第01讲_二次函数的图象与性质(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲_二次函数的图象与性质知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数知识精讲一二次函数的概念1二次函数的定义：一般地，形如 （为常数，）的函数称为关于的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 2二次函数的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是三点剖析一考点：二次函数的概念二重难点：二次函数的概念三易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制题模精讲题模一：概念例1.1.1下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）Ay=3

2、x1By=ax2+bx+cCs=2t22t+1Dy=x2+【答案】C【解析】A、y=3x1是一次函数，故A错误；B、y=ax2+bx+c （a0）是二次函数，故B错误；C、s=2t22t+1是二次函数，故C正确；D、y=x2+不是二次函数，故D错误；例1.1.2若是二次函数，则的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据二次函数的定义可得且，解得，故答案为A选项例1.1.3若是二次函数，则的值是_【答案】【解析】由二次函数的定义可知例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1（a0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（）A-3B-1C2D5【答案】B【解析】二次函数y=ax2+bx-1

3、（a0）的图象经过点（1，1），a+b-1=1，a+b=2，1-a-b=1-（a+b）=1-2=-1故选：B随堂练习随练1.1已知函数，其中二次函数的个数为（ ）【答案】B【解析】本题考查的是二次函数概念，不符合二次函数解析式，符合二次函数解析式，有两个故选B随练1.2已知函数，当_时，它是二次函数【答案】【解析】本题考查的是二次函数概念是二次函数，或（舍去，因为此时二次项系数）故答案为随练1.3中考）抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=_【答案】-2 【解析】把点（1，2）和（-1，-6）分别代入y=ax2+bx+c（a0）得：，+得：2a+2c

4、=-4，则a+c=-2；故答案为：-2y=ax2的图象和性质知识精讲一的图象与性质的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三点剖析一考点：的图象与性质二重难点：1的图象与性质；2对于和，若，则和的函数图像是全等的三易错点：开口大小由决定，越大，开口越小题模精讲题模一：y=ax2的图象和性质例2.1.1若二次函数y=ax2的图象经过点P（-2，4），则该图象必经过点（）A（2，4）B（-2，-4）C（-4，2）D（4，-2）【答案】A【解析】二次函数y=ax2的对称轴为y轴，若图象经过

5、点P（-2，4），则该图象必经过点（2，4）故选A例2.1.2若二次函数有最大值，则_【答案】【解析】二次函数有最大值，则开口向下，得出例2.1.3在同一直角坐标系下，画出二次函数，和的图象【答案】【解析】由描点法画出函数图像例2.1.4已知，点，都在函数的图象上，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，因为对称轴为轴，且开口向上，所以，故答案为C选项随堂练习随练2.1已知二次函数经过点，点也在该二次函数图像上，且，则点的坐标为（ ）ABCD【答案】A【解析】由二次函数的对称性可知点随练2.2若二次函数有最小值，则_【答案】【解析】二次函数有最小值，则开口向上，得出随练2.3在同一坐标系

6、中画出二次函数，的函数图像【答案】【解析】有描点法画出函数图像y=a（x-h）2+k的图象和性质知识精讲一（）的图像和性质（）是二次函数的顶点式，其中为其顶点坐标，为其对称轴一般式配成顶点式的方法：的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值二（）图像的平移变换函数的图象可以看做是由函数的图象先向左或向右平移个单位，再向上或向下平移个单位得到的；当时，向右平移，当时，向左平移；时，向上平移，时，向下平移平移原则：左加右减，上加下减例如：将向左或右平移个单位变为，向右平移个单位变为；向上或下平

