空间向量及其坐标运算练习题.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除空间向量及其坐标运算一选择题1.若a=（2x，1，3），b=（1，2y，9），如果a与b为共线向量，则A.x=1，y=1 B.x=，y=C.x=，y=D.x=，y=2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z） 点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z） 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z） 点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A.0 B.1 C.2 D.33.已知向量a=（1，1，0），b=（1，0，2），且kab与2ab互相垂直，则k值是A.1B.C

2、.D. 4.设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若 =x+y+z，则（x，y，z）为A.（，） B.（，）C.（，）D.（，）5.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为的余弦值A. B. C. D. 二填空题6.已知空间三点A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），则与的夹角的大小是_.7.已知点A（1，2，1）、B（1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则| |的值是_.8.命题：若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；若a

3、与b共线，则存在唯一的实数，使b=a；若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，= + + ，则点M一定在平面ABC上，且在ABC内部.上述命题中的真命题是_.典例剖析9已知=（2，2，1），=（4，5，3），则平面ABC的单位法向量_.三解答题10. 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.11. 如下图，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos，的值；（3）求证：A1BC1M. 12.设点

4、C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，3，2）、B（8，1，4）确定的平面上，求a的值.13.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如下图所示的坐标系.确定P、Q的位置，使得B1QD1P；14.已知三角形的顶点是A（1，1，1），B（2，1，1），C（1，1，2）.试求这个三角形的面积.15.证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为1.16.如图，ABCD是边长为a的菱形，且BAD=60，PAD为正三角形，且面PAD面ABCD.（1）求cos，的值；（2）若E为AB的中点，F为P

5、D的中点，求|的值；（3）求二面角PBCD的大小.17. 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件.18. 棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D面PAC？19已知三棱柱ABCA1B1C1中底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1底面ABC，A1B= a.（1）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；（2）求证：A1B面AB1C.参考答案：一 选择题1.C 2.B 3.D 4.A 5.D二 填空题6 120 7。. 8。 9。三 解答题10解：如下图，取A为原点

6、，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0）.（1）=0，SCBC.（2）设SC与AB所成的角为，=（0，0），=4，| |=4，cos=，即为所求.11（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=（1，1，2），=（0，1，2），=3，=，=.cos，=.（3）证明：C1（0，0，2），M（，2），=（1，1，2），=（，0），=0，A1BC1M.12解： =（1，3，2），=（6，1，4

7、）.根据共面向量定理，设 =x+y（x、yR），则（2a1，a+1，2）=x（1，3，2）+y（6，1，4）=（x+6y，3xy，2x+4y），解得x=7，y=4，a=16.13解：设BP=t，则CQ=，DQ=2.B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2，2，0）， =（，2，2）， =（2，2t，2）.B1QD1P等价于=0，即22（2t）+22=0，整理得=t，解得t=1.此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1QD1P；14解：S=|AB|AC|sin，其中是AB与AC这两条边的夹角.则S=|在本题中，=（2，1，1）（1，1

8、，1）=（1，2，2），=（1，1，2）（1，1，1）=（2，0，3），|2=12+22+（2）2=9，|2=（2）2+02+（3）2=13，=1（2）+20+（2）（3）=2+6=4，S=.15证明：如图，以正三棱柱的顶点O为原点，棱OC、OB为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b，则A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）.因为异面对角线OABC=0（a，a，b）（0，2a，b）=2a2b2=0b=a，即2ab=1，所以OABC的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为1.16解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y

9、轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，0）.=（a，0），=（0，a），则cos，=.（2）E、F分别为AB、PD的中点，E（ a，0），F（0，a）.则|= a.（3）面PAD面ABCD，POAD，PO面ABCD.BOAD，ADBC，BOBC.连结PB，则PBBC，PBO为二面角PBCD的平面角.在RtPBO中，PO=a，BO=a，tanPBO=1.则PBO=45.故二面角PBCD的大小为45.17解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，则= （+）=（3，2，1）+（1，0，4）=（2，1，），点P的坐标是（2，1，），dAB=.（2）设

10、点P（x，y，z）到A、B的距离相等，则化简得4x+4y6z+3=0，即为P的坐标应满足的条件.18解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），=（a，0，z），=（a，a，0）， =（a，a，a），B1D面PAC，=0，=0.a2+az=0.z=a，即点P与D1重合.点P与D1重合时，DB1面PAC.19解：过点B作BOAC，垂足为点O，则BO侧面ACC1A1，连结A1O，在RtA1BO中，A1B=a，BO=a，A1O=a.又AA1=a，AO=.A1AO为直角三角形，A1OAC，A1O底面ABC.解法一：（1）A1C1AC，BC1A1为异面直线AC与BC1所成的角.A1O面

11、ABC，ACBO，ACA1B.A1C1A1B.在RtA1BC1中，A1B=a，A1C1=a，BC1= a.cosBC1A1=.异面直线AC与BC1所成角的余弦值为.（2）设A1B与AB1相交于点D，ABB1A1为菱形，AB1A1B.又A1BAC，AB1与AC是平面AB1C内两条相交直线，A1B面AB1C.解法二：（1）如图，建立坐标系，原点为BOAC的垂足O.由题设条件可得B（ a，0，0），C1（0，a，a），A（0，a，0），C（0，a，0）， =（a，a，a），=（0，a，0）.设与的夹角为，则cos=，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为.（2）A1（0，0，a），B（a，0，0）， =（a，0，a），=（0，a，0），=0.A1BAC.ABB1A1为菱形，A1BAB1.又AB1与AC为平面AB1C内两条相交直线，A1B平面AB1C.【精品文档】第 6 页