解析几何讲义详解.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除解决解析几何的基本思路和流程讲义稿解析几何的本质：用代数方法解决几何问题，即由图形到代数的问题。从这个意义上讲，解决解析几何问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。图形：形状、位置、大小三个要素。函数解析式（方程）因此，解析几何问题要从图形中的“点”找出几何关系和代数关系。 看见“点”想位置：（1）“点”的自身位置：直角坐标系的意义就在于把一个点的位置分解为一个水平位置和一个竖直位置。如点（2,3）的水平位置是相对于原点方向向右、距离为2，竖直位置是相对于原点方向向上、距离为3.（

2、2）“点”相对于其他点或线的位置关系。 点一、 关于直线直线需要确定其形状和位置。其中形状即直线的倾斜程度，由直线的倾斜角（或斜率k，k=tg）确定，位置由直线上的一个点确定。因此，直线的代数表达式（称之为直线的方程）是（k存在的前提下）。（1）因为直线的确定需要形状和位置两个要素，所以求直线的方程就需要两个相互独立的条件。比如已知两个点的坐标或已知一个点的坐标和直线的斜率等等。（2）如果直线的形状（即直线的倾斜程度）不能确定（x或y前面有字母系数），那么直线方程表达的就是过定点的直线集合。（如kx+y-2k+1=0，过定点（2，-1）的直线集合； X+ky+1=0，过定点（-1,0）的直线集

3、合等等。（3）如果直线的位置（即直线过的点）不能确定（x或y前面没有字母系数、形状确定），那么直线方程表达的就是平行线集合。 如x-2y+k=0，斜率为的平行线集合2x+y+b=0，斜率为k=-2的平行线集合等等。 从解决函数问题的角度说就是：看到字母想分类（这里主要分成两类）。二、 关于圆圆的本质是均匀变化，需要确定其位置和大小。其中位置由圆心确定，大小由半径确定，因此确定圆的方程需要三个相互独立的条件。解决圆的相关问题主要是用圆的性质，比如弦的性质（垂径定理：弦的中垂线过圆心。从直线和圆的位置关系上讲就是有两个公共点、代数关系：方程组有两组解）、切线的性质（切线垂直过切点的半径。从直线和圆

4、的位置关系上讲就是有一个公共点、代数关系：方程组有一组解）。从图形的角度讲可以产生直角三角形等。也可以用方程或方程组解决。（1） 弦：可以看成两个点（2） 切点：三、 关于圆锥曲线（1）圆锥曲线的定义：看到焦点想定义。用定义解决问题是解决圆锥曲线问题的一个重要方法。（2）圆锥曲线和直线的位置关系问题是高考的一个热点，通常通过解方程组、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式、函数等方法解决。也是教学的难点，难点在于整个解题过程的运算量比较大，学生需要过运算关。如直线与圆锥曲线相交直线和圆锥曲线相切，与直线与圆锥曲线相交类似处理。中点弦：看位置、想关系（几何关系：交点、中点。代数

5、关系：方程组做差的直线-点差法）解决问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。四、 关注直角三角形在解析几何中的应用（勾股定理、向量的应用）直线中点直角三角形（图1）可以解决“两点间的距离、弦长公式、点到直线的距离公式”的推导。椭圆和双曲线中直角三角形可以确定椭圆或双曲线的形状。五、 关注定义在圆锥曲线中的应用（看到焦点想定义）六、 关注函数在解析几何中的应用（基本不等式、函数求最值）七、 关注圆锥曲线中的“点”：看见点想位置八、解析几何中的“函数关系” 直线方程可以看做是一次函数 圆的方程、圆锥曲线的方程如果限定y0或yb0)相

6、交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_分析：中点弦（看见点想位置）：点在曲线上（代入方程），点在直线上（直线方程没有）。做差体现点在直线上（点差法）。1、画图 2、几何关系：M是线段AB的中点，斜率为 3、代数关系：“点差”产生斜率和中点。 解析 设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M是线段AB的中点，所以x1x22，y1y22，且两式作差可得，即，所以，即kAB.由题意可知，直线AB的斜率为，所以，即ab.又a2b2c2，所以cb，e.52014辽宁卷 已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN

7、|_分析：看见点想位置，涉及“中点”，一般要想中位线，如果是直角三角形斜边的中点，要想中线（中线等于斜边的一半）。1、画图 2、几何关系：看到焦点想定义。三角形的中位线有|GF1|AN|，|GF2|BN| 3、代数关系：|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.解析 取MN的中点为G，点G在椭圆C上设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.6、2014山东卷 已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A. x