7、移个单位后变为，先向左平移个单位再向下平移个单位后变为三点剖析一考点：的图像和性质，图像的平移变换二重难点：的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则三易错点：1在判断图像的增减性时一定要先确定开口方向；2左右平移是针对，上下平移是针对题模精讲题模一：y=a（x-h）2+k的图象和性质例3.1.1抛物线的顶点坐标是（ ）ABCD【答案】A【解析】该题考查的是二次函数二次函数顶点式：，顶点坐标为，本题中，顶点坐标，故答案是A例3.1.2将二次函数化成形式，则结果为（ ）ABC3D【答案】D【解析】该题考查的是配方法，故答案选D例3.1.3已知二次函数的图象上有三点，则、的大小关系为（ ）AB

8、CD【答案】A【解析】该题考查的是二次函数性质二次函数的解析式，二次函数的对称轴为，根据二次函数解析式可知，当时，y随x的增大而减小，故选A题模二：y=a（x-h）2+k平移变换例3.2.1抛物线是由抛物线平移得到的，下列对于抛物线的平移过程叙述正确的是（ ）A先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D先向左平移2个单位，再向下平移1个单位【答案】A【解析】该题考查的是二次函数图象的几何变换因为函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数；然后再沿x轴向右平移2个

9、单位长度，可得新函数故选A随堂练习随练3.1已知抛物线，下列说法正确的是（ ）A开口向下，顶点坐标B开口向上，顶点坐标C开口向下，顶点坐标D开口向上，顶点坐标【答案】A【解析】由的性质可知，开口向下，顶点为随练3.2将二次函数化成的形式，结果为（ ）ABCD【答案】C【解析】该题考查的是二次函数一般式与顶点式的转换通过配方，可得故选C随练3.3设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy3y1y2【答案】A【解析】函数的解析式是y=-（x+1）2+a，如右图，对称轴是x

10、=-1，点A关于对称轴的点A是（0，y1），那么点A、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1y2y3故选A随练3.4抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ）A向左平移1个单位，再向下平移2个单位B向右平移1个单位，再向下平移2个单位C向左平移1个单位，再向上平移2个单位D向右平移1个单位，再向上平移2个单位【答案】D【解析】该题考查的是二次函数图像平移二次函数的平移法则是：左右平移变动的是x，如将左平移m个单位，即可得到，右平移m个单位，即可得到， 上下平移变动的是y，如将上平移m个单位，即可得到，下平移m个单位，即可得到总结为：左加右减在括号，上加下减在末梢，本

11、题中，经过向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，故答案是D随练3.5在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）ABCD【答案】C【解析】该题考查的是二次函数的基本性质当抛物线不动，而把坐标轴平移时，相当于抛物线向反方向平移，故把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，相当于把抛物线向下、向左平移两个单位，抛物线向下平移两个单位变为，再向左平移两个单位变为：，故选Cy=a2+bx+c的图象和性质知识精讲一的图象及性质：的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下时，随的

12、增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值二二次函数图象的画法：1五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点三点剖析一考点：的图象和性质二重难点：的图象和性质，参数对图像的影响三易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像题模精讲题模一：y=a2+bx+c的图象和性质例4.1.1已知二次函数y=（xh）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1x3的情况下，与其对应的函数值

13、y的最小值为5，则h的值为（ ）A1或5B1或5C1或3D1或3【答案】B【解析】当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小，若h1x3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1h）2+1=5，解得：h=1或h=3（舍）；若1x3h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）综上，h的值为1或5例4.1.2点P1（1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y2y1By3y1=y2Cy1y2y3Dy1=y2y3【答案】D【解析】y=x2+2x+c，对称轴为x=1，

14、P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，35，y2y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2y3，例4.1.3二次函数y=（x1）2+5，当mxn且mn0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）AB2CD【答案】D【解析】二次函数y=（x1）2+5的大致图象如下：当m0xn1时，当x=m时y取最小值，即2m=（m1）2+5，解得：m=2当x=n时y取最大值，即2n=（n1）2+5，解得：n=2或n=2（均不合题意，舍去）；当当m0x1n时，当x=m时y取最小值，即2m=（m1）2+5，解得：m=2当

