梁的横向振动ppt课件.ppt

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1、燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。以以y(x，t)表示梁的横向位表示梁的横向位移，它是截面位置移，它是截面位置x和时间和时间t的二元函数；以的二元函数；以f(x,t)表示作表示作用于梁上的单位长度的横向用于梁上的单位长度的横向力力。系统的参数：系统的参数：单位体积质量单位体积质量 (x)，横截面积，横截面积A(x)，弯，弯曲刚度

2、曲刚度EJ(x)，E为弹性模量，为弹性模量，J(x)为横截面对垂直于为横截面对垂直于x和和y轴且通过横截面形心轴的惯性矩。轴且通过横截面形心轴的惯性矩。3.4 3.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University假设假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。取

3、微段取微段dx，如图所示，如图所示，用用Q(x,t)表示剪切力，表示剪切力，M(x,t)表示弯矩。表示弯矩。在铅直在铅直y方向的运动方方向的运动方程为程为 22,dd,dy x tQx A xxQQxfx txtx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University上式简化为上式简化为 txfxQtyxAx,22略去略去dx的二次项，上式简化为的二次项，上式简化为xMQ代入运动微分方程得代入运动微分方程得 txfxMtyxAx,2222在整个区间在整个区间(0 x L)中，都满足上式关系。中，都满足上式关系。忽略截面转动的

4、影响，微段的忽略截面转动的影响，微段的转动方程为转动方程为02dd),(dddxxtxfxxxQQMxxMM燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式 22,xtxyxEJtxM梁横向振动的偏微分方程梁横向振动的偏微分方程 txfxtxyxEJxttxyxAx,222222该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。 txf

5、xMtyxAx,2222燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University若若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程，即为梁自由振动的偏微分方程 0,222222xx,tyxEJxttxyxAx上述方程的解对空间上述方程的解对空间和时间是分离的，令和时间是分离的，令 tFxYtxy, 2222222dddd1dd1xxYxEJxxYxAxttFtF 0dddddd222222tFxxYxEJxttFxYxAx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan Un

6、iversity同前面讨论的波动方程一样，同前面讨论的波动方程一样，可得关于时间可得关于时间t的微分方程为的微分方程为 0dd222tFttF上述方程的通解为简谐函数上述方程的通解为简谐函数式中式中A和和B为积分常数，由两个初始条件确定。为积分常数，由两个初始条件确定。 tCtBtAtFsincossin同样可以得关于空间变量同样可以得关于空间变量x的微分方程为的微分方程为)0(Lx 0)()()(d)(d)(dd22222xYxAxxxYxEJx通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。振型函数振型函数Y(x)必须满足相应的边界条件。必须满足相应

7、的边界条件。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University常见的边界条件常见的边界条件(1)固定端：位移和转角等于零，即固定端：位移和转角等于零，即(2)铰支端铰支端：位移和弯矩等于零，即位移和弯矩等于零，即,0,0y x,ty x tx(x=0 或 x=L) 22,0,0y x ty x tEJxx (x=0 或 x=L) (3)自由端：弯矩和剪力等于零，即自由端：弯矩和剪力等于零，即 22220,0y x,ty x,tEJ xEJ xxxx(x=0 或 x=L)对位移和转角的限制属于几何边界条件；对位移和转角的限

8、制属于几何边界条件； 对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。其它边界条件：其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。如端点有弹簧支承或有集中质量等等。用位移用位移二元二元函数函数y(x,t)表示的边界表示的边界条件！条件！燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University用振型函用振型函数数Y(x)表表示的边界示的边界条件！条件！(1)固定端：位移和转角等于零，即固定端：位移和转角等于零，即 d0,0dYxYxx(x=0 或或 x=L)(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即铰支端：位移

