第03讲_二次函数的应用(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲_二次函数的应用知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数的应用知识精讲一二次函数求解实际问题中的最值问题设二次函数，自变量在没有限制条件时：当时，；无最大值；当时，；无最小值当自变量有限制时，要分类讨论，利用二次函数的增减性判断相应范围上的最值问题二二次函数的实际应用 1二次函数与面积问题；2二次函数与经济问题；3二次函数与拱桥问题；4二次函数与其它问题三点剖析一考点：二次函数的应用二重难点：找准等量关系，建立正确的函数关系式，然后利用二次函数的最值来求解实际问题中的最值问题三易错点： 1利用二次函

2、数解决实际问题中的最值问题时一定要注意自变量的取值范围，最值不一定都在顶点处取到，也可能在自变量的端点处取到；2利用二次函数解决拱桥问题或者其它与二次函数图像直接相关的问题时，要选择合适的点作为坐标原点建立坐标系，然后再设出二次函数的解析式；3实际应用问题必须注意结果是否符合实际意义题模精讲题模一：面积问题例1.1.1学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）设矩形的一边AB的长为x米（要求），矩形ABCD 的面积为S平方米（1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？【答案】（1

3、）（2）9米【解析】该题考查的是二次函数的应用（1）四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，（米），矩形除AD边外的三边总长为36米，（米）1分 3分，则有，自变量的取值范围是 4分（2），且在的范围内，当时，S取最大值即AB边的长为9米时，花圃的面积最大5分题模二：经济问题例1.2.1某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均

4、每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）（2）（3）对称轴；时，最大为1600【解析】该题考察二次函数的应用（1）由题意，有，即；（2）由题意，有，即；（3）抛物线开口向下，在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，由题意可知，当时，w最大值为1600题模三：拱桥问题例1.3.1如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经

5、过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）问：此船能否顺利通过这座拱桥？【答案】（1）（2）能【解析】该题考察二次函数在实际生活中的应用（1）设抛物线的解析式为，因为抛物线关于y轴对称，.所以点B的横坐标为10，设点B ，点D ，由题意，解得，（2）由题意知此时，将此代入上式中得，所以该船能够正常通过题模四：其他问题例1.4.1经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20x220时，车流

6、速度v是车流密度x的一次函数（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度车流密度求大桥上车流量y的最大值【答案】（1）48（2）70x120（3）4840【解析】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得，解得：，当20x220时，v=-x+88，当x=100时，v=-100+88=48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70x120应控制大桥上的车流密度在7

7、0x120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当0x20时y=80x，k=800，y随x的增大而增大，x=20时，y最大=1600；当20x220时y=（-x+88）x=-（x-110）2+4840，当x=110时，y最大=484048401600，当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值时4840辆/小时例1.4.2施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为米，宽度为米现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶

8、宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上点在地面线上（如图2所示）为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下【答案】（1）（2）； 解之得：； 所以不能（3）当时，最大为【解析】（1）可设二次函数的解析式为，由图像可得、，利用待定系数法求得，因此二次函数的解析式为；（2）令； 解之得：，； 所以不能；（3）设；则有：所以当时，最大为随堂练习随练1.1张大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形设边的长为米矩形的面积为平方米（1）求与

9、之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值【答案】（1）（2）当时有最大值【解析】（1），则，；（2），故当时有最大值随练1.2某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多

10、少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】（1）y=-x2+24x+3200（2）每台冰箱应降价200元（3）每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元【解析】（1）根据题意，得y=（2400-2000-x）（8+4），即y=-x2+24x+3200；（2分）（2）由题意，得-x2+24x+3200=4800整理，得x2-300x+20000=0（4分）解这个方程，得x1=100，x2=200（5分）要使百姓得到实惠，取x=200元每台冰箱应降价200元；（6分）（3）对于y=-x2+24x+3200=-（x-150）2+5000，当x=150时，

11、（8分）y最大值=5000（元）所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元（10分）随练1.3某公司生产一种产品，每件成本为元，售价为元，年销售量为万件为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告通过市场调查发现：每年投入的广告费用为（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的倍；同时又是的二次函数，相互关系如下表：（1）求与的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润（十万元）与广告费（十万元）的函数关系式；（3）如果一年投入的广告费为万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【答案】（1）（2）（3）万元

