集合-知识点与题型归纳.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date集合-知识点与题型归纳解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；高考明方向1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系； 能用列举法或描述法表示集合2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 了解全集与空集的含义3.理解并会求并集、交集、补集； 能用Venn图表达集合的关系与运算.备考知考情对于本节的考查，一般以选择题或填空题形式出现，难度中低档命题的规

2、律主要体现在集合与集合、元素与集合之间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注意以集合为工具，考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的特点.在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能力及用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力；以集合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力一、知识梳理名师一号P1知识点一 元素与集合 某些指定的对象集在一起就成为一个集合其中每个对象叫做集合中的元素1、集合中的元素具有三个特性确定性、互异性和无序性2、集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用和来表示 3、常见数集的符号表示：数

3、集自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示法NN*或NZQR4、集合有三种表示方法： 列举法、 描述法 、 图示法 还可以用区间来表示集合5、集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集知识点二 集合间的基本关系知识点三 集合的基本运算及性质1.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA或xBx|xA且xBUAx|xU且xA 注意补集的相对性2.集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A二、例

4、题分析：（一)元素与集合之间的关系例1.(1) 名师一号P1 对点自测2已知集合Ax|yx2，B(x，y)|yx，则AB_.答案：注意：名师一号P2 高频考点 例1 规律方法(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合名师一号P2 问题探究 问题2、与0有什么区别与联系？是空集，不含任何元素不是空集，它含有一个元素；同样，0也不是空集，它含有一个元素0.由于空集是任何集合的子集，故0，；又根据是的一个元素，也可以得到另外，0.例1.(2)(补充) ,，则 （ ） 答案：D练习:名师一号P2 高频考点 变式思考1(1)

5、已知集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，则AB的元素个数为()A0 B1 C2 D3答案：2注意：集合与解析几何集合与平面解析几何结合是高考的又一热点，这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义练习1：已知集合M(x，y)|y1k(x1)，x，yR，集合N(x，y)|x2y22y0，x，yR，那么MN中( )A不可能有两个元素 B至多有一个元素C不可能只有一个元素 D必含无数个元素解析：y1k(x1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x1.x2y22y0，可

6、化为x2(y1)21，表示圆心在(0,1)，半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，直线与圆有两个交点，故选C.练习2：已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D答案：B例2(1) 名师一号P1 对点自测3已知集合M1，m2，m24，且5M，则m的值为_解析:因为51，m2，m24，所以m25或m245， 即m3或m1. 当m3时，M1,5,13； 当m1时，M1,3,5； 当m1时，M1,1,5不满足互异性 所以m的值为3或1.注意：名师一号P2 问题探究 问题1如何正确认识集合的三大特性？集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言

7、与文字语言之间的相互转化例2(2) 名师一号P2 高频考点 例1已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D10解析:由xyA，及A1,2,3,4,5得xy， 当y1时，x可取2,3,4,5，有4个； 当y2时，x可取3,4,5，有3个； 当y3时，x可取4,5，有2个； 当y4时，x可取5，有1个故共有123410(个)，选D.注意：名师一号P2 高频考点 例1 规律方法(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题例2(3) 名师一号P2 高频考点 例1（2） (07全国)设,

8、集合则（ ）A1 B C2 D 解析:因为1，ab，a，a0， 所以ab0，得1， 所以a1，b1.所以ba2.注意：利用互异性解题练习：(补充) 设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P*Qx|xab，“”为通常的乘法运算，aP，bQ，若P0,2,4，Q1,2,6，则P*Q中元素的个数是()A9 B8 C7 D6解析：由题意可知P*Q0,2,4,8,12,24故选D.本题易形成错解：从P中选取元素a有3种选法，对于它的每一种选法，在Q中选取b有3种选法，共有339种，选A.例3(补充)在集合M0，1,2,3的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对xA，有A”的概率是_解析：集合M的非

9、空子集有25131个，而满足条件“对xA，则A”的集合A中的元素为1、或2，且，2要同时出现，故这样的集合有3个：1，2，1，2因此，所求的概率为.注意：1、一般地，若，则元素一定满足集合 中元素的共同特征2、名师一号P2 对点自测4（2）含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空真子集的个数是2n2.练习1：名师一号P2 高频考点 例1 变式思考1(2)若集合Ax|ax23x20的子集只有两个，则实数a_.集合A的子集只有两个，A中只有一个元素当a0时，x符合要求当a0时，(3)24a20，a.故a0或.练习2：(补充) 设集合，则点的充要条件是 答案：且（二）集合与集合之

10、间的关系例1（1）名师一号P2 高频考点 例2（1） 已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1， 若BA，求实数m的取值范围解析：当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图则解得2m4.综上，m的取值范围是(，4例1（2）名师一号P2 高频考点 例2（2）设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0 若(UA)B，求m的值解析：A2，1，由(UA)B，得BA.方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4， 且m(2)(2)4，这两式不能同时成立， B2；若B1，2，则应有(m1)(1)

