等腰三角形(基础)知识讲解.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除等腰三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】要点一、等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，

2、且都等于45.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称

3、“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点二、等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1

4、、（2015春张家港）如图，已知ABC中，AB=BD=DC，ABC=105，求A，C度数【答案与解析】解：AB=BD，BDA=A，BD=DC，C=CBD，设C=CBD=x，则BDA=A=2x，ABD=1804x，ABC=ABD+CDB=1804x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即A=50，C=25【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度数【答案】解：ACBCBD，ADAE，DE

5、CE，设ECDEDC，BCDBDC，则AEDADE2，AB1804在ABC中，根据三角形内角和得，18041804180又A、D、B在同一直线上，2180由 ，解得36B180418014436.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40，求其余各角【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和18040140，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数；(2)当40的角为底角时，另一个底角也

6、为40，则顶角的度数1804040100其余各角为70，70或40，100 【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长13337； (2)3为底边长时，则两个腰长的和13310，则一腰长 这样得两组：3，3，7 5，5，3 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：337，故不能组成三角形，应舍去 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3

7、的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案举一反三：【变式】（2015威海模拟）如图，ABC中BD、CD平分ABC、ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，AEF的周长为（）A13B12C15D20【答案】选B解：EFBC，EDB=DBC，BD平分ABC，EBD=CBD，EDB=EBD，BE=ED，同理DF=CF，AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12类

8、型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知：如图，中，ADBC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，求证：（1）ABDCFD；（2）BEAC【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知ADDC，易证ABDCFD，要证BEAC，只需证BEC90即可，DFBD，可知FBD45，由已知ACD45，可知BEC90.【答案与解析】证明：(1) ADBC， ADCFDB90. ADCD ABDCFD (2)ABDCFD BDFD. FDB90， BEAC 【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理

9、，通过求证ABDCFD，推出BD=FD，求出FBD=BFD=45类型四、等边三角形5、如图在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程【答案与解析】解：（1）ODE是等边三角形，其理由是：ABC是等边三角形，ABCACB60， ODAB，OEAC，ODEABC60，OEDACB60ODE是等边三角形；（2）答：BDDEEC，其理由是：OB平分ABC，且ABC60，ABOOBD30，ODAB，BODABO30，DBODOB，DBDO，同理，ECEO，DEODOE，BDDE

10、EC【总结升华】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到DBODOB，根据等角对等边可得到DBDO，同理可证明ECEO，因为DEODOE，所以BDDEEC举一反三：【变式】等边ABC，P为BC上一点，含30、60的直角三角板60角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转如图，当P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状.【答案】解： PEAB，B60，因此直角三角形PEB中，BEBPBCPC，BPE30，EPF60，FPBC，BC60，BEPC，PEBFPC90，BEPCPF，PEPF，EPF60，EPF是等边三角形【精品文档】第 5 页