零点存在定理的教案.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date零点存在定理的教案如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办？ 教案课题：零点存在定理 授课人： 一、 内容及内容解析：本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根.各个内容之间的联系：方程的根零点零点存在定理

2、 二分法二、 三维目标：知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解.过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到的特点，并且通过辨析引出定理,得到定理后，还要针对定理中的每一项进行辨析，得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间，为了得到零点的值我们又引入了二分法，从而能近似的求解出零点.情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.三、 教学难点与重点：难点 二分法的使用及对定

3、理的理解.重点 定理的使用及求解方程的近似根.四、设计教学上节课我们学习了零点的定义，所以我们知道了如果画出了函数图像，我们就能知道函数是不是有零点，那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办？我们还能知道函数有没有零点吗？通过今天的学习，我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.1、引入定理通过之前的例题，我们知道函数的零点可能有若干个，为了使问题简化，我们首先考虑函数只有一个零点的情况.请大家思考：若函数y=f(x)是连续不断的函数，且有一个零点，则函数零点两端的函数值有何特征？因为函数只有一个零点，所以函数图象与x轴只有一个交点。那函数图象与x轴会有哪些位置关系呢？不难想到（无非是两

4、种情况）：一种为函数图象不穿过x轴；另一种是函数图象穿过x轴。（1）大家先看第一种情况，函数零点附近函数值有何特征呢？（同学回答） 这种情况下，零点附近函数值同号。那我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积大于0；（2）我们再看另一种情况，此时零点附近函数值有何特征呢？ （图像在PPT上显示动画过程，让学生观察出图像穿过x轴的过程，然后知道零点附近的值相反.）无论怎么穿过，都有零点左右函数值异号，同样，我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积就小于0.【分析】（1）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)0，那

5、么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？（不一定）那好，你能给大家举一个反例吗？（一定）好，你先请坐。其他同学有不同意见么？如果函数有零点，说明函数图象一定与x轴有交点。条件告诉我们f(a)f(b)0，那我不妨设f(a)、f(b)同时为正，大家请看，通过这两个点的函数图象一定能与x轴有交点么？ 显然是不一定的，比如我举的这个反例。这就说明满足这样条件的函数，不能确定函数一定有零点。（2）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)0，那我就不妨设f(a)小于0，f(b)大于0，那么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？大家可以在纸上画一画，试试看。（一定）好，那其他同学呢？都同意他的观

6、点吗？（不一定）你能为大家说明一下你的理由么？由于函数的图象是连续不断的，并且端点函数值异号，所以无论怎么画，函数图象一定会与x轴有交点，从而说明函数怎么样？一定有零点！这样，我们就得到了判断函数是否有零点的方法，即函数零点存在性定理：2、零点存在定理若函数y=f（x）的图象在区间a,b上是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。即：存在实数c属于（a，b），使得f（c）=0，其中c为方程f（x）=0的根。现在我有一个问题：若函数满足在a,b上有f(a)f(b)0,一定能推出（a,b）之间有零点吗？（思考）如果可以请说明理由，不能的话请同学们举

7、个反例.在这个反例中，f(a)0，f(0)=0.5我们来看，这个定理是我们通过结合函数图象探究而得的，而至于它的严格证明，需要到大学阶段再去研究。这样，我们通过引入函数的零点，将方程与函数建立起了联系，并且为我们提供了一种新的解决方程问题的途径。此前我们学习过的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是对于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常没有求根公式。而通过函数零点存在性定理，就可以去研究这样一般形式方程根的问题了。【例】求函数的零点个数.【解析】因为所以在之间有零点，又因为函数f(x)在上是单调递增的，所以这个函数只有一个零点. 根据零点存在定理，我们知道函数是否有零点，但是如

8、果我们想知道零点的值怎么办呢？接下来，我们要学习一个新的求根方法-二分法.3、 二分法（求根的近似值）我们就以上面的例子来研究，即如何求的零点呢？一个最直观的想法就是：如果我们把零点存在的范围尽量缩小，那么在一定的精确范围内，我们就可以得到零点的近似值.那我们如何缩小范围呢？显然最简单、最可行的方法就是“取中点”.接下来，我们解答上面的例子来看看二分法是如何运用的.【解析】应用零点存在定理，我们知道了在之间有一个零点. 接下来我们要用“取中点”的方法缩小零点存在的范围.取的中点2.5，用计算器计算，而，那么，所以在之间有零点，即缩小了零点所在的范围.再取区间的中点2.75，用计算器计算，而，即

9、：，所以在之间有零点.我们可以看出零点存在的范围越来越小了，如果一直取下去，零点存在的范围会越来越小，这样，在一定的精确度下，我们就可以在有限次重复步骤之后，将所得的零点存在的区间内任意一点作为函数零点的近似值.我们把上面例题缩小区间的过程画在表格中：如果当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.00781250.01,所以我们可以将2.532作为函数的零点近似值，也即方程的近似根.通过这道例题，我们总结一下使用二分法求近似根（给定精确度）的步骤：1、 确定区间a,b，验证，给定精确度；2、 求区间；3、 计算 （1） （2）； （3）4、判断是否达到精确度：即若，则零点的近似值是a(或b）；否 则重复2-4步.【课堂练习】1、 借助计算器，用二分法求方程在区间（2,3）的近似解.（精确到0.01）2、 借助计算器，用二分法求函数在区间（2,3）内的零点.（精确到0.1）【作业】-