第3章-Matlab中的矩阵及其运算.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 第3章Matlab中的矩阵及其运算矩阵是数学中一个十分重要的概念，其应用能够十分广泛，Matlab中最基本最重要的功能就是进行矩阵运算，其所有数值功能都已矩阵为基本单元来实现，掌握Matlab中的矩阵运算是十分重要的。关键词：Matlab 矩阵 特殊矩阵 一、矩阵的生成1、矩阵生成有多种方式，通常使用的有四种：（1） 在命令窗口中直接输入矩阵（2） 通过语句和函数产生矩阵（3） 在M文件中建立矩阵（4） 从外部的数据文件中导入矩阵其中第一种是最简单常用的创建数值矩阵的方法，较适合创建较小的简单矩阵。把矩阵的元素直接排列到方括号中，每行内元素用空

2、格或逗号相隔，行与行之间的内容用分号相隔。如： matrix=1,1,1,1;2,2,2,2;3,3,3,3;4,4,4,4 %逗号形式相隔matrix = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 matrix=1 1 1 1;2 2 2 2 ;3 3 3 3;4 4 4 4 %采用空格形式相隔matrix = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 42、特殊矩阵的生成1、 零矩阵和全1矩阵 零矩阵指各个元素都为零的矩阵。（1） A=zeros(M,N)命令中，A为要生成的零矩阵，M和N分别为生成矩阵的行和列。（2） 若存在已知矩阵B，要生成与B维

3、数相同的矩阵，可以使用命令A=zeros(size(B)。（3） 要生成方阵时，可使用命令A=zeros(N)来生成N阶方针。全1矩阵用ones函数实现。 A=zeros(4,5)A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0B=1 2 3 4 5 ;2 3 4 5 6 ;9 8 7 6 5 ;8 7 6 5 4B = 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 9 8 7 6 5 8 7 6 5 4A=zeros(size(B)A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0A=zeros(5)A = 0 0 0 0

4、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C=ones(5,6)C = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1C=ones(3)C = 1 1 1 1 1 1 1 1 12、单位矩阵的生成（1） A=eye(M,N)命令，可生成单位矩阵，M和N分别为生成单位矩阵的行和列。（2） 若存在已知矩阵B，要生成一个与B维数相同的单位矩阵，可以使用命令A=eye(size(B)。（3） 也可以使用A=eye(N)来生成N阶方阵。 A=eye(4,5)A = 1 0 0 0 0 0 1

5、0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0A=eye(size(B) %B与上例相同A = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0A=eye(4)A = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 13对角矩阵的生成对角矩阵指的是对角线上的元素为任意数，其它元素为0的矩阵。（1） A=diag(V,K)命令中，V为某个向量，K为向量V偏离主对角线的列数。K=0时表示 V为主对角线；K0的数时表示V在主对角线上；K0表示矩阵的主对角线K列以上的部分；K0或N=2除外。magic(2)ans = 1 3 4 2magic(3)ans

6、= 8 1 6 3 5 7 4 9 2magic(4)ans = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 17、Hilbert矩阵和反Hilbert矩阵的生成Hilbert矩阵是有名的病态矩阵，它的第i行第j列的元素值为1/(i+j-1)。（1） hilb(N)命令生成N阶的Hilbert矩阵。（2） invhilb(N)命令生成N阶反Hilbert矩阵。A=hilb(5)A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000

7、0.1667 0.1429 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.12500.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111B=invhilb(5)B = 25 -300 1050 -1400 630 -300 4800 -18900 26880 -12600 1050 -18900 79380 - 56700 -1400 26880 - -88200 630 -12600 56700 -88200 44100C=A*BC = 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 -0.0000 0 0 0 0 1.0000

8、0 0 0 0 0 1.00008、Hadamard矩阵Hadamard矩阵为元素1或-1组成，并且满足条件H*H=N*I, Hadamard矩阵的维数为N，I为N阶单位矩阵，Hadamard矩阵在组合数学，数值分析和信号处理方面都有广泛的应用。与要注意的是，当N=1时，Hadamard矩阵就是1，当N=2时，Hadamard的维数N有一定的要求，即N、N/12或N/20是2的正整数次幂。Hadamard(8)ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1

9、-1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1hadamard(6)? Error using = hadamardn must be an integer and n, n/12 or n/20 must be a power of 2.9、Hankel矩阵Hankel矩阵是针对于一个向量C或者两个向量C或R，而生成的一个对称矩阵。矩阵中各元素满足如下规律：（1）当只有一个向量C时，H=hankel(C):以向量C作为Hankel矩阵的第一列；反对角线上的各元素相等；主反对角线下方元素为0。（3） 当有

