一维定态的一般性质自由粒子本征函数的规格化和箱归一化ppt课件.ppt

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1、2-6 一维定态的一般性质一维定态的一般性质 一维定态薛定谔方程为一维定态薛定谔方程为 222( )( )( )2dU xxExdx222( )2( )( )0dxEU xxdx 定理定理1 1：设：设 是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭 也是该方程的一个解，且与也是该方程的一个解，且与 对应同一能量本征值。对应同一能量本征值。 )(x)(*x)(x 证明：证明： 2222dUEdx上式两边取复共轭，且考虑到上式两边取复共轭，且考虑到 ，则则 UU*22*22dUEdx 定理得证。定理得证。 定理定理2 2：对于一维定态薛定谔方程，如果：对于一维定态薛

2、定谔方程，如果 和和 是对应是对应于同一个能量本征值的两个独立的解，则有于同一个能量本征值的两个独立的解，则有 1( )x2( )x1221( )( )( )( )xxxxc（与（与 无关的常数）无关的常数） x 证明：证明： 1122( )0EU x2222( )0EU x 上面两式两边分别乘以上面两式两边分别乘以 和和 ，然后相减，得，然后相减，得 2112210 12210ddx 1221c 定理得证。定理得证。 定理定理3 3：对于一维定态薛定谔方程，能级的简并度最大为：对于一维定态薛定谔方程，能级的简并度最大为2 2。 证明：证明： 设对于同一能量本征值，存在三个独立的波函数，则设对

3、于同一能量本征值，存在三个独立的波函数，则 12211c 13312c 2122111331()()0cc 1221322131()()0cccc 令令 ，则，则 2213cc110 1131c即即 312213ccc2112333cccc与假设矛盾。定理得证。与假设矛盾。定理得证。 定理定理4 4：对一维束缚定态，所有能级都不简并。：对一维束缚定态，所有能级都不简并。 证明：证明： 设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则 1221c 对束缚态：对束缚态： x12,0 所以所以 0c 121212112lnlnlnlncc112c两者代表同

4、一个量子态，因此能级不简并。两者代表同一个量子态，因此能级不简并。 定理得证。定理得证。 定理定理5 5：一维束缚态的本征函数可以是实数。：一维束缚态的本征函数可以是实数。 证明：证明： 由定理由定理1 1得，得， 和和 都是薛定谔方程的解。由定理都是薛定谔方程的解。由定理4 4得，它们得，它们最多相差一常数因子，即最多相差一常数因子，即 *c*取复共轭取复共轭 *c所以所以 21ciec 取取 ，则，则 0*即本征函数可以取实数。即本征函数可以取实数。 定理得证。定理得证。 *c c2c 定理定理6 6：设势能具有空间反演不变性，即：设势能具有空间反演不变性，即 。若。若 是是一维定态薛定谔

5、方程的一个解，则一维定态薛定谔方程的一个解，则 也一定是对应同一个能量也一定是对应同一个能量本征值的另一个解。本征值的另一个解。 )()(xUxU)(x)( x 证明：证明： 222( )( )( )2dU xxExdx222()()()2dUxxExdx222( )()()2dU xxExdx考虑到考虑到 ，得，得 )()(xUxU作代换作代换 ，则，则 xx定理得证。定理得证。 定理定理7 7：对于一维定态问题，假设势能具有空间反演不变性，：对于一维定态问题，假设势能具有空间反演不变性，则任一个属于能量本征值的束缚态都有确定的宇称。则任一个属于能量本征值的束缚态都有确定的宇称。 证明：证明

6、： 由定理由定理4 4和定理和定理6 6，得，得 )()(xcx作代换作代换 ，则，则 xx2( )()( )xcxcx21c 1c 1c )()(xx偶宇称；偶宇称； 1c ()( )xx 奇宇称。奇宇称。 定理得证。定理得证。 定理定理8 8：如图所示，在一维情况下，若：如图所示，在一维情况下，若 在在 点不连续，点不连续，且且 、 有限，则在有限，则在 点点 及及 仍连续。仍连续。 ( )U x0 x1U2U0 x 证明：证明： 001()(0)U xU xU002()(0)U xU xU22()0EU00 xxdx对上式作对上式作 运算，得运算，得 0000()()xxdxxx0022

7、()0 xxEUdx00()()xx0000()()0 xxdxxx00()()xx 第一项第一项 第二项第二项 所以所以 又因为又因为 所以所以 定理得证。定理得证。 2-7 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化自由粒子本征函数的规格化和箱归一化 一、自由粒子波函数的规格化一、自由粒子波函数的规格化二、本征函数的箱归一化二、本征函数的箱归一化2-7 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化自由粒子本征函数的规格化和箱归一化 自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即 。 ( )0U r 一、自由粒子波函数的规格化一、自由粒子波函数的规格化 1 1一维情况