9、和弯矩等于零，即 22d0,0dYxYxEJxx(x=0 或或 x=L)(3)自由端自由端：弯矩和剪力等于零，即弯矩和剪力等于零，即 2222ddd0,0dddY xY xEJ xEJ xxxx(x=0 或或 x=L)用振型函数表示的边界条件用振型函数表示的边界条件 将方程将方程 代入上述各边界条件，则边代入上述各边界条件，则边界条件可以用振型函数表示。界条件可以用振型函数表示。 tFxYtxy,燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University该方程为四阶该方程为四阶常系数线性常常系数线性常微分方程。微分方程。 若单位

10、体积质量若单位体积质量 (x)= =常数，横截面积常数，横截面积A(x)=A=常数，横截常数，横截面对中心主轴的惯性矩面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。常数。 sxxYe代入振型微分方程，得特征方程代入振型微分方程，得特征方程044s424d( )( )0dY xEJAY xx 0)()()(d)(d)(dd22222xYxAxxxYxEJx振型方程可以简化为振型方程可以简化为设其解为设其解为EJA24式中式中 0dd444xYxxY振型方程的简化振型方程的简化燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University四个

11、特征根为四个特征根为1,23,4,iss xxxxDDDDxYi4i321eeeexxxshchexxxsinicosei因为因为 xCxCxCxCxYchshcossin4321将上述解改写为将上述解改写为这就是梁横向振动的振型函数，其中这就是梁横向振动的振型函数，其中C1，C2，C3，C4为为积分常数，可以用四个边界条件来确定其中三个积分常积分常数，可以用四个边界条件来确定其中三个积分常数数(或四个常数的相对比值或四个常数的相对比值)及导出特征方程，从而确定及导出特征方程，从而确定梁弯曲振动的固有频率梁弯曲振动的固有频率 和振型函数和振型函数Y(x)。振型微分方程振型微分方程 0dd444

12、xYxxY的通解的通解燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University注：常用的双曲函数公式有注：常用的双曲函数公式有xxxchshth 1shch22xx00sh 10ch xxxchshddxxxshchdd燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University等截面均质梁的固有振动为等截面均质梁的固有振动为1234( , )sincosshchsincosy x tCxCxCxCxAtBt或者写为或者写为1234( , )sincosshchs

13、iny x tCxCxCxCxt式中有式中有C1, C2, C3, C4, 和和 六个待定常数。因为梁每个六个待定常数。因为梁每个端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振动初始条件恰好可以决定六个未知数。动初始条件恰好可以决定六个未知数。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固有振型。有振型。1、简支梁、简支梁简支梁的边界条件为简支梁的边界条件为 2222d0d00

14、,0,0,0 ddYY LYY Lxx将第一组边界条件代入下式将第一组边界条件代入下式 12342222212342sincosshchdsincosshchdY xCxCxCxCxY xCxCxCxCxx 24222400CCCC042CC燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University1313sinsh0sinsh0CLCLCLCL两式相加，两式相加，2C3sh L=0。因为当因为当 L 0时，时，sh L 0，故得，故得C3=0。将第二组边界条件代入下式将第二组边界条件代入下式两式相减，两式相减，2C1sin L

15、=0。因求振动解，所以因求振动解，所以C1 0。特征方程：。特征方程：0sinL它的根为它的根为,rrLr21 由此得特征值为由此得特征值为,rLrr21 12342222212342sincosshchdsincosshchdY xCxCxCxCxY xCxCxCxCxx 042 CC燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University因为振型只确定系统中各点振幅的相对值，不能唯一因为振型只确定系统中各点振幅的相对值，不能唯一地确定幅值的大小，故其表达式无需带常数因子，则振地确定幅值的大小，故其表达式无需带常数因子，则振

16、型函数表为型函数表为 ,rxLrxYr21 sin2222 1 2rrEJrEJr, ,ALA固有频率为固有频率为因因EJA24相应的振型函数为相应的振型函数为 123411sincosshchsinsin 1,2,rrrrrrrrrrrrYxCxCxCxCxrCxCxrL2340CCC燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University2、固支梁、固支梁固支梁的边界条件为固支梁的边界条件为 d0d00,0,0,0ddYY LYY Lxx将第一组边界条件代入下式将第一组边界条件代入下式故有故有C2=-C4，C1=-C3 1