10、两个向量C和R时，H=hankel（C，R）：以向量C作为Hankel矩阵的的第一列；以向量R作为矩阵的第一行;当C的第一个元素不同于R的第一个元素时，取C的第一个元素作为主反对角上的元素。 c=5 6 7 8 9 10;r=6 7 8 9 10 11;H=hankel(c)H = 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 0 7 8 9 10 0 0 8 9 10 0 0 0 9 10 0 0 0 010 0 0 0 0 0H=hankel(c,r)Warning: Last element of input column does not match first element of

11、 input row. Column wins anti-diagonal conflict.(Type warning off MATLAB:hankel:AntiDiagonalConflict to suppress this warning.) In C:MATLAB6p5toolboxmatlabelmathankel.m at line 27H = 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 7 7 8 9 10 7 8 8 9 10 7 8 9 9 10 7 8 9 10 10 7 8 9 10 1110、Toeplitz矩阵Toeplitz矩阵与Hankel矩阵类似，也是针

12、对于一个向量C或者两个向量C或R，而生成的一个对称矩阵。矩阵中各元素满足如下规律：（1） 当只有一个向量C时，T=toeplita（C）:以向量C作为Toeplitz矩阵的第一列：对角线上的各元素相等；各元素关于主对角线对称。（2） 当有两个向量C或R时，T=toeplitz(C,R)时：以向量C作为Toeplitz矩阵的第一列；以向量R作为矩阵的最后一行；当C的第一个元素不同于R第一个元素时，取C的第一个元素作为主对角上的元素。c=5 6 7 8 9 10;r=6 7 8 9 10 11;T=toeplitz(c)T = 5 6 7 8 9 10 6 5 6 7 8 9 7 6 5 6 7

13、8 8 7 6 5 6 7 9 8 7 6 5 610 9 8 7 6 5 T=toeplitz(c,r)Warning: First element of input column does not match first element of input row. Column wins diagonal conflict.(Type warning off MATLAB:toeplitz:DiagonalConflict to suppress this warning.) In C:MATLAB6p5toolboxmatlabelmattoeplitz.m at line 18T =

14、5 7 8 9 10 11 6 5 7 8 9 10 7 6 5 7 8 9 8 7 6 5 7 8 9 8 7 6 5 7 10 9 8 7 6 5二、矩阵的特征参数运算1、 矩阵的逆运算的充分必要条件是矩阵的行列式不为零。A=1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1 4A = 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4 B=inv(A)B = 1.0000 0 0 0 -0.5000 0.5000 0 0 -0.5000 -0.1667 0.3333 00.1250 -0.2083 -0.0833 0.25002、矩阵的行列式运算当矩阵为方阵时，可以进

15、行矩阵的行列式运算操作，用det函数操作。 x=det(A) %A、B取自上例x = 24 y=det(B)y = 0.0417 i=x*yi = 1 3、矩阵的特征值运算（1） 用eig和eigs两个函数来进行矩阵的特征值运算。其格式如下：E=eig(X)命令生成由矩阵X的特阵值所组成的一个列向量。（2） V,D=eig(X)命令生成两个矩阵V和D，其中V是以矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵， D是由矩阵X的特征值作为主对角线元素购成的对角矩阵。（3） eigs(A)命令是由迭代法求解矩阵的特阵值和特征向量。（4） D=eigs(A)命令生成由矩阵A的特征值组成的一个列向量。A必须为方阵

16、，最好是大型稀疏矩阵。（5） V,D=eigs(A)命令生成两个矩阵V和D，其中V是以矩阵A的特征向量作为列向量组成的矩阵，D是由矩阵A的特征值作为主对角线与元素构成的对角矩阵 x=magic(3)x = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 a=1 0 0;0 0 3;0 9 0a = 1 0 0 0 0 3 0 9 0 E=eig(x)E = 15.0000 4.8990 -4.8990 V,D=eig(x)V = -0.5774 -0.8131 -0.3416 -0.5774 0.4714 -0.4714 -0.5774 0.3416 0.8131D = 15.0000 0 0 0 4.8

17、990 0 0 0 -4.8990 D=eigs(a)D = -5.1962 5.1962 1.0000 V,D=eigs(a)V = 0 0 1.0000 0.5000 0.5000 0 -0.8660 0.8660 0D = -5.1962 0 0 0 5.1962 0 0 0 1.0000 D=eigs(a)D = -5.1962 5.19621.00004、矩阵的范数运算数值分析与计算方法所得不同之处在于引入了范数的概念，用norm和normest函数来计算矩阵的范数，其格式如下：（1） norm函数norm（X）用来计算矩阵X的2-范数norm（X，2）与norm(X)的功能相同no

