第02讲 全等综合（二）(学生版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 全等综合（二）知识图谱错题回顾顾题回顾全等综合（二）知识精讲一平行四边形1平行四边形的性质（1）边的性质：对边平行且相等如下图：，（2）角的性质：平行四边形的对角相等如下图：，（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分如下图：，2平行四边形的判定（1）与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是

2、平行四边形二矩形1矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）对角线相等（3）是轴对称图形，对称轴是边的垂直平分线2矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形3直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半三菱形1菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直

3、线2菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形3面积问题：如下图：四正方形1正方形的性质（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角；（2）正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质；（3）正方形是轴对称图形，对称轴有4条2正方形的判定（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形3弦图模型：如图1，Rt

4、DCERtCAF；如图2，RtBAERtCBF三点剖析一考点：1平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质；2四边形与三角形全等的结合二重难点：1解题过程中辅助线的构造三易错点：1正方形、矩形、菱形性质与判定的区别一考点：1平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质；2四边形与三角形全等的结合题模精讲题模一：全等与四边形综合例1.1.1（1）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是边BC、CD上的点，且求证：；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、CD上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且

5、，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明例1.1.2在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0,2），点E是线段OB过延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作，垂足为M，交的平分线于点N（1）写出点C的坐标；（2）求证：MD=MN；（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：FM的长度不变；MN平分，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明例1.1.3如图，在菱形ABCD中，ABC=60，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF（1）如图1，当E是线段AC的

6、中点，且AB=2时，求ABC的面积；（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由例1.1.4如图，四边形、均为正方形，（1）如图1，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形绕点顺时针旋转角（），如图2，连接、相交于点，连接，当角发生变化时，的度数是否发生变化？若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由（3）在（2）的条件下，过点作交的延长线于点，请直接写出线段与的数量关系：例1.1.5在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点（1）在图1中

7、证明；（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，分别连结、（如图3），求的度数随堂练习随练1.1在中，的平分线交直线BC与点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，分别连接DB、DG（如图3），求的度数随练1.2图1和图2中的正方形ABCD和四边形AEFG都是正方形（1）如图1，连接DE，BG，M为线段BG的中点，连接AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG，M为线段BG的中点，连结AM，探究AM与DE的数

8、量关系和位置关系，并证明你的结论随练1.3如图所示，请在图中画出物体AB在平面镜中所成的像随练1.4如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当 CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将CEF沿EF折叠，连接BM，BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长随练1.5ABC中，BAC=90，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右

9、侧作正方形ADEF，连接CF（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为：BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长随练1.6如图1、2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PEAD（或延长线）于E，作PFDC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2

10、，四边形ABFE的面积为y，AP=x，求y关于x的函数表达式；（2）结论：GBEF对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：FGCPFB随练1.7（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足，联结AE、BF交于点H请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD求证：；图3图2图1自我总结 课后作业作业1已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过

11、E点作交于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图绕B点逆时针旋转，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）作业2已知，在中，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF=BC-CD（2）如图2，当点D在线段BC的延长线时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关

12、系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究的形状，并说明理由作业3如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC的中点（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中

13、的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由作业4我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由（1）思路梳理AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线根据_，易证AFG_，得EF=BE+DF（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45若B、D都不是直角，则当B与D满足等量关系_时

14、，仍有EF=BE+DF（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程作业5已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：AF=DE；AFDE成立试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论，是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程

15、，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论作业6某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在APK、ADK、DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问

16、题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值作业7在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由11