15、x=1时y取最大值，即2n=（11）2+5，解得：n=，所以m+n=2+=例4.1.4阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若，求二次函数的最大值他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论他的解答过程如下：二次函数的对称轴为直线，由对称性可知，和时的函数值相等若，则时，y的最大值为2；若，则时，y的最大值为请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当时，二次函数的最大值为_；（2）若，求二次函数的最大值；（3）若时，二次函数的最大值为31，则t的值为_【答案】（1）49（2）17或（3）1或【解析】该题考查二次函数的最值（1）抛物线的对称轴为直线当时，二次函数的最

16、大值为：（2）二次函数的对称轴为直线，由对称性可知，和时函数值相等.若，则时，的最大值为17. 若，则时，的最大值为.（3）时，最大值为：，整理得，解得（舍去），时，最大值为：整理得，解得，（舍去）所以t的值为1或题模二：参数对图象的影响例4.2.1已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：b0，c0；a+b+c0；方程的两根之和大于0；ab+c0，其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴x0，且抛物线与y轴交于正半轴，b0，c0，故错误；由图象知，当x=1时，y0，即a+b+c0，故正确，令方程ax2+bx+c

17、=0的两根为x1、x2，由对称轴x0，可知0，即x1+x20，故正确；由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：1x0，当x=1时，y=ab+c0，故正确例4.2.2一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】C【解析】A、由抛物线可知，a0，由直线可知，故本选项错误；B、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0故本选项错误例4.2.3二次

18、函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围【答案】【解析】由图像可知，且满足 ，解得的取值范围是随堂练习随练4.1若，为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为抛物线对称轴为，所以，三点到对称轴的距离分别为，因为开口向上，所以，故答案为B选项随练4.2y=x2+（1-a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1x3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）Aa-5Ba5Ca=3Da3【答案】B【解析】第一种情况：当二次函数的对称轴不在1x3内时，此时，对称轴一定在1x3的右边，函数方能在这个区域取得最大值，x=3，即a7，第二种情况：当对称轴在1

19、x3内时，对称轴一定是在区间1x3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即：x=，即a5（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）综合上所述a5故选B随练4.3二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1，有以下结论：abc0；4acb2；2a+b=0；ab+c2其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线x=1，b=2a0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以正确；抛物线与x轴有2个交点，=b24ac0，所以正确；b=2a，2ab=0，所以错误；x=1时，y0

20、，ab+c0，所以正确随练4.4在同一直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图像可能是（ ）AA图BB图CC图DD图【答案】D【解析】该题考查的是函数的图象本题考虑和两种情况：当时，一次函数图象斜率为正且纵截距为正，二次函数图象开口向下且当时与坐标轴交于y轴下方，没有符合要求的图象；当时，一次函数图象斜率为负且纵截距为负，二次函数图象开口向上且当时与坐标轴交于y轴下方，只有D图符合所以该题的答案是D随练4.5如图，二次函数的图象经过点对称轴为直线，下列5个结论：；其中正确的结论_（注：只填写正确结论的序号）【答案】【解析】该题考察的是二次函数图象与系数的关系抛物线开口向上，抛物线对称轴为直

21、线，则，所以错误；，抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以错误；时，即，所以正确；，即，所以正确；时，函数最大小，所以错误故答案是随练4.6已知函数（）的图象，如图所示求证：【答案】见解析【解析】，由图像可知，故，即自我总结 课后作业作业1下列函数是二次函数的是（ ）ABCD【答案】C【解析】由二次函数的概念可知为二次函数作业2二次函数的函数值是，那么对应的的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得，解得或，故答案为D选项作业3已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？【答案】【解析】根据二次函数定义，只要满足且即可，解得作业4已知二次函数经过点，点与点关于轴对称，则点（ ）A在图像上B不在图像

