趣味数学153：“平方奇观”节选.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除数论妙趣数学女王的盛情款待第十五章 平方奇观（节选）这里主要考查平方数的种种奇妙性质。所谓平方数，是指数列1,4,9,16,25,中的数。第一个平方数加上3，就得到第二个平方数，第二个平方数加上5，就得到第三个平方数等等。一般地说，如果把2x1加到x的平方上去，即可得出下一个平方数。例如，52(251)62。它所依据的就是代数恒等式(x1)2x22x1。根据人们非常熟悉的代数恒等式，可以得到许多有关平方数的速算方法。如，根据(ab)2a22ab1，如果已知6023600，用心算即可得出612(601)26022601360012013721；59

2、2(601)26022601360012013481。再如，根据(ab)(ab)a2b2，移项得a2(ab)(ab)b2，适当选取b，使ab或ab的计算比较简单，就可以很快算出a2。472(473)(473)3250449220092209。962(964)(964)4210092169200169216。再如，以5为尾数的数的平方可以脱口而出。拿35的平方来说，把首位数3乘上比它大1的连续数4，在其后面添上尾巴25，结果1225就出来了。用此方法不难马上算出6524225（6742，后面再添上“尾巴数”25），152225等等。两位以上的数求平方时，也可以如法炮制，例如115213225（1

3、112132，后面再添上“尾巴数”25）。这类方法很多，不再一一列举。关于平方数的一个令人惊讶的事实是：任意一个正整数均可以表示为至多四个平方数之和。如，422，52212，6221212，722121212，82222，932，103212，11321212，1232121212，1323222，下面是一些特殊的平方数。九个数字齐全的平方数：1182621398542761962923852976412505926279534811236321528437692031624127398562557226539271841254321573268492288725238147692594126

4、729354811467622153849762301925298743612640926974352811568122458937612317825372196842673327146532891596322548173692343925493867212712927359826411807223265971842423725874321692727327438165291902323618745292427625893241762903428429731561937723754681292444125973624812910628471592361956923829457612480726

5、15387249303842923187456十个数字齐全的平方数：3204321026753849456242208154973632286210423857965544623074258916331442109852473668763247283501693517221237069584839192704239856139147215324876099906629814072356含有九个数字的平方差：11113220021234586793111122002967854321111172200212354768911356220002124958736126952601721249587

6、36 1626021180821249587361237223002152976384有趣的是，前两个例子的第一个平方数与结果还都是互为逆序数。大于1的任何奇数和作为4的倍数的任何偶数（4本身除外），都可以表示为两个平方数之差。如32212，53242，74232，95242，83212，124222，165232，206242，有些数表示为两个平方数之差的方法还不只一种。下面这两个由递增和递减数字组成的数就尤为有趣：123456789617283952617283942 205761332205761302 6858715268587062 189172153102 181332143302

7、 111152294298765432149382716124938271602 16460905521646090522 548696892548696802 290486652290486482 9682911296828602 3227705232275522 1708889217086002 57001525691482 19116121885602平方数有个神奇的关系：从n(2n1)的平方开始的(n1)个连续的平方数，其和正好等于其后n个连续平方数之和。n神奇关系1 3242522 102112122132142 3 212222232242252262272 4 362372382

8、392402412422432442 5 552562572582592602612622632642652许多连续平方数之和也可能是一个平方数。如12223224270218219220228277225226227250219523823924024821432456245724582466215292854285528562864228492除去连续数以外，等差数列也可能有连续若干项，其平方和仍为一平方数。如225282112142172202232262482三个平方数可以形成等差数列，而四个或更多个平方数就不行。下面是一些三个平方数形成的等差数列：1，25，49(公差24)；49，1

9、69，289(公差120)；49，289，529(公差240)；289，625，961(公差336)；1，841，1681(公差840)。提到平方数，人们自然会想到下面这两个公式：从1开始连续正整数的平方和公式：122232n2n(n1)(2n1)/6。前n个连续正整数之和的平方，等于这些数各自立方之和。(123n)2132333n3。还有一个平方数奇观：12345678987654321(111111111)2，不难找到一些平方数，其和等于另外一些平方数之和。例如425262823222格外值得注意的是，有些这种关系竟然会对好几个乘幂都成立。例如，1n4n5n5n6n9n2n3n3n7n7n8n，对n1,2,3,都是正确的。这种关系称为“多次或多度等幂”。更惊人的是，下面的等幂和竟然可以达到n7。1n13n28n70n82n124n139n151n4n7n34n61n91n118n145n148n。寻求平方数和由平方数引出的种种奇妙关系，表现出来的才智源远流长，尚未到达尽头，拉丁格言真是说对了：“生命短暂，艺术长存。”【精品文档】第 4 页