18、rm（X，1）用来计算矩阵X的1-范数norm（X，inf）用来计算矩阵X的无穷范数norm（X，fro）用来计算矩阵X的frobenius范数（2） normest函数normest函数只能计算矩阵的2-范数。且是其2-范数的估计值，适用于计算norm（X）比较费时的情况，其格式为normest(X). X=hilb(4)X = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 norm(4)ans = 4 norm(X

19、)ans = 1.5002 norm(X,2)ans = 1.5002 norm(X,1)ans = 2.0833 norm(X,inf)ans = 2.0833 norm(X,fro)ans = 1.5097 normest(X)ans = 1.5002 5、矩阵的条件数运算 矩阵的条件舒适判断矩阵“病态”程度的一个量值，矩阵A的条件数越大，表明A越“病态”，反之，表明A越“良态”。（1） cond函数cond函数用于计算矩阵的条件数，cond(X)返回关于矩阵X的2-范数的条件数。cond(X,P)关于矩阵X的P-范数的条件数（P为1、2、inf或fro）。（2） rcon函数rcond函

20、数用于计算矩阵条件数的倒数值，所以当矩阵X病态时，rcond(X)就接近0；X“良态”时，rcond（X）就接近1。（3） condestcondest(X)用于计算关于矩阵X的1-范数的条件数的估计值。 M=magic(3); H=hilb(4); c1=cond(M)c1 = 4.3301 c2=cond(M,1)c2 = 5.3333 c3=rcond(M)c3 = 0.1875 c4=condest(M)c4 = 5.3333 h1=cond(H)h1 = 1.5514e+004 h2=cond(H,inf)h2 = 2.8375e+004 h3=rcond(H)h3 = 3.5242

21、e-005 h4=condest(H)h4 = 2.8375e+0046、特征值的条件数运算通过函数condeig进行特征值条件数的计算。函数使用方式为condeig(A)或者V，D，S= condeig（A），其中condeig（A）表示有矩阵的各特阵值条件数所构成的列向量；V，D，S= condeig（A）等价于上面介绍V，D=eig(A)和S=condeig(A)。V表示特征向量组成的矩阵，D表示特征值组成的对角阵，S表示对应的特征值条件数。 V=1 1 1 10E10V = 1.0e+011 * 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 A=diag(V)A = 1.0e

22、+011 * 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 1.0000 Jt=cond(A) %矩阵的条件数计算Jt = 1.0000e+011 Tt=condeig(A) %矩阵特征值的条件数计算Tt = 1 1 1 1 M=magic(7)M = 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20 Jt=cond(M) %矩

23、阵的条件数计算Jt =7.1113 Tt=condeig(M) %矩阵特征值的条件数计算Tt = 1.0000 1.0048 1.3171 1.3125 1.0048 1.31251.31717、矩阵的秩用rank来求得矩阵的秩 T=rand(6)T = 0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.89

24、13 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186 r=rank(T)r = 6 T1=1 1 1;2 2 3T1 = 1 1 1 2 2 3 r=rank(T1)r = 28、矩阵的迹矩阵的迹是指矩阵主对角线上所有元素的和，也是矩阵的特征值。用trace函数求得。 T=trace(M)T = 65 T1=eig(M)T1 = 65.0000 -21.2768 -13.1263 21.2768 13.1263 T2=65-21-13+21+13T2 = 659、矩阵的伪逆在MATLAB中

25、，矩阵的伪逆运算可以有函数pinv实现。完整的应用形式为X=pinv(A),矩阵X和矩阵A同维数，并且矩阵A和矩阵X满足条件A* X*A=A、X*A*X=X和A*X=X*A=I（在一定的误差条件下近似成立） A=magic(4)A = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 B=inv(A)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.e-017.B = 1.0e+014 * 0.9382 2.8147 -2.8147 -

26、0.9382 2.8147 8.4442 -8.4442 -2.8147 -2.8147 -8.4442 8.4442 2.8147 -0.9382 -2.8147 2.8147 0.9382 B1=pinv(A)B1 = 0.1011 -0.0739 -0.0614 0.0636 -0.0364 0.0386 0.0261 0.0011 0.0136 -0.0114 -0.0239 0.0511 -0.0489 0.0761 0.0886 -0.0864 C1=A*BC1 = 1.0000 0 -1.0000 -0.5000 -0.2500 0 0 0.3750 0.2500 0.5000 0 -0.2500