第03讲_探索与表达规律(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲_探索与表达规律知识图谱错题回顾顾题回顾定义新运算知识精讲一定义新运算近几年的中考题中出现了一类“定义新运算”型的题目，这类题目以加、减、乘、除、乘方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律，其实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和计算能力解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算注意：解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按

2、照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算三点剖析一考点：新定义运算二重难点：新定义运算三易错点：新定义运算题模精讲题模一：定义新运算例1.1.1我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码和），它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数应为：按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是_【答案】【解析】略例1.1.2现规定一种运算：，其中a，b为有理数，则3*5的值为（ ）A11B12C13D14【答案】C【解析】该题考查代数式求值将,代入上式得, 故答案选C例1.1.3定义新运算如下：当时，当时，则_，若，则_.【答案】；0【解析】该题考查的是定义新运算由已

3、知，对于，若，则，即，解得，这与矛盾，舍弃；若，则，即，满足题意，例1.1.4在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文，现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个字母（不论大小写）按顺序依次对应，这个自然数，见以下表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526现给出一个公式：当时，若不能被整除，则；若能被整除，则将明文字母对应的数字x按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为g，则有，所以明文字母g对应的密文字母为d（1）按照上述规

4、定，将明文good译成的密文是什么？写出你的计算过程；（2）按照上述规定，请你写出由密文字母得到明文字母x的公式；（3）按照（2）中得到的公式，密文gawqj所代表的明文单词是什么？（直接写出结果）【答案】（1）dhho；（2）若，则；若，则；（3）maths【解析】当时，若x为奇数，则对应的必然不超过13；若x为偶数，则对应的必然大于13，因此在将密文翻译成明文时，需要看蜜文所对应的数字与13的大小关系，即“明文看奇偶，密文比十三”随堂练习随练1.1我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码和的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数换算成十进制数应为：按此方式，则将十进制

5、数换算成二进制数应为_【答案】 【解析】略随练1.2用“”定义新运算：对于任意实数a、b，都有，例如，当m为实数时，的值是（ ）A25BC5D26【答案】D【解析】该题考察的是定义新运算根据题中的新定义得：，则故答案是D随练1.3定义一种新运算：观察下列式：13=14+3=7 3（1）=341=11 54=54+4=24 4（3）=443=13（1）请你想一想：ab=；（2）若ab，那么abba（填入“=”或“”）（3）若a（2b）=4，请计算 （ab）（2a+b）的值【答案】（1）4a+b，（2），（3）6【解析】（1）13=14+3=7，3（1）=341=11，54=54+4=24，4（3

6、）=443=13，ab=4a+b；（2）ab=4a+b，ba=4b+a，（4a+b）（4b+a）=3a3b=3（ab），ab，3（ab）0，即（4a+b）（4b+a）0，abba；（3）a（2b）=4a2b=4，2ab=2，（ab）（2a+b）=4（ab）+（2a+b）=4a4b+2a+b，=6a3b，=3（2ab）=32=6随练1.4符号f表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：（1），（2），利用以上规律计算_【答案】2【解析】该题考查的是规律题根据（1）可知，根据（2）可知，故与整式相关的找规律知识精讲一找规律规律探究类的问题是近几年中考题中出现的创新性题目，考查从特殊到一般的认识水平

7、、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题三点剖析一考点：数字类、图形类找规律二重难点：数字类、图形类找规律三易错点： 1数字类规律是等差数列时，第项计算错误题模精讲题模一：数字类例2.1.1观

8、察下列各式： 猜想：_【答案】【解析】略例2.1.2观察下列各数：1，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）ABCD【答案】C【解析】观察该组数发现：1，第n个数为，当n=6时，=例2.1.3有一列式子，按一定规律排列成,（1）当a=1时，其中三个相邻数的和是63，则位于这三个数中间的数是_；（2）上列式子中第n个式子为_（n为正整数）【答案】（1）（2）【解析】该题考查的是找规律（1）当时，则，则，即，所以，解得，故答案为；（2）第一个式子：，第二个式子：，第三个式子：第四个式子：则第n个式子为：例2.1.4对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则例如，若，依此规律进行下去，得到一