8、一维情况 222( )( )2dxExdx22( )( )0Exx 0E 首先，讨论首先，讨论 的情况。的情况。2E 令令 ，则，则 2( )( )0 xx 1( )xxe2( )xxe方程的解方程的解故方程无解。故方程无解。（动能不能小于零）（动能不能小于零）显然，显然，0 x当当 时，时，0 x 当当 时，时，不能满足波函数有限性的要求；不能满足波函数有限性的要求；2不能满足波函数有限性的要求；不能满足波函数有限性的要求；12 Ek 令令 ，则，则 2( )( )0 xkx两个特解两个特解 1( )ikxxe2( )ikxxe0E 其次，讨论其次，讨论 的情况。的情况。 若若 的取值范围选

9、为从负无穷到正无穷，则两式统一成的取值范围选为从负无穷到正无穷，则两式统一成 kikxkcex )(它是能量的本征函数，相应的能量本征值为它是能量的本征函数，相应的能量本征值为 222kEk 由于由于 取值连续，所以能量本征值可以连续取值。除基态外能取值连续，所以能量本征值可以连续取值。除基态外能量本征值二度简并。量本征值二度简并。 kk显然，显然， 表示动量。表示动量。0k表示粒子向右运动；表示粒子向右运动；0k表示粒子向左运动。表示粒子向左运动。 由于由于 给出的不是平方可积的波函数，无法使用归一化条给出的不是平方可积的波函数，无法使用归一化条件，即件，即 ( )kx22kdxcdx )(

10、2)(exp)()(22*kkcdxxkkicdxxxkk 考虑到考虑到 通常情况下，要对无限扩展的平面波进行所谓的规格化，也就是将通常情况下，要对无限扩展的平面波进行所谓的规格化，也就是将其规格化为其规格化为 函数。于是，得到规格化常数函数。于是，得到规格化常数 12c规格化（规格化（“归一化归一化”）后的波函数为）后的波函数为 ikxkex21)(/21)(ipxpex 或或 容易验证，上式也是动量算符的本征函数。容易验证，上式也是动量算符的本征函数。 2 2三维情况三维情况 ),(),(22222222zyxEzyxzyxzyxEEEEzyxzyx)()()(),(32122112222

11、2222332( )( )2( )( )2( )( )2xyzdxExdxdxExdydzEzdz222222222222kkkkEzyxk)exp()2(1)(2/3rk irk或或 22ppErpirpexp)2(1)(2/3二、本征函数的箱归一化二、本征函数的箱归一化 1 1一维情况一维情况 在上述限制下，粒子是不可能处于箱外的，故箱外的波函数为在上述限制下，粒子是不可能处于箱外的，故箱外的波函数为零。零。 在箱内，设粒子动量或动能算符的本征函数仍为在箱内，设粒子动量或动能算符的本征函数仍为 /)(ipxpcex 因为粒子出现在箱的两端处的概率相同，所以因为粒子出现在箱的两端处的概率相同

12、，所以 )()(LLpp此即所谓此即所谓周期性条件周期性条件。 1/2Lipe有有 22cos1sin0pLpL 若限定粒子在若限定粒子在 的范围内运动，则它的波函数是归一化的。的范围内运动，则它的波函数是归一化的。当当L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。 ,LLpLn0, 1, 2,npnnL 2222222nnpEnL显然，动量和能量的本征值都是断续的。显然，动量和能量的本征值都是断续的。 显然，随着箱尺度的增大，能级的间距变小。当显然，随着箱尺度的增大，能级的间距变小。当 时，能时，能级的间距趋向于零，或者说能级变成连

13、续的，这正与自由粒子能量级的间距趋向于零，或者说能级变成连续的，这正与自由粒子能量本征值是连续的相吻合。本征值是连续的相吻合。 L 归一化归一化 LLppLcdxxxnn12)()(2*Lc2/1/21)(xippnneLx 自由粒子的能量本征函数在无穷远处不为零，这种状态称为非自由粒子的能量本征函数在无穷远处不为零，这种状态称为非束缚态。箱中的粒子的能量本征函数在无穷远处为零，这种状态称束缚态。箱中的粒子的能量本征函数在无穷远处为零，这种状态称为为束缚态束缚态。一般说来，。一般说来，连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态。 2 2三维情况三维情况 2222222()22xyzn n nxyzpEnnnL3/21( )exp(2 )nyzn n nnirprL, 2, 1, 0,zyxnnn