12、之间【解析】（1）设二次函数解析式为（），根据表格中数据可得，解得，所以；（2）；（3），因为，所以当时，随的增大而增大，故当年广告费为万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大随练1.4如图所示，有一座抛物线拱桥，桥下面在正常水位AB时，水面宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时02m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？【答案】（1）（2）5小时【解析】该题考查的是二次函数的应用题（1）设所求抛物线的解析式为依题意，则， 2分解得， 3分抛物线的解析式为 4分（2），警戒线比

13、水面AB高3m故警戒线到桥面高度为1m（小时） 5分答：再持续5小时到达拱桥顶 6分随练1.5如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部米时，水面宽为米，如图建立直角坐标系（1）求抛物线的函数解析式；（2）当水位上升米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中）【答案】（1）（2）米【解析】（1）设所求抛物线方程为，将代入得，因此；（2）所求水面宽应为当时所对应的两个值之间的距离，即，解得，因此随练1.6科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之

14、后来的游客较少可忽略不计（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟？【答案】（1）y=（2）57分钟【解析】（1）由图象可知，300=a302，解得a=，n=700，b（3090）2+700=300，解得b=，y=，（2）由题意（x90）2+700=684，解得x=78，=15，15+30+（9078）=57分钟所以，馆外游客最多等待57分钟随练1.7一男生在校运会的比

15、赛中推铅球，铅球的行进高度与水平距离之间的关系用如图所示的二次函数图象表示（铅球从点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）（1）由已知图象上的三点，求与之间的函数关系式；（2）求出铅球被推出的距离；（3）若铅球到达的最大高度的位置为点，落地点为，求四边形的面积 【答案】（1）（2）（3）点；【解析】（1）设，因为抛物线经过点，所以，解得，所以；（2）令得，解得，（舍去），所以铅球被推出米；（3）因为点为抛物线顶点，所以，所以四边形的面积为自我总结 课后作业作业1将一根长为厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r和R，面积分别为S1和S2（1）求R与r的数量关系式，并写出

16、r的取值范围；（2）记，求S关于r的函数关系式，并求出S的最小值【答案】（1）（2）32【解析】该题考查二次函数的应用(1)由题意，有，则，即r与R的关系式为，r的取值范围是厘米；，1.2.当厘米时，S有最小值32平方厘米作业2某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克设每千克这种水果涨价元时，市场每天销售这种水果所获利润为元若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？最多盈利多少元？【答案】每千克这种水果涨价7.

17、5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6125元【解析】该题考查的是列一元二次方程解应用题因为每千克水果涨价x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元，y是关于x的函数由题意得：2分 所以，当时，y取得最大值，最大值为61255分答：不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6125元作业3已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如左图所示（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义（2）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如右图所示，该经销商拟每日售出以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计

18、进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大【答案】（1）图表示批发量不少于且不多于的这种水果，可按元批发，图表示批发量高于的该种水果，可按元批发（2）经销商应批发这种水果，日销售量定位元，当日可获得最大利润元【解析】（1）根据图像，图表示批发量不少于且不多于的这种水果，可按元批发，图表示批发量高于的该种水果，可按元批发；（2）设日销售量为，零售价为元，由图像可知满足，将、代入得到，因此零售价，销售利润，因此当时，此时，即经销商应批发这种水果，日销售量定位元，当日可获得最大利润元作业4有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为米，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，如图所示，把它的图形放在直角坐标系

19、中（1）求这条抛物线所对应的函数关系式（2）如图，在对称轴右边处，桥洞离桥面的高是多少？【答案】（1）（2）米【解析】（1）设，由题意得、在抛物线上，利用待定系数法求得，因此抛物线所对应的函数解析式为；（2）当时代入抛物线方程得，即桥洞离水面的距离是作业5小强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；（2）请求出球飞行的最大水平距离；（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式【答案】（1）开口

20、向下；顶点坐标；对称轴（2）米（3）【解析】（1）开口向下，所以顶点坐标为，对称轴为；（2）令，解得（舍去），所以球飞行的最大水平距离是米；（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为米，所以抛物线的对称轴为，顶点为，设此时抛物线的解析式为，因为点在此抛物线上，所以，解得，所以作业6如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？2.5m4m3.5m3.05mxyO【答案】（1）（2）米【解析】该题考查的是二次函数基本性质（1）篮球的运行轨迹是抛物线，建立如图所示的坐标系因为顶点是 ，所以设二次函数的解析式为，又篮圈所在位置为，代入解析式得，得，；所以函数解析式为；（2）设球的起始位置为，则即球在离地面2.25米高的位置，所以运动员跳离地面的高度为即球出手时，运动员跳离地面的高度为0.2米14