11、(2)3， 且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.注意：名师一号P2 高频考点 例2 规律方法(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素， 对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 如AB时，A有两种情况：与(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时， 要对参数进行讨论 解含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要注意空集(3)区分“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含” 关注区间端点值是否取到具体检验！(4)方程

12、与不等式的解集练习1： 名师一号P3 高频考点 例3 变式思考3(1)已知全集为R，集合A，Bx|x26x80，则ARB()Ax|x0 Bx|2x4Cx|0x4 Dx|0x2，或x4解析：Ax|x0，Bx|2x4，所以RBx|x4，此时ARBx|0x4练习2:(补充)设集合， ，则（ ） 答案：B（三）集合的运算例1名师一号P2 高频考点 例3（2）已知R是实数集，集合Px|yln(x22 014x2 015)， Qy|y，则(RP)Q()A(0,1 B0,1 C(2 015,1 D2 015,2解析：集合P表示函数yln(x22 014x2 015)的定义域，由x22 014x2 0150，

13、即(x1)(x2 015)0，解得x1. 故P(，2 015)(1，)，RP2 015,1集合Q表示函数y的值域，设tx22x3，则y .因为tx22x3(x1)244，所以y 0,2，即Q0,2所以(RP)Q2 015,2，故选D.注意：1、正确解读集合语言 集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解 同时关注区间端点值是否取到2、名师一号P2 问题探究 问题4数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形

14、结合的思想方法解题例2（1）名师一号P2 对点自测6设全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A1,2,3,5，B2,4,6，则右图中的阴影部分表示的集合为()A2B4,6 C1,3,5 D4,6,7,8解析由图知即求(UA)B，而UA4,6,7,8，B2,4,6，所以(UA)B4,6故选B.例2（2）(补充)已知集合，若，则 ， 答案：，温故知新P1 第8题（四）综合运用 名师一号P3 特色专题1以集合为载体的创新型问题以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能

15、力例1. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：2 0144；33；Z01234；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4【规范解答】因为2 01440254，又因为45n4|nZ，所以2 0144，故正确；因为35(1)2，所以32，故不正确；因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以正确；若a，b属于同一“类”，则有a5n1k，b5n2k，所以ab5(n1n2)0，反过来，如果ab0，也可得到a，b属于同一类”，故正确故有3个结论正确【

16、名师点评】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义-言听计从！首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质2以集合为载体的交汇型问题集合的交汇性问题多与函数、方程、几何概型、三角、解析几何等问题相联系，突破集合交汇型问题的关键是：利用数形结合的方法，即借助函数的图象以及解析几何中的相关图形，根据函数图象的特点以及平面图形的直观性进行求解例2.已知平面区域M(x，y)|x2y24，N，在区域M上随

17、机取一点A，点A落在区域N内的概率为P(N)，若P(N)，则实数m的取值范围为()A0,1 B. C1,1 D1,0【规范解答】平面区域M(x，y)|x2y24的面积为4，设平面区域N的面积为S，因为P(N)，所以，2S32，直线ymx2m过定点(2,0)，斜率为m，数形结合可知，当m0时，平面区域N的面积为2；当m1时，平面区域N的面积为32.所以实数m的取值范围为1,0故选D.【名师点评】两个集合表示的都是点集，故先作出两个集合表示的平面区域，求出平面区域M的面积，设平面区域N的面积为S，利用P(N)的取值范围，可求出S的取值范围，再利用数形结合，即可求出参数m的取值范围 练习1:(补充)

18、定义集合运算：ABz|zxy(xy)，xA，yB，设集合A0,1，B2,3，则集合AB的所有元素之和为()A0 B6 C12 D18解析：(1)x0时，z0；(2)x1时，由y2得z6，由y3得，z12.AB0,6,12答案：D练习2:(补充),且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是 答案：练习3:(补充)设全集，集合A、B都是U的子集，若，则称A、B为“理想配集”记作（A，B）。这样的“理想配集”（A，B）共有（ ）A7个 B8个 C27个 D28个答案：C课后作业（一）计时双基练P207 基础1-10（二）计时双基练P208 基础11、培优1-4 课本P2-

19、4变式思考2、3；对应训练1、2预习 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件补充：1、（2013广东理科8）设整数n4，集合X1,2,3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是() A(y，z，w)S，(x，y，w)S B(y，z，w)S，(x，y，w)SC(y，z，w)S，(x，y，w)S D(y，z，w)S，(x，y，w)S答案：B解析：由(x，y，z)S，不妨取xyz，要使(z，w，x)S，则wxz或xzw.当wxz时，wxyz，故(y，z，w)S，(x，y，w)S.当xzw时，xyzw，故(y，z，w)S，(x，y，w)S.综上可知，(y，z，w)S，(x，y，w)S. 2、（2009北京文科14）设A是整数集的一个非空子集.对于kA,如果k-1A,且k+1A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S=1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有_个.答案：6解析:根据题意每个元素必须有一个与其相邻的元素.-