第七章 多元函数微分-精品文档资料整理.docx

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1、第七章 多元函数的微分及其应用在第一至第六章中，我们讨论了一元函数的性质、极限、连续性、导数、微分、不定积分、定积分以及微积分在几何、物理等领域的某些应用. 遇到的函数都只有一个自变量，但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将首先介绍多元函数的基本概念、极限、连续等，并在一元函数微分学的基础上，进一步讨论多元函数的微分学，包括多元函数的偏导数、全微分、复合函数和隐函数的求导方法，方向导数、梯度等. 进而探讨多元函数微分学的一些应用，例如在研究

2、几何图形和求函数极值方面的应用等等. 在讨论中我们将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的几何解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.7.0预备知识一、平面点集1平面及其表示由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组之间就建立了一一对应. 于是，我们常把有序实数组与平面上的点P视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元有序实数组的全体，即就表示坐标平面. 2. 平面点集定义1坐标平面上具有某种性质的所有点的集合，称为平面点集，记作具有性质.例如，平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的

3、集合是.如果点的坐标为，以表示点到原点的距离，那么集合也可表成.3. 邻域定义2 （1） 设是平面上一个点，d是某一正数.与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为即或.（2）点的去心邻域记作，其定义为注（1）：邻域具有直观的几何意义，即表示平面上以点为中心、为半径的圆的内部的点的全体；与的区别在于前者不包含圆心，而后者包含圆心.（2）：如果不需要强调邻域的半径d，则用表示点的某个邻域，点的去心邻域记作.4. 内点、外点、边界点为描述点与点集之间的关系，我们给出如下定义定义3 任取一点，任给一个点集，则(1) 如果存在点的某一邻域，使得，则称为的内点;(2) 如果存在点的某个邻域，使得, 则称

4、为的外点;(3)如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边界点.的边界点的全体,称为的边界,记作 . 图7.0.1注意，任给一点和一个集合，它们之间必有以上三种关系中的一种. 的内点必属于；的外点必定不属于；而的边界点可能属于, 也可能不属于.5. 聚点、导集定义4 如果对于任意给定的, 点的去心邻域内总有中的点, 则称是的聚点.由聚点的定义可知, 点集的聚点可能属于, 也可能不属于.例如,设有平面点集. 则满足的一切点都是的内点; 满足的一切点都是的边界点, 它们都不属于; 满足的一切点也是的边界点, 它们都属于; 点集以及它的界边上的一切点都是的聚点.的全体聚点所构成的集称

5、为的导集，记为.6开集、闭集、连通集平面上不同的点集有不同的特征，为此我们可引入如下定义.开集: 如果点集的点都是的内点，则称为开集.闭集: 如果点集的余集为开集, 则称为闭集.例如，是开集；是闭集；而集合既不是开集, 也不是闭集.连通集: 如果点集内任何两点, 都可用完全包含于内的有限条折线连结起来, 则称为连通集.7.开区域、闭区域为下节讨论多元函数时的方便，我们引入区域的概念.开区域: 连通的开集称为开区域，简称区域.闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如是区域；而是闭区域.8.有界集、无界集有界集: 对于平面点集, 如果存在某一正数r，使得, 其中是坐标原点, 则

6、称为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如,集合是有界闭区域；集合是无界开区域; 集合是无界闭区域.二.维空间设为取定的一个自然数，我们用表示元有序数组的全体所构成的集合，即.中的元素有时也用单个字母来表示，即.当所有的都为零时，称这样的元素为中的零元，记为0或.在解析几何中，通过直角坐标系，(或)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立了一一对应， 将其进行推广，中的元素也可称为中的一个点或一个维向量，称为点的第i个坐标或维向量的第个分量. 特别地，中的零元0称为中的坐标原点或n维零向量.在集合中定义某种运算，可使成为某种空间.1. n维线性空间定义5设，为

7、中任意两个元素，是一个实数，规定，.上述两种运算称为中的线性运算. 定义了线性运算的集合称为维线性空间.2. n维欧式空间定义6中的点和点之间的距离，记作，其定义为定义了距离的维线性空间称为维欧式空间，仍记为.注意，我们在第一部分讨论平面点集时，是直接把平面看成2维欧式空间的，即在没有严格定义欧式空间之前我们就把平面作为欧式空间了，实际上我们在中学学习平面几何时早就这样做了.显然，当时，上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一致.因为欧式空间中引入了线性运算和距离，空间中具有代数结构和几何结构，所以我们可以定义向量（或线段）的长度. 事实上，中元素与零元0之间的距离即向量的长度

8、，记作 (在、中，通常将记作)，即.采用这一记号，结合向量的线性运算，有.因为维空间中定义了距离,所以还可以定义中变元的极限.定义7设,. 如果,则称变元在中趋于固定元, 记作.显然,.在Rn中，线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到维空间中来, 例如,设,是某一正数, 则维空间内的点集就可定义为中点的邻域. 以邻域为基础, 可以定义中点集的内点、外点、边界点和聚点,以及开集、闭集、区域等一系列概念.问题讨论1.欧式空间中可以度量向量（线段）夹角的大小和平面图形的面积吗？如果可以，应如何引入？2.点集的聚点和点列的极限点有什么联系？本节小结本节介绍

