第03讲_相似模型（二）(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲_相似模型（二）知识图谱错题回顾顾题回顾角平分线相似模型知识精讲角平分线类相似模型：1.常见题模型如下：方法点播：角平分线类相似问题基本就这样的四种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学习这部分知识时，涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决三点剖析一考点：角平分线类相似模型二重难点：角平分线类相似模型三易错点： 注意对应线段比例关系题模精讲题模一：角平分线相似模型例1.1.1如图，是的角平分线，求证：【答案】如解析【解析】如图例1.1.2在中，平分交于点，求证：

2、【答案】见解析【解析】证明：过点作，延长线于点；过点作交延长线于点由此可得，又又，故、为等边三角形；，又例1.1.3如图（1）（3），已知AOB的平分线OM上有一点P，CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设AOB=（0180），CPD=（1）如图（1），当=90时，试猜想PC与PD，PDC与AOB的数量关系（不用说明理由）；（2）如图（2），当=60，=120时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由（3）如图（3），当+=180时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由若=2，求的值【答案】见解析【解析】（1）PC=PD，

3、PDC=AOB（2）成立理由如下：作PEAO于E，PFOB于F，如图OP平分AOB，PE=PF在四边形EOFP中，AOB=60，PEO=PFO=90，EPF=120，即EPC+CPF=120又CPD=120，即DPF+CPF=120EPC=DPFEPCFPDPC=PD，PDC=30AOB=60，PDC=AOB，（3）成立，PDC=AOB，POD=AOB，PDC=POD又DPG=DPO，PGDPDO=又=2，=随堂练习随练1.1已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【答案】见解析【解析】易证: 随练1.2如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.证明：是定值【答案】见解析

4、【解析】过点作,则为等腰三角形；且为定值 为定值为定值随练1.3如图，已知CD是ABC中ACB的角平分线，E是AC上的一点，且，（1）求证：BCDDCE；（2）求证：ADEACD；（3）求CE的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明：CD是ABC中ACB的角平分线，BCDDCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；（2）证明：BCDDCE，（相似三角形的对应角相等）（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），又，ADEACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；（3）解：ADEACD，解得，射影定理知识精讲一射影定理：1定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得

5、两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项射影定理模型如图（1）所示：由图（1）得，由，可得： 由，可得： 由，可得：2射影定理推广：若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立如下图，如上图，当时，则有：，即：三点剖析一考点：射影定理二重难点：射影定理三易错点：注意线段的对应关系题模精讲题模一：射影定理例2.1.1已知CD是RtABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项可得：A、C都符合题意根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得B

6、选项正确；综上可得：A、B、C选项都正确例2.1.2在RtABC中，ADBC于点D，则AD等于（ ）A1BC2D3【答案】C【解析】该题考查的是相似三角形的性质及其判定通过两角相等，可以判定两个三角形相似，如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例，本题中，可以判定ABCDAC，即，代入数据，在RtDAC中，利用勾股定理，可得，代入数据，故答案选C例2.1.3如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：【答案】见解析【解析】在中，；由射影定理得:,再证明即可例2.1.4如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点M，AE切O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC（1）若B=30，AB=2，

7、求CD的长；（2）求证：AE2=EBEC【答案】（1）（2）见解析【解析】本题利用了直角三角形中三角函数值、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识（1）由于AB是直径，所以有ACB=90，在RtABC中，利用B的余弦值可求出BC，再在RtBMC中，利用B的正弦值，可求CM，利用垂径定理可知CD=2CM，即可求CD；（2）由于AE是切线，利用弦切角定理可知EAC=EBA，再加上一对公共角，容易证出EACEBA，那么可得比例线段，即可证（1）解法一：AB为O的直径，ACB=90 （1分）在RtABC中，B=30，AB=2，BC=ABcos30=2= （2分）CDAB，B=30，CM=，BC=，（