17、2341234sincosshchdcossinchshdY xCxCxCxCxY xCxCxCxCxxC2+C4=0，C1+C3=0燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University将第二组边界条件代入下式将第二组边界条件代入下式若上式对若上式对C3和和C4有非零解，它的系数行列式必须为零有非零解，它的系数行列式必须为零0sinshcoschcoschsinshLLLLLLlL 12341234sincosshchdcossinchshdY xCxCxCxCxY xCxCxCxCxxC2=-C4C1=-C33434sh

18、sinchcos0chcosshsin0LL CLL CLL CLL C2222chsh1sincos1LLLL简化后得特征方程简化后得特征方程1chcosLL燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University求特征方程求特征方程 的根的根1chcosLL =0是上式的一个解，对应于系统的静止状态，故舍去。是上式的一个解，对应于系统的静止状态，故舍去。应用数值解法求得这一超越方程最低几个特征根为应用数值解法求得这一超越方程最低几个特征根为固定梁的前几个特征根值对应于对应于r 2的各个特征根，特征根可近似地表示为的各个特征

19、根，特征根可近似地表示为1 2 3 42rLrr, , ,梁的固有频率为梁的固有频率为,rAEJrr321 2因因EJA24燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University xxCCxxCxYrrrrrsinshcosch434把把C1=- -C3和和C2=- -C4代入如下振型函数代入如下振型函数 xCxCxCxCxYchshcossin4321振型函数简化为振型函数简化为C3/C4由上述所建立的边界条件求出，即由下式求出由上述所建立的边界条件求出，即由下式求出3434shsinchcos0chcosshsin0LL

20、 CLL CLL CLL CLLLLLLLLCCrrrrrrrrrrcoschsinshsinshcosch43燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University整理得振型函数整理得振型函数 xxxxCxYrrrrrrsinshcosch4显然，常数显然，常数C4取不同的值并不影响振动形态，因此可取取不同的值并不影响振动形态，因此可取C4=1，振型函数为，振型函数为 xxxxxYrrrrrrsinshcosch燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan Univ

21、ersity振型函数及其各阶导数振型函数及其各阶导数 1234123422222123423333312343sincosshchdcossinchshddsincosshchddcossinchshdY xCxCxCxCxY xCxCxCxCxxY xCxCxCxCxxY xCxCxCxCxx 3、悬臂梁悬臂梁悬臂梁的边界条件为悬臂梁的边界条件为 2323d0dd00,0,0,0dddYY LY LYxxx将第一组边界条件代入上式，有将第一组边界条件代入上式，有C2+C4=0，C1+C3=0C2=-C4，C1=-C3燕山大学机械工程学院School of Mechanical Enginee

22、ring, Yanshan University这是关于这是关于C3和和C4的线性代数方程组，具有非零解的条件的线性代数方程组，具有非零解的条件为为0sinshcoschcoschsinshLLLLLLlL上式经展开并化简后得频率方程为上式经展开并化简后得频率方程为这就是悬臂梁弯曲振动的特征方程。这就是悬臂梁弯曲振动的特征方程。1chcosLL3434shsinchcos0chcosshsin0LL CLL CLL CLL C利用上式结果，并把第二组边界条件代入振型函数的第利用上式结果，并把第二组边界条件代入振型函数的第二阶和第三阶导数式，得二阶和第三阶导数式，得燕山大学机械工程学院Schoo