8、y0 B. xy0 C. x2y0 D. 2xy0分析：1、画图 2、几何关系：离心率之积为， 3、代数关系：计算离心率解析 椭圆C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2.由e1e2，解得，所以，所以双曲线C2的渐近线方程是yx.故选A.7(2013浙江高考改编)已知抛物线C：y24x，过点P(1,0)的直线l与抛物线C相切于点Q，则点Q到准线的距离为_分析：视为函数的切线问题。1、画图2、几何关系：切线、切点、曲线。切点在切线上、切点在曲线上。 3、代数关系：不妨把抛物线设为函数则所求距离为2 8过椭圆1(ab0)的左顶点且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|M

9、B|，则该椭圆的离心率为_分析：眼睛盯住点中点：想中线、中位线 求值：解方程 关系：点在直线上、点在椭圆上1、画图。 2、几何关系：3、代数关系：易知：在椭圆上，代入椭圆方程得：9、2014全国卷 直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_分析：关注切点：切点与圆心的连线垂直切线。1、画图 2、几何关系：APB=2OPA 3、代数关系：两点简单距离公式、勾股定理、正切公式。 解析 如图所示，根据题意，OAPA，OA，OP，所以PA2 ，所以tanOPA，故tanAPB，即l1与l2的夹角的正切值等于.10、2014四川卷 设mR，过定

10、点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_分析：看见字母想分类，直线的位置确定、形状不定，研究其形状的关系（必有关系，研究直线的位置关系）1、画图 2、几何关系：（看到字母想分类）xmy0表示过定点A（0,0）的直线集合，mxym30表示过定点B（1,3）的直线集合，而且不论m为何值，两条直线互相垂直。3、代数关系：勾股定理(也可以用向量处理)。4、计算|PA|PB|的最大值为基本不等式问题或转化为函数问题。解析 由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，所以|PA|2|

11、PB|2|AB|210.|PA|PB|5，当且仅当|PA|PB|时等号成立112014安徽卷 设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_分析：看见点想位置，A点在椭圆上且水平位置确定，代入椭圆方程可得A点坐标。三点共线、长度关系，可以考虑或向量求出B点坐标，B点在椭圆上代入即可。1、画图 2、几何关系：AF2x轴，点A,B在椭圆上。F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点3、代数关系：易知A(c，b2)，根据三角形相似可求出B，代入椭圆方程可得b.解析 设F1(c，0)，F2(c

12、，0)，其中c，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得3，故即代入椭圆方程可得b21，解得b2，故椭圆方程为x21.122014全国卷 已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21 C.1 D.1分析：看见点想位置，关注焦点，看到焦点想定义。1、画图 2、几何关系：看到焦点想定义。 3、代数关系：AF1B的周长为4，勾股定理。解析 根据题意，因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，

13、所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.13、2014新课标全国卷 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程分析：看见离心率想直角三角形，看见最值想基本不等式或函数。1、画图 2、几何关系：,OPQ的面积最大 3、(1)解三角形可得E的方程 (2)解方程组，利用弦长公式求PQ，利用点到直线的距离公式求高，表达出OPQ的面积，利用基本不等式或函数解决最值问题。解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21

14、.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即k2时，x1，2，从而|PQ|x1x2|.又点O到直线l的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，满足0，所以，当OPQ的面积最大时，k，l的方程为yx2或yx2.14、2014新课标全国卷 设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2

15、)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.分析：与11题类似。1、画图 2、几何关系：M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MN的斜率为，且|MN|5|F1N|， 3、代数关系：(1)易知M， (2) 直线MN在y轴上的截距为2，故4，由易知N的坐标。代入椭圆方程计算即可。解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由

16、题意知y10，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S.由xy42x0y0知，当且仅当x0y0时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此可设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设直线l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22 my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1m

17、y1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入式整理得2m22 m4 110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.16、 2014北京卷 已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论分析：看见的想位置，A在椭圆上满足其方程，B在直线上满足其方程，OAOB，用向量表达A、B的坐标关系。1、画图 2、几何关系：A在椭圆上（设出坐标）、B在直线y2上（设出坐标），且OAOB

18、 3、代数关系：直线AB与圆x2y22的位置关系，圆心到直线的距离公式解决。解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x.圆心O到直线AB的距离d，此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d.又x2y4，t，故d.此时直

19、线AB与圆x2y22相切17、 2014江西卷 如图所示，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值分析：看见点想位置，研究A、B、F的位置及关系。1、画图2、几何关系：（1）点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)（2）P(x0，y0)(y00)在C上，直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.3