9、了平面上各种点集如邻域、开集、闭集、区域、连通集、有界集、无界集以及一个点对一个点集而言何时为内点、外点、边界点、聚点等概念. 然后在集合中引入线性运算和距离，从而使得中可以讨论与平面上类似的概念与问题.习题7.01下列各种情形中，为的什么点？（1）如果存在点的某一邻域，使得（为的余集）；（2）如果对点的任意邻域，都有,；（3）如果对点的任意邻域，都有.2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) ;(2) ;(3) ;(4) .7.1多元函数的概念、极限与连续性一多元函数的基本概念1.引例在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量

10、依赖于多个变量的函数关系，比如：例1 矩形面积与边长，宽有下列关系：其中，长与宽是独立取值的两个变量在它们变化范围内，当，取定值后，矩形面积有一个确定值与之对应例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：，双曲抛物面的方程为，这里的坐标既跟有关，又跟有关，它是，的二元函数.2. 多元函数的概念定义1设是的一个非空子集，映射称为定义在上的二元函数，记为 (或)其中，点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量.上述定义中，与自变量、的一对值相对应的因变量的值，也称为在点处的函数值，记作，即.函数值域：.函数的其它符号:，等.类似地可定义三元函数以及三元以上的函数.一般地，把定义

11、1中的平面点集换成维空间内的点集, 映射：称为定义在上的元函数，通常记为，或简记为，也可记为.关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以使这个算式有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而，对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如：函数的定义域为 (无界开区域);函数的定义域为 (有界闭区域).二元函数的图形:点集称为二元函数的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如是一张平面，而函数的图形是旋转抛物面.例1 求二元函数的定义域解 容易看出，当且仅当自变量，满足不等式,函数才有定义其几何表示是平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界

12、上点的全体，如图7.1.1所示即函数的定义域为图7.1.1图7.1.2例2 求函数的定义域解 函数的定义域为，其几何图形是平面上位于直线上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示例3 求函数的定义域解 函数是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部分函数的定义域由不等式组构成，即定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示图7.1.3图7.1.4例5求函数的定义域解 函数的定义域为，即.它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示二. 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似，如果在的过程中，对应的函数值 无限接近于一个确定的常数，则称是函数当 时的极限.定义

13、2设二元函数的定义域为，是的聚点. 如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，当时，总有成立，则称常数为函数当时的极限，记为，或也可简记为或.上面定义的极限也称为二重极限. 定义用两个正数，和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将改为即可得到元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似.例5 设，求证.证 因为，可见，取，则当,即时，总有，因此.例6求极限解 令，则，而，所以 例7证明不存在.证 取 (为常数)，则易见，所要求的极限值随的变化而变化，故不存在.例8证明不存在

14、.证 取，其极限值随的不同而变化，故极限不存在.三.多元函数的连续性1.多元函数连续性概念定义3设二元函数的定义域为,（1）为的聚点, 且. 如果，则称函数在点连续.（2）设内的每一点都是的聚点，如果函数在的每一点都连续, 则称函数在上连续, 或称是上的连续函数.注：如果函数在点不连续, 则称为函数的间断点.二元函数的连续性概念可相应地推广到元函数上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设，证明是上的连续函数.证 对于任意的，因为,所以，函数在点连续，由的任意性知, 作为, 的二元函数在上连续.类似的讨论可

15、知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个解析式所表示的多元函数，这个解析式是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如 都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数在点处有极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则.

16、例11讨论二元函数在处的连续性.解 由表达式的特征，利用极坐标变换：令, 则所以，函数在点处连续.例12求解 因初等函数在处有定义，故 2.多元连续函数的性质有界闭区域上多元连续函数也有与闭区间上一元连续函数类似性质.性质1(有界性与最大值最小值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数，必定在上有界, 且在上取得最大值和最小值.性质1表明：若在有界闭区域上连续，则必存在常数，使得对一切，有，且存在，使得性质2(介值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论1.若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定2.讨论函数的连续性.3.你能否用语言证

17、明.小结本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题给出了根据定义证明极限存在（即语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后给出了多元连续函数的定义和其基本性质.习题7.11.设求.2.已知函数，试求.3.求下列各函数的定义域(1) ; (2) ;(3) ; (4) (5) .4. 求下列各极限:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) .5.证明下列极限不存在:(1) ; (2) .6.函数（为常数）在何处间断？7.用 语言证明.7.2 偏导数在第二章我们学习了函数的导数，它是用函数的增量与自变量增量比值的极限来定义的. 对多元