23、l of Mechanical Engineering, Yanshan University由数值法求特征方程的根。也可用作图法求出，将上由数值法求特征方程的根。也可用作图法求出，将上式改写成式改写成LLch1cos以以 L为横坐标，作为横坐标，作出出cos L和和- -1/ch L的的曲线。曲线的交点即曲线。曲线的交点即为为特征方程特征方程的根。的根。悬臂梁前几个特征根的值当当r 4时，时，各个特征方程的根可近似地表示为各个特征方程的根可近似地表示为,rrLr654 21燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan Universi

24、ty根据特征根，根据特征根，悬臂梁的固有悬臂梁的固有频率为频率为21,2,rrEJrA求得各个特征根后，由下式确定系数求得各个特征根后，由下式确定系数C3和和C4的比值的比值与与 r相相应的振型函数为相相应的振型函数为 xxxxxYrrrrrrsinshcosch3434shsinchcos0chcosshsin0LL CLL CLL CLL CLLLLLLLLCCrrrrrrrrrrcoschsinshsinshcosch43EJA24燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University前面讨论了等截面均质梁弯曲振动的三

25、种典型边界条前面讨论了等截面均质梁弯曲振动的三种典型边界条件的情形，常见的还有自由梁、固支件的情形，常见的还有自由梁、固支- -铰支梁和铰支铰支梁和铰支- -自自由梁，下面对其作简要的介绍。由梁，下面对其作简要的介绍。4、自由梁自由梁两端自由梁的频率方程为两端自由梁的频率方程为1chcosLL其特征根如表所示。其特征根如表所示。自由梁的前几个特征根值燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University表中的特征根可以近似表示为表中的特征根可以近似表示为,rrLr432 21注意注意：自由梁与固支梁有相同的弯曲振动固有频率，

26、：自由梁与固支梁有相同的弯曲振动固有频率，但是它们相应的振型函数却是不同的。但是它们相应的振型函数却是不同的。 xxxxxYrrrrrrsinshcosch振型函数为振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University5铰支铰支固支梁固支梁一端铰支一端固定梁的频率方程为一端铰支一端固定梁的频率方程为LLthtan其特征根如表所示其特征根如表所示铰支-固支梁的前几个特征根值,rrLr321 41特征根可以近似表示为特征根可以近似表示为 xLLxxYrrrrrsinsinshsh振型函数为振型函数为燕山大学机械工程学

27、院School of Mechanical Engineering, Yanshan University6、铰支、铰支-自由梁自由梁一端铰支一端自由梁的频率方程为一端铰支一端自由梁的频率方程为其特征根如表所示。其特征根如表所示。显然，显然， =0为梁横向振动的特征根，对应于定轴转动的为梁横向振动的特征根，对应于定轴转动的刚体振型。刚体振型。注意注意: :铰支铰支自由梁和铰支自由梁和铰支固支梁具有相同的弯曲固支梁具有相同的弯曲振动的固有频率，但其振型函数却不相同。振动的固有频率，但其振型函数却不相同。铰支-自由梁的前几个特征根值LLthtan,rrLr321 41特征根近似表示为特征根近似表示

28、为 xLLxxYrrrrrsinsinshsh振型函数为振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University关于简支梁、固支梁、悬臂梁、自由梁、铰支关于简支梁、固支梁、悬臂梁、自由梁、铰支固固支梁、铰支支梁、铰支-自由梁的前三阶振型函数如图所示。自由梁的前三阶振型函数如图所示。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University等截面简支梁等截面简支梁第一阶振型第一阶振型第四阶振型的动画演示第四阶振型的动画演示燕山大学机械工程学院School

29、 of Mechanical Engineering, Yanshan University等截面固支梁等截面固支梁第一阶振型第一阶振型第五阶振型的动画演示第五阶振型的动画演示燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University等截面悬臂梁等截面悬臂梁第一阶振型第一阶振型第四阶振型的动画演示第四阶振型的动画演示燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University等截面自由梁截面自由梁 第一阶振型第一阶振型第四阶振型的动画演示第四阶振型的动画演示燕山大学

