2022年泛函分析部分知识点汇总 .pdf

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1、度量空间： 把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。一、度量空间的进一步例子1、度量空间设 x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素 x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1的充要条件为 x=y 2对任意的 z 都成立，则称 d(x,y) 是x,y 之间的距离，称d(x,y)为度量空间或距离空间。x 中的元素称为点。2、常见的度量空间（1）离散的度量空间设 x 是任意的非空集

2、合，对x 中的任意两点，令称为离散的度量空间。（2）序列空间 S 令 S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令称为序列空间。（3）有界函数空间B(A）设 A 是一个给定的集合，令B(A) 表示 A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点 x,y ，定义（4）可测函数空间设 M(X) 为 X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数及由于，所以这是 X 上的可积函数。令（5）Ca,b空间令 Ca,b 表示闭区间 a,b上实值（或复值）连续函数全体，对Ca,b中任意两点 x,y，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设

3、是（X，d）中点列，如果存在，使则称点列是（X，d） 中的收敛点列， x 是点列的极限。收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。( ,)0,( ,)0d x yd x y( ,)( , )( , )d x yd x zd y z,x yX1,( , )0,if xyd x yif xy(,)X d1212(,.,.),(,.,.),nnxy1|1( , )2 1 |iiiiiid x y( ,)S d( , )sup| ( )( ) |tAd x yx ty t()m X( )f

4、t( )g t|( )( )|11 |( )( )|f tg tf tg t|( )( )|(,)1 |( )( )|Xf tg td f gdtf tg t( ,)max | ( )( ) |a tbd x yx ty tnxxXlim(, )0nnd xxnxnx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为中的点列，即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是依坐标收敛于（

5、2）序列空间 S中：为 S中的点列，（3）Ca,b空间设及 X 分别为 Ca,b 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X) 设及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设 X 是度量空间， E 和 M 是 X 中的两个子集，令表示 M 的闭包，如果，那么称集 M 在集 E 中稠密。等价定义：如果 E 中任何一点 x 的任何邻域都含有集M 中的点，就称 M 在 E 中稠密。对任一，有 M 中的点列，使得（2）当 E=X 时，称集 M 为 X 的一个稠密子集。（3）如果 X 有一个可数的稠密子集时，称X 为可分空间。三、连续映射1、度量空间中的连续性设 X=(X,d) ，Y

6、=（Y，d） 是两个度量空间， T 是 X 到 Y 中的映射 , 如果对于任意给定，存在，使对 X 中一切满足的 x，成立则称 T 在连续。我们也可以用集显来定义映射的连续性连续性的极限定义设 T 是度量空间 (X,d)到（Y，d） 中的映射，那么 T 在连续的充要条件为当时，必有2、连续映射如果映射 T 在 X 的每一点都连续，则称T 是 X 上的连续映射。称集合为集合 M 在映射 T 下的原像。定理：度量空间 X 到 Y 的映射 T 是 X 上的连续映射的充要条件为Y 中任意开集 M的原像是 X 中的开集。nR()()()12(,.,),1,2,.,mmmmnxm12(,.,)nnxR()

7、lim(, )0, () 1mmiimd xxminmxmx()()()12(,.,.),1,2,.,mmmmnxm12(,.,.)nxS()lim(, )0() ,mmiimd xxmnx(, )max |( )( ) |nna t bd xxxtx tlim(, )0 , nnnd xxxa bx在上一致收敛于nflim(,)0( )nnnd ffftf(t)EMxEnx()nxx n0,xX000( ,)d x x0(,)d Tx Tx0 x0,xX0()nxxn0()nTxTxn|,x xX TxMY1TM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

8、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 四、柯西点列和完备度量空间1、柯西点列设 X=(X,d)是度量空间，是 X 中点列， 如果对任何事先给定的，存在正整数，使当 n，mN 时，必有则称是 X 中的柯西点列或基本点列。总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。2、完备的度量空间如果度量空间 (X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称 (X,d)是完备的度量空间。子空间完备性定理完备度量空间 X 的子空间

9、M，是完备空间的充要条件是：M 是 X 中的闭子空间。五、度量空间的完备化1、等距同构映射设(X,d) ，是两个度量空间，如果存在X 到的保距映射T ，即，则称 (X,d) 和等距同构，此时T 称为 X 到上的等距同构映射。六、压缩映射原理及其应用作为完备度量空间概念的应用， 我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点1、压缩映射设 X 是度量空间， T 是 X 到 X 中的映射，如果存在一个数a ，0a1,使得对所有的 x,y 属于 X，成立则称 T 是压缩映射。