9、列数，（为正整数），则_，_【答案】2；4705【解析】该题考查的是找规律， ，这一列数按照除外，按照4、2、1三个数一循环，题模二：图形类例2.2.1如图，图是一块边长为1，周长记为的正三角形纸板，沿图的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图，记第块纸板的周长为，则_ 【答案】【解析】例2.2.2如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律则第（6）个

10、图形中面积为1的正方形的个数为（ ）A20B27C35D40【答案】B【解析】第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+（n+1）=个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个例2.2.3小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，那么第9个图案的棋子数是枚【答案】13【解析】设第n个图形有an个旗子，观察，发现规律：a1=1，a2

11、=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）当n=4时，a9=34+1=13随堂练习随练2.1如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的矩形如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：【答案】【解析】借助图形，不难发现随练2.2观察下列一组数：，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是【答案】【解析】分子为1，2，3，4，5，第10个数的分子为10，分母为3，5，7，9，11，第10个数的分母为：1+210=21，第10

12、个数为：，随练2.3一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式【答案】92+102+902=912【解析】12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，第9个等式为：92+102+（910）2=（910+1）2，即92+102+902=912随练2.4观察下列一组图形，其中图形中共有2颗星，图形中共有6颗星，图形中共有11颗星，图形中共有17颗星，按此规律，图形中星星的颗数是（）A43B45C51D53【答案】C【解析

13、】设图形n中星星的颗数是an（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，an=2+令n=8，则a8=2+=51随练2.5观察下面两行数第一行：4，16，36，第二行：6，18，38，则第二行中的第6个数是_；第n个数是_【答案】；【解析】本题考查的是找规律由于第一行第n个数是，第二行每个数是第一行相应位置上的数加2，那么第二行第n个数是第二行第6个数是随练2.6右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D请你按图中箭头所指方向（即ABCDCBABC的方式）从A开始数连续的正整数：1，2，3，4，当数到12时，对应

14、的字母是_；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是_；当字母C第次出现时（n为正整数），恰好数到的数是_（用含n的代数式表示）【答案】B；603；【解析】不难发现，字母的出现规律是ABCDCB，循环下去因此数到12时，对应的字母是B；每个循环中出现2个字母C，因此当字母C第201次出现时，数到的数字应该是；当字母C第次出现时（n为正整数），数到的数字应该是随练2.7中考）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是_【答案】3n+4 【解析】此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后

15、一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+32-1个；第3个图形共有三角形5+33-1个；第4个图形共有三角形5+34-1个；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+32-1个；第3个图形共有三角形5+33-1个；第4个图形共有三角形5+34-1个；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；故答案为：3n+4随练2.8某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树

16、种植在点处，其中，当时，表示非负实数a的整数部分，例如，。按此方案，第6棵树种植点为_；第2011棵树种植点为_。【答案】2；403【解析】该题考察的是找规律，当时，当时，故答案是2；403自我总结 课后作业作业1定义运算：ab=a（1b）下面给出了关于这种运算的几种结论：2（2）=6，ab=ba，若a+b=0，则（aa）+（bb）=2ab，若ab=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意得：2（2）=2（1+2）=6，选项正确；ab=a（1b）=aab，ba=b（1a）=bab，不一定相等，选项错误；（aa）+（bb）=a（1a）+b（1b）=a+b

17、a2b2=a+b（a+b）2+2ab=2ab，选项正确；若ab=a（1b）=0，则a=0或b=1，选项正确作业2若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是=1，1的差倒数为=，现已知x1=，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，依此类推，则x2015=_【答案】【解析】由已知可得，x1=，x2=，x3=4，x4=，可知每三个一个循环，20153=6712，故x2015=作业3符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，利用以上运算的规律写出_ (n为正整数)；_【答案】；5151【解析】该题考查的是抽象思维由已知的一系列等式，归纳总结表示出；由得出的，分

18、别令，2，3，100，代入所求式子中，约分后计算，即可得到结果由题意总结得： 故答案为：；5151作业4定义一种对正整数n的“F运算”：当n为奇数时，结果为；当n为偶数时，结果为（其中k是使得为奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取，则：，若，则第2次“F运算”的结果是_；若，则第2013次“F运算”的结果是_【答案】1；4【解析】本题考察的是定义新运算第一次运算，因为2是偶数，用的是第个公式计算，即，第二次运算，因为所的的数1是奇数，用的是第个公式计算，及，用上面计算方法可知：，所以从第5次开始，是2循环的数列，所以第2013次的得数和第5次的是一样的，结果是4作业5从1开始得到如下的一列

19、数：1，2，4，8，16，22，24，28，其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（）A21B22C23D99【答案】A【解析】由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，由此可知，每4个数一组，后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的个数为：21个，作业6观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式【答案】（1）5=5（2）n=n【解析】观察等式与图形之间的

20、关系我们可以看出等式左边式子是通过矩形面积公式求阴影部分面积的，而右边式子是通过整体面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，利用此关系，可以得到答案为：（1）5=5（2）n=n作业7已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（）A8048个B4024个C2012个D1066个【答案】B【解析】本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n

21、为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n，根据此规律求解即可第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，依此类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，所以，第2012个图形中直角三角形的个数是22012=4024故选B作业8观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第5个图中共有点的个数是_A31B46C51D66【答案】B【解析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律

22、，利用规律解决问题由图可知：其中第1个图中共有1+13=4个点，第2个图中共有1+13+23=10个点，第3个图中共有1+13+23+33=19个点，由此规律得出第n个图有1+13+23+33+3n个点第1个图中共有1+13=4个点，第2个图中共有1+13+23=10个点，第3个图中共有1+13+23+33=19个点，第n个图有1+13+23+33+3n个点所以第5个图中共有点的个数是1+13+23+33+43+53=46故选：B作业9如图所示，圆圈内分别标有1，2，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n，则电子跳蚤连续跳（）步作

23、为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳步到达标有数字6的圆圈，依此规律，若电子跳蚤从开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为_；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为_第12题图【答案】10；6【解析】该题考查的是找规律仔细观察发现：第一次跳步到数字2；第二次跳步到达标有数字6的圆圈；第三次跳步到达标有数字10的圆圈，第四次跳步到达标有数字2的圆圈，发现每三次一循环，第2012次跳到的圆圈内所标的数字与第2次相同为6故答案分别为10和6作业10由于，所以我们通常把称为符号系数（1）观察下列单项式：，按此规律，第五个单项式

24、是_，第n个单项式是_（2）计算：（3）请你根据（2）式写出一个档n为偶数时值为1，当n为奇数时值为0的式子【答案】（1）（2）n为奇数时，n为偶数时（3）【解析】该题考查的是找规律（1） ，所以第5个单项式是，第n个多项式是（2）当n为奇数时：当n为偶数时：（3）作业11如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推（1）填写下表：层数123456该层对应的点数所有层的总点数（2）写出第n层所对应的点数；（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗；（4）有没有一层，它的点数为100点；（5）写出n层的六边形点阵的总点数【答案】（

25、1）如表：层数123456该层对应的点数1612182430所有层的总点数1719376191（2）n（3）17（4）100（5）3n23n+1【解析】（1）如表：层数123456该层对应的点数1612182430所有层的总点数1719376191（2）第n层所对应的点数为n；（3）第n层有（6n6）个点，则有6n6=96，解得n=17，即在第17层；（4）6n6=100解得n=，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点；（5）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，1+16+26+36+（n1）6=1+61+2+3+4+（n1）=1+6=1+3n（n1）第n层六边形的点阵的总点数为：1+3n（n1）=3n23n+118