8、4分）CD=2CM=2=；（5分）（其它解法请酌情给分）解法二：AB为O的直径，B=30，AC=AB=1，BC=ABcos30= （2分）CDAB于点M，CD=2CM，ABCM=ACBC，（4分）CD=2CM=2=2=；（5分）（2）证明：AE切O于点A，AB为O的直径，BAE=90，ACE=ACB=90，（6分）ACE=BAE=90 （7分）又E=E，RtECARtEAB，（8分）=，（9分）AE2=EBEC （10分）随堂练习随练2.1如图，若CD是RtABC斜边上的高，则_【答案】【解析】若CD是RtABC斜边上的高，即，解得：在RtBCD中，随练2.2如图，在ABC中，ACB=90，C

9、DAB于点D，下列说法中正确的个数是（）ACBC=ABCDAC2=ADDBBC2=BDBACD2=ADDBA1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】在ABC中，ACB=90，CDAB，BDC=BCA=CDA=90，A=A，B=B，ACDABC，BDCBCA，=，=，ACAB=BCCD，故正确；BC2=BDBA，故正确；ACDCBD，=，=，AC2=ADAB，CD2=ADDB，故错误，正确下列说法中正确的个数是3个故选C随练2.3如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：【答案】见解析【解析】的垂直平分线交于 随练2.4如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，

10、使，过D作AB的垂线，交半圆于C求证：CD平分EF【答案】见解析【解析】如图，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连FA、EB易知：，二式相减得：，或于是：，或显然，EGCDFH故CD平分EF自我总结 课后作业作业1如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：【答案】见解析【解析】的垂直平分线交于 作业2如图1，中，分别平分是的外角的平分线，交延长线于，连接（1）变化时，设若用表示和，那么= ，E=（2）若，且与相似，求相应长；（3）如图2，延长交延长线于当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明【答案】（1），；（2）；（3），【解析】

11、（1），（2）由，得：，； 即：，为直角三角形，且 ，作业3已知，射线OT是MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120后与射线OM交于A，求证：；（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足，求：POB与PBC的面积之比；（3）当OB=2时，射线PB绕点P顺时针旋转120后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足请求出OP的长【答案】（1）见解析；（2）POB与PBC的面积之比为；（3）或【解析】（1）证明：作PFOM于F，作PGON于G，OP平分MON，又，PAFPBG，；（2）

12、由（1）得：，OP平分MON，又，POBPBC，POB与PBC的面积之比为；（3）当点A在射线OM上时（如图乙1），易求得：，而，作BEOT于E，当点A在射线OM的反向延长线上时（如图乙2），此时，而，作BEOT于E，综上所述，当时，或作业4如图，ABC中，CDAB，垂足为D下列条件中，能证明ABC是直角三角形的有_（多选、错选不得分）A+B=90 AB2=AC2+BC2= CD2=ADBD【答案】【解析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用，只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可三角形内角和是180，由知A+B=90，ACB=180-（A+B）=180-90=90，ABC是直角三

13、角形故选项正确AB，AC，BC分别为ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，正确题目所给的比例线段不是ACB和CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明ACB与CDB相似，也就不能得到ACB是直角，故错误；若ABC是直角三角形，已知CDAB，又CD2=ADBD，（即 =）ACDCBDACD=BACB=ACD+DCB=B+DCB=90ABC是直角三角形故选项正确；故正确的结论为作业5已知：如图，在半径为4的O中，AB为直径，以弦（非直径）为对称轴弧AC折叠后与相交于点，如果，那么的长为（ ）ABCD6【答案】A【解析】该题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质连接CB、CD；根据折叠的性质，得：即是等腰三角形；过C作于E，则；，在RtACB中，根据射影定理，得：， 所以故该题选A作业6如图，如图，等腰中，于，点为上一点，连接交于，交于，求证：【答案】见解析【解析】连接，则，再证：作业7如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接（1）是利用射影定理证明；（2）若，求的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：如图，四边形为正方形，即，而（2）而，在中，；在中，； 即得17