30、机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University等强度悬臂梁等强度悬臂梁第一阶振型一阶振型第四阶振型的动画演示第四阶振型的动画演示燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University虽然从特征方程可得出无穷多个特征值及其振型函数，虽然从特征方程可得出无穷多个特征值及其振型函数，但应该指出，由于简单梁理论的局限性，高阶振型愈来但应该指出，由于简单梁理论的局限性，高阶振型愈来愈不正确。愈不正确。前面讨论了六种不同边界条件下的等截面均质梁弯曲前面讨论了六种不同边

31、界条件下的等截面均质梁弯曲振动的固有频率和振型函数。下表对比了这六种情形的振动的固有频率和振型函数。下表对比了这六种情形的固有频率、振型函数。固有频率、振型函数。这是因为节点数随着振型的增加而增加，所以节点间这是因为节点数随着振型的增加而增加，所以节点间的距离相应地就减小，梁单元剪切变形和转动惯量的影的距离相应地就减小，梁单元剪切变形和转动惯量的影响就愈加不能忽略了。响就愈加不能忽略了。 燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University等截面均质梁的弯曲振动等截面均质梁的弯曲振动 2323d000,0ddd0,0ddY

32、YxY LY Lxx自由梁自由梁振型函数振型函数1.875 4.694 7.8554.730 7.853 10.996(零频率除外零频率除外) 4.730 7.853 10.996 特征根特征根 r cosch=-1cosch=1cosch=1 特征方程特征方程边界条件边界条件悬臂梁悬臂梁固支梁固支梁固有频率固有频率通解通解运动方程运动方程y=y(x, t)横向位移横向位移, J截面惯性矩截面惯性矩, L梁长梁长, E弹性模量弹性模量, A横截面积横截面积, 单位体积质量单位体积质量 物理参数物理参数2222222,rrrrrEJaLLLA 114221234,sincossincosshch

33、,rrrrrrrrrrrrrrry x tyx tYxAtBtYxCxCxCxCxa2424224240,yyyyEJAEJaatxtxA d000,0dd0,0dYYxY LY Lx 23232323d0d00,0dddd0,0ddYYxxY LY Lxx1,r22rr1,r22rr1,r42rrchcosshsinrrrrrxxxxchcosshsinrrrrrxxxxchcosshsinrrrrrxxxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan Universitychcosshsinchcosshsin,shsinchcos

34、shsinchcosrrrrrrrrrrrrrrrrrr注注 ：振型函数振型函数3.927 7.069 10.210(零频率除外)3.927 7.069 10.210特征根特征根 r th= tanth=tansin=0 特征方程特征方程边界条件边界条件铰支铰支-自由梁自由梁铰支铰支-固支梁固支梁简支梁简支梁 2222d000,0dd0,0dYYxY LY Lx 2222d000,0dd0,0dYYxY LY Lx 222323d000,0ddLd0,0ddYYxYY LxxLxrsinxxrrrrsinsinshsh,1,2,rr1,1,2,4rrr1,1,2,4rrrxxrrrrsinsi

35、nshsh 等截面均质梁的弯曲振动等截面均质梁的弯曲振动(续续) 燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University例例1 等截面均质悬臂梁的自由端等截面均质悬臂梁的自由端加横向弹性支承，其弹簧刚度为加横向弹性支承，其弹簧刚度为k，如图所示。导出频率方程。如图所示。导出频率方程。解：取固支端作为坐标系解：取固支端作为坐标系Oxy的的原点。振型函数原点。振型函数由左固定端边界条件可得：由左固定端边界条件可得： C2=-C4，C1=-C3在弹性支承端，弯矩为零，剪力等在弹性支承端，弯矩为零，剪力等于弹性力。考虑到弹性力是恢复

