广,对于质量为 的粒子,的粒子,在位势在位势 中运动时,则中运动时,则
6、因此,描述这一粒子运动的波函数应满足因此,描述这一粒子运动的波函数应满足 m) t , r (V) t , r (Vm2PE2 ) t , r ()t , r (Vm2p ) t , r (ti2 最为普遍的方程是:体系的最为普遍的方程是:体系的Hamiltonian 则则称为含时间的称为含时间的 SchroedingerSchroedingers equations equation。 但应注意,同一力学量的经典表示,可得不但应注意,同一力学量的经典表示,可得不同的量子力学表示同的量子力学表示 ) t ,P, r (HVTE ) t ,P, r (H) t , r () t , P, r (
7、H) t , r (ti 因此,经典的力学量,变为量子力学的力因此,经典的力学量,变为量子力学的力学量表示(即量子化),即算符时,应注意学量表示(即量子化),即算符时,应注意 和和 对经典是一样的,对经典是一样的, 但对量子力学但对量子力学而言是不同的而言是不同的 。 x1xPPx1m21m2Pxx2xxxPP 222xm2)x41x(m22222xxPxPx 所以规定:所以规定: 在直角坐标中表示分量,再代入算符表示;在直角坐标中表示分量,再代入算符表示; 对于与对于与 为线性函数形式的物理量,为线性函数形式的物理量, ,则取,则取 ( 为实函数为实函数 );); 如果是矢量如果是矢量,则在
8、,则在 直角坐标下的分直角坐标下的分量表示,然后再作替换量表示,然后再作替换 ,再换为其它,再换为其它坐标。坐标。 如如 iPii)z , y, x(fPP)z , y, x(f)z , y, x(fP21iiifz , y, xiixiP )11(m2m2PP2222222y2x 但如从但如从 不对。不对。 B. 对对Schroedinger equation的讨论的讨论 1. 量子力学的初值问题:量子力学的初值问题: 当体系在当体系在 时刻的状态为时刻的状态为 时,以后时,以后任何时刻的波函数就完全由任何时刻的波函数就完全由 S.eq.所决定(因对所决定(因对 是一次偏微商)。这就是量子力
9、学的因果律,是一次偏微商)。这就是量子力学的因果律, 1)(1m22222 )1(m2)PP(m21222222222 0t)t , r (0 t即决定状态的演化。即决定状态的演化。 如如 ,即与时间无关,那,即与时间无关,那 时刻的解可表为时刻的解可表为(如(如 时为时为 ) 如何从如何从 时刻的波函数来确定时刻的波函数来确定 时刻的时刻的波函数的问题,是量子力学要解决的重要问题之波函数的问题,是量子力学要解决的重要问题之一。一。)P, r (H) t ,P, r (Ht0t)t , r (0 )t , r (e)t , r (0)tt)(p , r (Hi00 0t t 讨论:讨论: a.
10、 群速度和相速度群速度和相速度 我们得到包络极大处的速度我们得到包络极大处的速度 ,即群速度,即群速度 而相速度而相速度 mPdPdEvKPPxg0 xm2PPEv0PPp022022220222220 x2222202x2202x2222xx220220 x22x222xx220 x2Pm2it1)2ixP()m2it12ixPP)(m2it1 (P)Pm2it1ixP2P)(m2it1 (tm2PixiPPPP2P) tm2PxP( i)PP( 因 b. 波包的扩展波包的扩展 如果我们以这个高斯波包来描述(或模拟)如果我们以这个高斯波包来描述(或模拟) 一个物体一个物体, , 则则 所以,
11、在所以,在 时,它位于时,它位于 ,宽度为,宽度为 0t 0 x )m4t1 (2)Pmtx(21422221224222220e)m4t1 (1)2( 而而 时,它位于时,它位于 ,宽度为,宽度为 也可以计算标准偏差,得到发现粒子的主要也可以计算标准偏差,得到发现粒子的主要区域在区域在 -其中其中0tt mtPx002122021220)m2t(1 )m2t(1 xx0 xx0mtPx000 所以,随时间演化,这一高斯波包越来越宽。所以,随时间演化,这一高斯波包越来越宽。 设:设: 于是于是当当 ,波包已扩散很大,因此与经典粒子无,波包已扩散很大,因此与经典粒子无任何相似之处。任何相似之处。
12、 21220222)m2t(1 xx)xx(x 2mT Tt0 21220T4t1 x 但但 所以,这样一个显示经典粒子的波包,其动量的所以,这样一个显示经典粒子的波包,其动量的分布没有扩展,而空间的分布则扩展。使得你在分布没有扩展,而空间的分布则扩展。使得你在 时,就认不得经典粒子的运动轨迹了。时,就认不得经典粒子的运动轨迹了。这一讨论和结论,对任何其它形状的波包都相同。这一讨论和结论,对任何其它形状的波包都相同。 下图即为高斯波包的传播下图即为高斯波包的传播 2)PP4()PP()PP(P212K2K22212x2x2xxx2mTt c. 波包扩展的时间量级波包扩展的时间量级 求波函数随时
13、间的演化,也可这样来做。求波函数随时间的演化,也可这样来做。 时刻的波函数,可由时刻的波函数,可由 时刻的波函数完全时刻的波函数完全确定。由于确定。由于S. eq. 是线性的,因而解能够被叠加。是线性的,因而解能够被叠加。因此,不同时刻的波函数关系也必须是线性的。因此,不同时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着,这就意味着, 必须满足线性齐次的微分方程。必须满足线性齐次的微分方程。即可表为即可表为 称为称为Green函数,或称传播子。函数,或称传播子。知道了知道了Green函数,就知道态随时间的演化。函数,就知道态随时间的演化。t t rd) t , r () t , r ; t , r
14、(G) t , r ( ) t , r ; t , r (G 如如 时刻,粒子处于时刻,粒子处于 ,即,即由上式得由上式得这就是格林函数的含义:这就是格林函数的含义: 时刻,粒子处于时刻,粒子处于 ,则,则 时刻,时刻, 处发现粒子的几率密度振幅就是处发现粒子的几率密度振幅就是 。 由薛定谔方程我们可直接给出由薛定谔方程我们可直接给出 0t t 0r)r r ()t , r (00 )t ,r ; t , r (G rd)t , r ()t , r ; t , r (G) t , r (0000 0t0rtr)t ,r ; t , r (G00 )rr (e)t ,r ; t , r (G0)
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