22、上C不确定是否在图像上D以上说法都不对【答案】A【解析】由二次函数的对称性可知点在的图像上作业5已知点，都在函数的图像上，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由二次函数的对称性和增减性可知作业6若二次函数有最大值，则有_值（填最大或最小），且为_【答案】最大；【解析】由二次函数的最值可得出结论作业7在同一直角坐标系中画出二次函数，的图像，并简单说明图像之间的规律【答案】【解析】和的图像关于坐标原点或者轴对称，和的图像关于坐标原点或者轴对称，且越大，开口越小作业8对于的图象下列叙述错误的是（ ）A顶点坐标为B对称轴为C当时y随x增大而减小D函数有最大值为2【答案】D【解析】该题考查的是二次函数的性

23、质该二次函数的图象开口向上，只有最小值，故D选项叙述错误故本题选D作业9抛物线的顶点坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】由顶点坐标可知，答案为作业10若二次函数配方后为，则、的值分别为（ ）A8、1B8、1C6、1D6、1【答案】B【解析】该题考查的是配方法，因此，故选B作业11已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点【答案】【解析】由题意可得，所以，显然这两个函数没有交点作业12将抛物线向_平移_个单位，再向_平移_个单位，就能得到抛物线【答案】左；3；下；5【解析】该题考查的是二次函数图像性质对于一般的，图像向右平移n个单位，则x变为，图像向左平移n个单位，则

24、x变为，图像向上平移n个单位，则c变为，图像向下平移n个单位，则c变为由题可知，抛物线原顶点为，平移后顶点为，因此，是向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的作业13已知抛物线（1）用配方法将化成的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式【答案】（1）（2）【解析】该题考查二次函数的性质解：（1）（2）抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线的顶点坐标为.平移后所得抛物线的解析式为作业14已知二次函数的图象过点若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为二次函数经过点，所以对称轴，因为还过点，所以抛物线开口向上，因

25、为，所以，因为和的函数值相等，且，所以，所以，故答案为B选项作业15二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为B，与轴交于点C（1）求的值及点B、点C的坐标；（2）直接写出当时，x的取值范围；（3）直接写出当时，的取值范围【答案】（1）3；，（2）（3）【解析】该题考查的是二次函数综合（1）依题意得：. 1分. 抛物线与x轴的另一交点B, 2分与y轴交点C. 3分（2）当时，. 4分（3）当时，5分作业16设，（1）当取任意实数时，恒为非负数，求的取值范围；（2）当时，的值恒为非负数，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）因为开口向上，所以由得（2）对称轴，分三种情况讨论：当，即

26、时，解得，此时不成立；当，即时，解得，所以；当，即时，解得，所以，综上可得作业17在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）AA图BB图CC图DD图【答案】C【解析】该题考查的是函数的图象本题共分成4种情况：当，时，一次函数图象斜率为正且纵截距为正，二次函数图象开口向上且最低点大于0；没有符合的图象当，时，一次函数图象斜率为负且纵截距为负，二次函数的开口向下且最高点小于0；没有符合的图象当，时，一次函数图象斜率为正且纵截距为负，二次函数的开口向下且最高点大于0；没有符合的图象当，时，一次函数图象斜率为负且纵截距为正，二次函数的开口向上且最低点小于0；只有C图符合所以该题的答案是C作业18小明从二次函数的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：；你认为其中正确的信息是（ ）OxyA B C D【答案】D【解析】该题考查的是二次函数的基本性质根据图像可知抛物线与y轴的交点可知，故正确；抛物线开口向上可知，对称轴在x轴正半轴， ，可知故正确；当时，可知，当时，故正确；抛物线的对称轴是 ，即，故错误，由排除法可知A、B、C均错误，答案选D作业19已知抛物线的一段图象如图所示（1）确定、的符号；（2）求的取值范围【答案】（）（2）【解析】（1）由抛物线开口向上可得，因为对称轴，所以，因为抛物线与轴负半轴相交，所以；（2）抛物线过点，即，故，23