36、力，于弹性力。考虑到弹性力是恢复力，并且其方向按截面剪力的正负号规定，并且其方向按截面剪力的正负号规定，那么当那么当Y(L)为正时，弹性力向下，作为正时，弹性力向下，作为剪力应取正号。为剪力应取正号。 xCxCxCxCxYchshcossin4321燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 2323dd0,ddx Lx LY xY xEJkY Lxx故弹性支承端的边界条件为故弹性支承端的边界条件为根据振型函数及其二、三阶导数根据振型函数及其二、三阶导数 1234123422222123423333312343s

37、incosshchdcossinchshddsincosshchddcossinchshdY xCxCxCxCxY xCxCxCxCxxY xCxCxCxCxxY xCxCxCxCxx C2=-C4，C1=-C3燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University0coschsinsh sinshcosch0coschsinsh433343CLLkLLEJCLLkLLEJCLLCLL上式是关于上式是关于C3、C4的线性代数方程组。该方程组具有非的线性代数方程组。该方程组具有非零解的条件为零解的条件为0sinshcoschc

38、oschcoschsinshsinsh23223LLLLkLLEJLLLLkLLEJ燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University化简后得化简后得0cosshsinchcosch13LLLLkLLEJ化简后得固有频率方程化简后得固有频率方程LLLLLLEJkcosshsinchcosch13注意到，当注意到，当k=0时，上式转化为时，上式转化为0cosch1L当当k时，频率方程简化为时，频率方程简化为悬臂梁的频率方程。悬臂梁的频率方程。0cosshsinchLLLLLLtanth这就是一端固定、一端铰支梁的弯曲振动频

39、率方程。这就是一端固定、一端铰支梁的弯曲振动频率方程。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University例例2 设在悬臂梁的自由端附加一集中质量设在悬臂梁的自由端附加一集中质量M，如图所示。，如图所示。试求其频率方程。试求其频率方程。解：取固支端作为坐标系解：取固支端作为坐标系Oxy的原的原点。假设附加质量可以视为质点。点。假设附加质量可以视为质点。在梁的在梁的x=L截面处弯矩为零，剪截面处弯矩为零，剪力等于质量力等于质量M的惯性力。在的惯性力。在L端的端的剪力向下为正，根据作用力与反作剪力向下为正，根据作用力与反作用力

40、定律，作用在集中质量用力定律，作用在集中质量M上的上的剪力向上为正；截面位移剪力向上为正；截面位移 y(x,t) 向向上为正，根据牛顿定律，集中质量上为正，根据牛顿定律，集中质量M的运动微分方程为的运动微分方程为22yMQt燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 23223dd0,ddYLYLEJMYLxx 梁附加质量端的边界条件用振型函数表示为梁附加质量端的边界条件用振型函数表示为2232232,0,y L tEJxy L ty L tEJMMy L txt 梁附加质量端的边界条件为梁附加质量端的边界条件为

41、燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 再考虑到再考虑到422LEJALEJM将其代入频率方程，可得将其代入频率方程，可得LLLLLLLcosshsinchcosch1由边界条件，可求得频率方程为由边界条件，可求得频率方程为LLLLLLEJMcosshsinchcosch132令令M/ AL= ， 的物理意义为附加质量与梁质量之比。的物理意义为附加质量与梁质量之比。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University例例3 如图示，一长度

42、为如图示，一长度为L的简支梁，受强度为的简支梁，受强度为w的均布载的均布载荷而产生挠曲。如果载荷移去，求梁的响应。荷而产生挠曲。如果载荷移去，求梁的响应。解：图示简支梁横向振动解：图示简支梁横向振动的固有频率与振型函数为的固有频率与振型函数为222 1 2rrEJr, ,LA sin 1,2,rrYxxrL简支梁横向自由振动的解表示为简支梁横向自由振动的解表示为1,sinsincosrrrrrr xy x tAtBtL式中式中Ar和和Br由初始条件确定。由初始条件确定。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University

