第01讲 动态几何（一）(学生版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 动态几何（一）知识图谱错题回顾顾题回顾动态几何（一）知识精讲一与函数结合动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系那么，我们一般用以下几种方法建立函数：（1）应用勾股定理建立函数解析式；（2）应用比例式建立函数解析式；（3）应用求图形面积的方法建立函数关系式二动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（

2、特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值动态几何常见的题型有三大类：（1）点动问题；（2）线动问题；（3）面动问题解决动态几何问题的常见方法有：（1）特殊探路，一般推证；（2）动手实践，操作确认；（3）建立联系，计算说明动态几何习题的共性：1代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查；四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数；2以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值三双动点问题 点动、线

3、动、形动构成的问题称之为动态几何问题它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点常以双动点为载体，探求函数图象问题、探求结论开放性问题、探求存在性问题、探求函数最值问题 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型这类试题信息量大，对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中

4、取静,静中求动三点剖析一考点：1三角形、四边形与函数综合问题；2三角形、四边形中的动点问题二重难点：1三角形、四边形与函数综合问题；2三角形、四边形中的动点问题1三角形、四边形与函数综合问题；2三角形、四边形中的动点问题题模精讲题模一：三角形与动点问题例1.1.1如图1，在ABC中，ACB=90，点P为ABC内一点（1）连接PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，得到DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE依题意，请在图2中补全图形；如果BPCE，BP=3，AB=6，求CE的长（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以点A为旋转中心，将ABP

5、顺时针旋转60得到AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值例1.1.2以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB和COD，其中（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_；如图2，将图1中的AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若，点N在线段OD上，且点P是线

6、段AB上的一个动点，在将AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_，最大值为_例1.1.3在ABC中，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（），得到（1）如图1，当AC时，设与AB相交于点D证明：BCD是等边三角形；（2）如图2，连接、，设和的面积分别为和求：与的比；（3）如图3，设AC中点为E，中点为P，连接EP，求：角为多少度时，EP长度最大，并求出EP的最大值例1.1.4用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P（1）当点P运动到CFB的角平分线上时，连接AP，求线

7、段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现时，求PAB的度数探究二：如图，将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN在旋转DEF的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由例1.1.5如图，在ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止过点E作EFAC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接写

8、出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积题模二：四边形与动点问题例1.2.1如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM（1） 当M点在何处时，AMCM的值最小；（2）当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长EBDCAM例1.2.2如图1，已知线段，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且，连接DE，BE（

9、1）依题意补全图1，并证明：BDE为等边三角形；（2）若，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB将CDE绕点D顺时针旋转度（）得到，点E的对应点为，点C的对应点为点如图2，当时，连接证明：；如图3，点M为DC中点，点P为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？例1.2.3如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段CF（1）求证：BE=DF；（2）当t=_秒时，DF的长度有最小值，最小值等于_；（3）如图

10、2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角（=BCD），得到对应线段CG在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式例1.2.4在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F在边CD上，连接DE、AF，点G在线段AF上（1）如图，若DG是ADFD的中线，DG=2.5，DF=3，连接EG，求EG的长；（2）如图，若DGAF交AC于点H，点F是CD的中点，连接FH，求证：CFH=AFD；（3）如图，若DGAF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG

11、当点F在边CD上（不含端点）运动时，EGH的大小是否发生改变？若不改变，求出EGH的度数；若发生改变，请说明理由例1.2.5如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿BCD运动，到点D停止，点Q沿DOB运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ设APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）（1）填空：AB=_cm，AB与CD之间的距离为_cm；（2）当4x10时，求y与x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与

12、菱形ABCD一边平行的所有x的值随堂练习随练1.1在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把ABO绕点B逆时针旋转，得ABO，点A，O旋转后的对应点为A，O，记旋转角为（）如图，若=90，求AA的长；（）如图，若=120，求点O的坐标；（）在（）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P，当OP+BP取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）随练1.2如图，在四边形ABCD中，点M为对角线BD（不含点B）上任意一点，ABE是等边三角形，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）直接回答：当点M在何处时，的值最小？当点M

13、在何处时，的值最小？请说明理由随练1.3在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2 的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上（1）小明发现DGBE，请你帮他说明理由（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出GHE与BHD面积之和的最大值，并简要说明理由随练1.4正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF连接BF，作EHBF所在直线于

14、点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值随练1.5已知，如图，在ABCD中，AB=3cm，BC=5cmACABACD沿AC的方向匀速平移得到PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当PNM停止平移时，点Q也停止运动如图，设运动时间为t（s）（0t4）解答下列问

15、题：（1）当t为何值时，PQMN？（2）设QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使SQMC：S四边形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（4）是否存在某一时刻t，使PQMQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由随练1.6如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当 CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将CEF沿EF折叠，连接BM，BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果

16、不可以，说明理由连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长随练1.7如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合当AF等于多少时，MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留根号）随练1.8边长为2的正方形的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1），现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转

17、过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论自我总结 课后作业作业1已知，点O是等边ABC内的任一点，连接OA，OB，OC（1）如图1，已知AOB=150，BOC=120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADCDAO的度数是；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设AOB=，BOC=当，满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；

18、若等边ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值作业2几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PA+PB=AB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_；（2）如图2，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10

19、，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值作业3如图1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点M是BC的中点，作正方形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ（1）直接写出线段AN和BQ的数量关系是_（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转（0360）判断（1）的结论是否成立？请利用图2证明你的结论；若BC=MN=6，当（0360）为何值时，AN取得最大值，请画出此时的图形，并直接写出AQ的值作业4（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b填空：当点A位于_时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为

20、线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，BPM=90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标作业5如图，已知是等腰直角三角形，点是的中点作正方形，使点、分别在和上，连接、（1）试猜想线段和的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（），如图，通过观察或测

21、量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由若，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度（），当为最大值时，求的值作业6如图1，已知B点坐标是（6，6），BAx轴于A，BCy轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上，DEBD，M是DE中点，且M在OB上（1）点M的坐标是（_，_），DE=_；（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O

22、运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中点，Q为GH的中点，F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？作业7某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在APK、ADK、DFK中，是否存

23、在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值作业8如图，点O是边长为1的等边ABC内的任一点，设，（1）将BOC绕点C沿顺时针方向旋转60得ADC，连结OD，如图2所示求证：（2）在（1）的基础上，将ABC绕点C沿顺时针方向旋转60得EAC，连结DE，如图3所示求证：（3）在（2）的基础上，当、满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上并直接写出的最小值14