高等数学课件（完整版）详细ppt.ppt

《高等数学课件（完整版）详细ppt.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件（完整版）详细ppt.ppt（222页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、问题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2二、级数的概念二、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 当当n无限增大时无限增大

2、时, ,如果级数如果级数 1nnu的部分和的部分和数列数列ns有极限有极限s, , 即即 ssnn lim 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛, ,这时极限这时极限s叫做级数叫做级数 1nnu的和的和. .并并写成写成 321uuus如果如果ns没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散. .即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误差为误差为nr)0lim( nnr无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定

3、一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn

4、 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan

5、,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim n

6、snnn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛三、基本性质三、基本性质性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. .性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, ,则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. .结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收

7、收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性性质质 4 4 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛于于原原来来的的和和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例如例

8、如 1111推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散, ,则则原原来来级级数数也也发发散散. . 收敛收敛 发散发散四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级级数数收收敛敛. 0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋于零趋于零它的一般项它的一般项无限增大时无限增大时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.

9、.?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例如调和级数例如调和级数讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级数发散级数发散)(210 n便有便有.这是不可能的这是不可能的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项 项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .五、小结五、小结1 1. .由由

10、定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法思考题思考题 设设 1nnb与与 1nnc都都收收敛敛，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收敛敛？思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,则则 51nna= =_；2 2、 若若nnnna! , ,则则 51nna= =_；3 3、 若级数为若级数为

11、 642422xxxx则则 na_；4 4、 若级数为若级数为 97535432aaaa则则 na_；5 5、 若级数为若级数为 615413211 则当则当 n_时时 na_；当；当 n_时时 na_；6 6、 等比级数等比级数 0nnaq, ,当当_时收敛；当时收敛；当_时发散时发散 . .练习题练习题三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性. .四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、 nn10121201411

12、0121 . .五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 61514131211的敛散性的敛散性 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. .三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、发散、发散、 nkknks12)10121( . .五、发散五、发散. .

13、取取np2 观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪

14、花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形一、正项级数及其审敛法一

15、、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. . nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .ns且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收敛收敛, ,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. .证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列有界即部分和

16、数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu3.比较审敛法比较审敛法nvvv 21nns 则则)()2( nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv推推论论: : 若若 1nnu收收敛敛( (发发散散) )且且)(nnnnvkuNnkuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 例例 1 1 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则

17、则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法

18、的极限形式: :设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.设设 1nnu为为正正项项级

19、级数数, ,如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散; ;如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,则则级级数数 1nnu收收敛敛. .5 5. .极极限限审审敛敛法法：例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.6 6. .比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝

20、贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )：设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明证明,为有限数时为有限数时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛, 1 取取, 1 r使使,时时当当

21、Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的

22、收收敛敛性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn7.7.根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )：设设 1n

23、nu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim)( 为为数数或或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ;,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛级数收敛.1 时级数发散时级数发散; ; 1 时失效时失效. .二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,则级数收敛则级数收

24、敛, ,且其和且其和1us , ,其余项其余项nr的绝对值的绝对值1 nnur. .)0( nu其中其中证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是有界的是有界的数列数列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.例例 5 5 判判别别级

25、级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性. .解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛.三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显然显然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.上定理的作用：上

26、定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .例例 6 6 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性. .解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对

27、收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛? ?反反之之是是否否成成立立? ?思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.一、一、 填空题填空题: :1 1、 p级数当级数当

28、_时收敛时收敛, ,当当_时发散；时发散；2 2、若正项级数、若正项级数 1nnu的后项与前项之比值的根的后项与前项之比值的根 等于等于, , 则当则当_时级数收敛；时级数收敛；_时级数发散；时级数发散； _时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散 . .二、二、 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .练练 习习 题题三、三、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性用比值审敛法判别下列级数的收敛性: : 1 1、 nnn 232332232133322

29、；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性用根值审敛法判别下列级数的收敛性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六、六、 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛? ?如果是收敛的如果是收敛的, ,是绝对收是绝对收敛还是条件收敛敛还是条件收敛? ?1 1、 1113)1(nnnn；2 2、 5ln14ln13ln12ln1；3 3、 2ln)1(nnnn.

30、.七、若七、若nnun2lim存在存在, ,证明证明: :级数级数 1nnu收敛收敛 . .八、证明八、证明: :0!lim3 nnnanb. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、1, 1 pp； 2 2、1),lim( 1, 11 nnnuu或或. .二、二、1 1、发散；、发散； 2 2、发散、发散. .三、三、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛、收敛. .四、四、1 1、收敛；、收敛； 2 2、收敛、收敛. .五、五、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、 ., 1;, 10;, 1发散发散发散发散收敛收敛aaa六、六、1 1、绝对收敛；、绝对收敛； 2 2、条件收

31、敛；、条件收敛； 3 3、条件收敛、条件收敛. .一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .,120 xxxnn例如级数例如级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果Ix 0, ,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛, ,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全

32、体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收敛敛域域上上, ,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数)(xs, ,称称)(xs为为函函数数项项级级数数的

33、的和和函函数数. .(定义域是定义域是?),(xsn例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或二、幂级数及其收敛性二、幂级数及

34、其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发散域发散域定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx

35、处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛, ,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论xo R

36、R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收

37、敛区间收敛区间., 0 R),RR ,(RR .,RR 规定规定, R收敛区间收敛区间0 x;收收敛敛区区间间),( .问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(RR (1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, ,定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnn

38、xaxa11lim xaannn1lim ,x ,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值审敛法由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数;1 R收敛半径收敛半径, 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; R收敛半径收敛半径,)3( 如如果果

39、, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数)|01(0收收敛敛使使知知将将有有点点否否则则由由定定理理 nnnxax. 0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 故收敛区间是故收敛区间是1 , 1( .nnna limnn lim, , R级级

40、数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , oR 收收敛敛区区间间),( .;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.例例 3 3 求求幂幂级级数数 1122nnnx的的收收敛敛区区间间.解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔

41、判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为).2, 2( 三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半

42、径各为的收敛半径各为和和设设 (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :(1) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)

43、(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续.(2) 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)(3) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可导导, 并并可可逐逐项项求求导导任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变

44、收敛半径不变)例例 4 4 求求级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数.解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即例例 5 5 求求 12)1(nnnn的的和和.解解,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1), 1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nn

45、nn故故)21( s . 8 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 四、小结四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答

46、不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 一、一、 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间: :1 1、 )2(424222nxxxn；2 2、 nnxnxx125222222；3 3、 122212nnnxn；4 4、)0,0(1 babaxnnnn. .练练 习习 题题二二、 利利用用逐逐项项求求导导或或逐逐项项积积分分, ,求求下下列列级级数数的的和和函函数数: :1 1、 11nnnx；2 2、 125312

47、53nxxxxn. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、),( ； 2 2、21,21 ； 3 3、)2, 2( ； 4 4、),(cc , ,其中其中 0,max bac. .二、二、1 1、)11()1(12 xx； 2 2、)11(11ln21 xxx. .一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂

48、级数?证明证明即即内收敛于内收敛于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内具有任意阶导内具有任意阶导数数, , 且在且在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, ,即即 nnnxxaxf)()(00 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的

49、泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导, ,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定. 0, 00,)(21xxex

50、fx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麦氏级数为的麦氏级数为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).()(,0 xfxfs于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,定理定理 2 2 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)(