43、0 02sind 2sindLrrLrr xAg xxLLr xBfxxLL由此得由此得设在设在t=0时，初时，初始挠度和初始始挠度和初始速度为速度为1,sinsincosrrrrrr xy x tAt BtLt=0 11,0sin,0sinrrrrrr xy xBfxLy xr xAg xtL燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University根据本题题意，当根据本题题意，当t=0时，初始位移为时，初始位移为 4332240 ,xLxxLEJwxfxy初始速度为初始速度为 00 ,xgtxy由此初始条件得由此初始条件得4

44、3345500221 cos(2)sind24rLrAwr xwLrBLxLxxxLEJLEJr燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University4514551,3,5,21 cos()sincos41sincosrrrrwLrr xy x,ttEJLwLr xtEJrL梁横向振动的响应为梁横向振动的响应为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University假设假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内作弯曲振梁各截面的中心轴在同一平面内，且在

45、此平面内作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯量和剪切变形的影动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。响；不考虑截面绕中心轴的转动。 微元受力如图所示。微元受力如图所示。考虑轴力影响时梁的弯曲振动考虑轴力影响时梁的弯曲振动 如图，梁承受平行于轴线的轴向力如图，梁承受平行于轴线的轴向力N的作用；假定轴向力的作用；假定轴向力N是是常量，大小与方向均不随时间和位置发生变化。常量，大小与方向均不随时间和位置发生变化。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University微段微段

46、dx受力：用受力：用Q(x,t)表示剪切力，表示剪切力，M(x,t)表表示弯矩。示弯矩。由图看出，轴力对梁由图看出，轴力对梁的横向平衡无影响。在的横向平衡无影响。在铅直铅直y方向的运动方程仍方向的运动方程仍然为然为 22,dd,dy x tQx A xxQQxfx txtx上式简化为上式简化为 txfxQtyxAx,22燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University略去略去dx的二次项，上式简化为的二次项，上式简化为MyQNxx运动微分方程运动微分方程 222222,yMyx A xNfx ttxx忽略截面转动的影响

47、，忽略截面转动的影响，微段转动方程为微段转动方程为dddd( , )d02MyQxMxMNdxQxxf x txxxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式 22,xtxyxEJtxM梁横向振动的偏微分方程梁横向振动的偏微分方程 22222222,y x ty x tyx A xEJ xNf x ttxxx该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。求解该方程，需

48、要四个边界条件和两个初始条件。 222222,yMyx A xNf x ttxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University若若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程，即为梁自由振动的偏微分方程上述方程的解对空间上述方程的解对空间和时间是分离的，令和时间是分离的，令 222222222ddd11dddddF tY xY xEJ xNF ttx A x Y xxxx tFxYtxy, 22222222dddd0ddddF tY xY xx A x Y xEJ xF tNF ttxxx 22222222,0y x

49、 ty x tyx A xEJ xNtxxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University同前面讨论的波动方程一样，同前面讨论的波动方程一样，可得关于时间可得关于时间t的微分方程为的微分方程为 0dd222tFttF上述方程的通解为简谐函数上述方程的通解为简谐函数式中式中A和和B为积分常数，由两个初始条件确定。为积分常数，由两个初始条件确定。 tCtBtAtFsincossin燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University若若 (x)= =

50、常数，横截面积常数，横截面积A(x)=A=常数，横截面对中心常数，横截面对中心主轴的惯性矩主轴的惯性矩J(x)=J=常数，振型方程简化为常数，振型方程简化为该方程是一个四阶常系数线性常微分方程。设其解为该方程是一个四阶常系数线性常微分方程。设其解为 sxxYe代入振型微分方程，得特征方程代入振型微分方程，得特征方程42240ss42242d( )d( )( )0ddY xY xEJNAY xxx 关于空间变量关于空间变量x的微分方程为的微分方程为2222222dd( )d( )( )( ) ( ) ( )0dddY xY xEJ xNx A x Y xxxx 242AE JNE J式中式中42