20、、代数关系：（1）ABOB，BFOA(O为坐标原点)可以用向量处理，求出双曲线方程。（2）解方程组求出M、N，计算为定值即可。解：(1)设F(c，0)，因为b1，所以c.由题意，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，所以B.又直线OA的方程为yx，则A，所以kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y(y00)因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x的交点为N，则.又P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所以，为定值18、2014四川卷 已知椭圆C：1(ab0

21、)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标分析：看见点想位置1、画图2、几何关系：（1）短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（2）F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.3、代数关系：（1）利用短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形解三角形求出椭圆方程。（2）设直线方程，解方程组求出PQ的中点坐标，可以得到OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；（3）计算

22、TF与PQ的长（弦长公式、两点间的距离公式），转化为函数或基本不等式处理即可。解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ.直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率

23、kOM，又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由可得，|TF|，|PQ|.所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)19、(2013广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值分析：切点、切线、曲线，处理切线问题。最值问题想基本不等式。1、画图2、

24、几何关系：注意到直线l：xy20的斜率是1，所以是等腰直角三角形3、代数关系：FB=，所以AF=3，又因为A（0，-2），所以c=1. 抛物线C的方程为x24y.【思路点拨】(1)由点到直线的距离公式，建立关于c的方程，求出c，进而写出抛物线的标准方程(2)设出A，B的坐标，利用导数的几何意义求出切线PA，PB的斜率，写出切线PA，PB的方程，通过构造方程，得到直线AB的方程(3)因为|AF|和|BF|都是抛物线上的点到焦点的距离，故可以利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，要求|AF|BF|的最小值，需要建立关于y的目标函数，然后求该函数的最小值【尝试解答】(1)依题意，设抛物线C的方程为x

25、24cy(c0)，由点到直线的距离公式，得，解得c1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x24y.(2)由x24y，得yx2，其导数为yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y1，x4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以和为方程x0x2y02y0的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y1

26、1)(y21)y1y2(y1y2)1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2(2y0x)yy0.由一元二次方程根与系数的关系得y1y2x2y0，y1y2y.所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y020，即x0y02，所以yx2y012y2y0522，所以当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.,20、2014全国卷 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，

27、N四点在同一圆上，求l的方程分析：看见点想位置，研究A，M，B，N四点的位置及关系。1、画图2、几何关系：（1）看到焦点想定义。（2）A，M，B，N四点在同一圆上，转化为直角三角形。3、代数关系：DB是AB的一半，BE是MN的一半，点到直线的距离公式算出ED，勾股定理即可解决。解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段的AB的中点为D

28、(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又直线l 的斜率为m，所以l 的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.21、已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为B(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)

29、求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求直线MN的方程分析：看见离心率想直角三角形，看见字母想分类，看见点想位置。 研究M、N位置及关系1、画图2、几何关系：（1）（2）直线yk(x1)过定点（1,0）3、代数关系：AMN的面积为，解方程组计算MN的长，点到直线的距离公式算出高即可。【思路点拨】(1)由椭圆的性质，构建方程，求a2，b2；(2)联立直线与椭圆方程，求弦长|MN|表示出AMN的面积，确定k得方程【尝试解答】(1)由a2，离心率e，则c，从而b2a2c22.所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

30、则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2.所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d.依题设，k1.故直线MN的方程为xy10或xy10.22、已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，若0，且e，求k的取值范围分析：看见离心率想直角三角形，看见字母想分类，看见点想位置。 研究A、B位置及关系1、画图2、几何关系：Rt3、代数关系：，而且c=3【解】(1)由焦点F2(3,0)，知c3，又e，a2.又由a2b2c2，解得b23.所以，椭圆的方程为1

31、.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，x1x20，且x1x2.又(3x1，y1)，(3x2，y2)所以(3x1)(3x2)y1y2(1k2)x1x290.即90.整理得k21.由e及c3，知2a3，12a218.所以a418a2(a29)28172,0)，所以k2，则k或k，因此实数k的取值范围为.23、 椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，O为坐标原点，OC的斜率为，求椭圆的方程分析：看见点想位置：弦的中点可以考虑“点差法”，求a、b的值，找等量关系解方程组。1、画图2、几何关系：弦长、中点、斜率3、代数关系：解方程组、弦长公式、中点坐标公式、斜率公式的综合应用。【解】由得(ab)x22bxb10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得axby1，且axby1，两式相减，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，又1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，得(x1x2)24x1x24，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是1.【精品文档】第 30 页