10、几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a 倍的映射。2、不动点设 X 为一个集合，T 是 X 到 X 的一个映射，如果， 使得，则称 x* 为映射 T 的不动点。3、压缩映射定理设 X 是完备的度量空间， T 是 X 上的压缩映射，那么 T 有且只有一个不动点。注意：a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依赖于 X 的完备性。压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列必有nx0( )NN(,)nmd xxnx(, ),X dX(,)( , )d Tx Tyd x y(, ),X dX(,)( , )d Tx Tyd x y*xX*T

11、xx0()nxx n0()nTxTx n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 八、 赋范线性空间和巴拿赫空间1、赋范线性空间设 X 是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量，有一个确定的实数，记为与之对应，并且满足 ：1且等价于 x=0 2其中a 为任意实（或复）数；3则称为向量 x 的范数，称 X 按范数成为赋范线性空间。注：范数类似于普通向量的长度2、关于极限的定义（依范数收敛）设是 X 中一点列，如果存在，使则称

12、依范数收敛于x ，记为或3、赋范线性空间的性质1赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。如果令可以验证的 d（x，y） 是 X 上的距离。依范数收敛于x 等价于按距离收敛于 x 称 d（x，y）为由范数导出的距离。度量和线性结构之间的协调性：2范数是 x 的连续函数。4、巴拿赫空间及常用例子完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。（1）欧式空间，对每个，定义欧式空间按上述范数成 Banach空间。（2）空间，对每个，定义空间Ca，b 按上述范数成Banach 空间。（3）空间，对每个，定义空间按上述范数成Banach 空间。xXx0 x0 xxx,xyxyx yXxnxxX|0()nxxnnx

13、()nxx nlimnnxx( ,)|, ( ,),d x yxyx yXnxnx|x(,0)( , )(,0)| ( ,0)d xyd x ydxd x|xnR12(,.,)nnxR221|nxnR , xC a b| max | ( )|a tbxx tl12(,.)xl| sup|jjxl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第八章有界线性算子和连续线性泛函一、有界线性算子和连续线性泛函1、线性算子和线性泛函的定

14、义.或 复是 实T则称,子集 时是数域的TR当.TR记作,的 值值T称 为TDT,的定 义定T称 为TD其中,中的 线的 线性Y到TD是从T则称T y,T xyxT成立,及数X,yx,Y,TD:T,的 线线性子空X是TD,的线线性空或 复是 两两个同 为Y和X设的线性泛函2、有界线性算子和连续线性泛函.有界 线界线性有界 线界线性泛函是特,地特.线性算子称为为无,否则.中的有界 线的有界Y到TD是T则称,TDx,xcT x使得成立c,如果存在常数,是线线性算YTD:T,是两两个赋范线性空Y和X设别3、相关定理连续有界的充分必要条件是则是线性算子设TTT,定理1.,子空间中的闭是是上连续的充分必

15、要条件在那么上的线性泛函是设XfNXfXf定理24、有界线性算子的范数（算子范数）.,.sup,:,0TDxxTTxTTDTxTxTYXTDTYXTDxx则有时当显见上的范数在为算子称是线性算子是两个赋范线性空间设二、有界线性算子空间和共轭空间1、有界线性算子全体所成空间XY设 X 和 Y 是两个赋泛线性空间，以表示由 X 到 Y 中有界线性算子全体。当A 和 B 属于XY， a 是所讨论数域中的数，定义XY中加法运算及数乘运算如下,xXAB xAxBxA xAx定理 1：当 Y 是巴拿赫空间，XY也是巴拿赫空间二、共轭空间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

16、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 1、共轭空间的定义一般，设 X 是赋范线性空间，如果X 中定义了两个向量的乘积，并且满足, ,xyxy x yX则称 X 是赋范代数，当 X 完备时，则称 X 的共轭空间定理 2：任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间2、保距算子，同构映射的定义设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 到 Y 中的线性映射，并且对所有xX有Txx，则称 T 是 X 到 Y 中的的保距算子， 如果 T 又是映射到 Y 上的则称 T 是同构映射，此时 X 与 Y 同构。.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -