第09讲 圆（二）(学生版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第09讲 圆（二）知识图谱错题回顾顾题回顾圆（2）知识精讲知识精讲一圆的相关概念与性质1圆的相关概念（1）圆的概念描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径；集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（2）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆（3）弦与弧的相关概念：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；

2、直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍；弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形（4）圆心角与圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧；圆心角的度数和它所对的弧的度数相等2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径

3、平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等3圆周角定理（1）圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半（2）圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形注意：推论

4、3不可以直接利用，需要证明二与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系设的半径为，点到圆心的距离为，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内2直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与相离；直线与相切；直线与相交3圆与圆的位置关系设两个圆为、，半径分别为、，且，与间距离为，则有和与相离；与相切；与相交；与内切；与内含三圆中有关的计算1弧长与面积问题（1）弧长公式：圆的周长：；弧长公式：（其中，为弧长，为此弧所对圆心角度数，为半径）（2）扇形面积公式：圆的面积公式：；扇形面积公式：（为扇形圆心角度数值，为半径）2圆锥相关计算（1）圆锥的侧面积： ；（2）圆锥的全面积：；（3）圆锥的高、底面半径、

5、母线之间的关系：；（4）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有方法点拨一切线的证明方法思路一：证明直线与圆有且只有一个公共点思路二：若已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长（）等于半径（）思路三：若已知直线与圆的公共点，则连接这点与圆心的半径，证明此半径垂直于直线二切线长1切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫这点到圆的切线长2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角如图，由可得：，即：是的平分线三扇形与圆锥问题此类问题的关键是抓住扇形与圆锥“量”的关系，即扇形弧长等

6、于圆锥底面圆周长，扇形面积等于圆锥侧面积，扇形半径等于圆锥母线长度，大胆设未知数建立方程即可求解四圆与新定义此类属于中考压轴题，比较综合，难度较大，与其他新定义题目比较起来，圆的新定义问题在求最值和参数范围的时候更难讨论一些，但是同样可以参照其他新定义题目的做法，紧抓定义，围绕定义作答，取特殊状态找到参数的范围两个临界值，在此介绍一下圆的方程，利用代数方法可在时间紧迫下求解：1设圆心为，坐标为，半径为，则此圆的方程为（即圆上任意一点坐标代入次方程均满足方程成立）；2平面直角坐标系中常见结论：（1），；（2），；（3）说明：这里面为直线与轴正半轴夹角，当夹角为锐角时，我们正常取正值，当夹角为钝角

7、时，我们取；（4）两点间距离公式：三点剖析一考点：圆的相关概念与性质；与圆有关的位置关系；圆中有关的计算；与圆有关的新定义问题二重难点：垂径定理与圆周角定理；切线的性质与判定；扇形与圆锥相关计算三易错点：1圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2题目中没有明确某一条弦所对弧为劣弧或优弧时，需要进行分类讨论；3同圆、等圆、同心圆的联系与区别题模精讲题模一：与圆有关的位置关系例1.1.1在平面直角坐标系中，如果是以原点为圆心，以为半径的圆，那么点（ ）A在内B在外C在上D不能确定例1.1.29（3分）（2015六合区一模）如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（3，0）出发沿x轴向右平移

8、，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y=x的图象相切时，点A的坐标变为（）A（2，0）B（，0）或（，0）C（，0）D（2，0）或（2，0）例1.1.3如图，已知O1的半径为1cm，O2的半径为2cm，将O1，O2放置在直线l上，如果O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A6cmB3cmC2cmD0.5cm例1.1.4如图，已知直线交于、两点，为的直径，为上一点，且平分，过点作于（1）求证：是的切线；（2）若，求长题模二：圆中的有关计算例1.2.1如图，在中，分别以、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）A BCD例1.2.2如图，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角

9、形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是_例1.2.3如图，等边ABC内接于O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CMBP交PA的延长线于点M（1）填空：APC=_度，BPC=_度；（2）求证：ACMBCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积随堂练习随练1.1在RtABC中，CP、CM分别是AB上的高和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）A点P，M均在圆A内B点P、M均在圆A外C点P在圆A内，点M在圆A外D点P在圆A外，点M在圆A内随练1.2如图，圆与圆之间不同

10、的位置关系有（）A2种B3种C4种D5种随练1.3如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点，过点D作O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）ABCD2随练1.4已知如图，以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF（1）求证：EF是O的切线；（2）若O的半径为3，EAC=60，求AD的长随练1.5如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx2过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点

11、M（1）若a=1，求m和b的值；（2）求的值；（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由随练1.6如图，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷如果AO=65cm，CO=15cm，当AC绕点O旋转90时，则刮雨刷AC扫过的面积为_cm2随练1.7如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（）AB2CD随练1.8如图，ABC中，A=30，AB=AC，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E（1）求ABD的度数；（2）当BC=时，求线段AE，AD与围成阴影部分的面积自我总结 课后作业作业1

12、已知矩形ABCD的边，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在B内，且至少有一点在B外，则B的半径r的取值范围是（ ）ABCD作业2如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=-1，则ABC的周长为（）A4+2B6C2+2D4作业3如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为（）ArBrC2rDr作业4如图，已知内接于，为的切线，作交于，连结并延长交于，求证：作业5如图，直径为的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）ABCD作业6如图，在等腰RtABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）ABC2D2作业7如图，是等边三角形，分别以，为圆心，以为半径作弧，则图中阴影部分的面积是 11