18、函数，是否也可进行类似的处理呢？与一元函数相比，多元函数的求导有什么不同呢？本节我们将来探讨这些问题.一.偏导数的概念及计算方法1.偏导数的概念因为多元函数涉及到多个自变量，所以我们需要针对各个自变量来进行处理，从而有所谓偏增量、偏导数问题.在二元函数中，如果先把自变量固定，即把看成常数，只有自变量变化，这时它就可以看成的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数，同理，对自变量也可类似处理. 为此，我们引入偏导数的概念.定义1（1）设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果极限存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作，或类似地，函数在点处对的偏

19、导数定义为，记作，或.（2）如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，称为函数对自变量的偏导函数，简称偏导数，记作，或.类似地，可定义函数对的偏导数，记为，或.根据上述定义，我们有，.2.偏导数的计算方法偏导数的计算方法很简单，求时,只要把暂时看作常量而对求导数; 求时, 只要把暂时看作常量而对求导数即可.讨论：下列求偏导数的方法是否正确？偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如，三元函数在点处对的偏导数定义为,其中，是函数定义域的内点，其偏导数的求法与二元函数类似.例1求在点处的偏导数.解1（先求后代）：把看作常数，对求导得到，把看作常数，对求导得到故所求偏导数

20、.解2（先代后求）：因为，所以；同理，因为，所以.例2 设，证明.证 因为 ，所以.例3求三元函数的偏导数解 把和看作常数，对求导得把和看作常数，对求导得把和看作常数，对求导得例4求的偏导数解 把和看成常数，对求导得利用函数关于自变量的对称性，可得例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)，求证:.证 由于故.注：一元函数的导数可以看成函数的微分与自变量的微分的商，而偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之商. 3. 偏导数的几何意义一元函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中 是切线的倾角. 类似地，二元函数在点处的偏导数有下述几何意义.设是曲面上的一点，

21、过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，二元函数在点处的偏导数就是一元函数在点的导数. 根据导数的几何意义，偏导数就是这曲线在点处的切线对轴的斜率；同理，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率，如图7.2.1.4.偏导数的连续性对于一元函数，如果它在点处的导数存在，则函数在该点一定连续. 但是，对于多元函数，情况就不一样了. 图7.2.1例6证明函数的偏导数存在，但在点不连续.证 由偏导数的定义，有，.即偏导数存在且为0，但由上节的例7知道，极限不存在，故在点不连续.因此，对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.二.高阶偏导数1

22、.高阶偏导数的概念定义2设函数在区域内具有偏导数如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数，.类似地可以定义三阶、四阶、n阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.2. 高阶偏导数求法举例高阶偏导数的求法：把一阶偏导数视为多元函数，再按偏导数的求法即可求得各阶偏导数.例7设z=x3y2-3xy3-xy+1，求和.解 ，;，;,.由例7我们观察到，这是偶然遇到的吗？下面我们将回答这个问题.3.二阶混合偏导数相等的条件定理1如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶

23、混合偏导数必相等.证明从略.例8设求二阶偏导数.解 例9求的二阶偏导数.解 例10 验证函数满足拉普拉斯方程证明 因为所以所以所以例11设，试求及解 因为当时，所以 同理有当时，所以问题讨论1.若函数在点连续，能否断定在该点的偏导数必定存在?2.设问与是否存在?小结在本节中，我们给出了多元函数偏导数和高阶偏导数的定义，通过典型例题介绍了它们的计算方法，探讨了偏导数的几何意义，给出了二阶混合偏导数相等的条件. 特别，通过反例指出了多元函数在一点的偏导数存在但函数在点该未必连续.习题7.21.设试求及2.设，求，.3.求下列函数的偏导数(1) ，(2) ； (3) ，(4)；(5)； (6)；(7

24、)；(8)； (9)4.设，求证:.5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知，求 和；(4), 求和.6.设，求 及.7.3全微分及其应用从第二章我们知道，如果函数在点可微，则有且，即微分是的线性函数，并且与之差是的高阶无穷小，一元函数的微分为函数的近似计算提供了有效途径。这样的微分概念能否推广到多元函数呢？如果能，多元函数和一元函数的微分有什么异同呢，它是否能为多元函数的近似计算提供方法呢？本节就来探讨这些问题.一全微分的概念与性质1.全微分的概念定义1（1）如果函数在点的全增量，可表示为，其中、仅与、有关而与、无关，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记

25、作，即 （7.1）（2）如果函数在区域内的每一点都可微分，则称函数在区域内可微.由全微分的定义可以看出，函数的全微分是、的线性函数，且与之差是比高阶的无穷小. 另外，由定义还可以看出，若函数在点可微，则函数在点一定连续.2. 函数可微的条件如果函数在点可微分，那么，在点的某一邻域内的任一点，都有，成立. 特别，上式中取，此时，从而上式变为上式两边同除以，并令取极限，得，即存在且.同理可得存在且.这样我们得到了如下定理.定理1 (可微的必要条件) 如果函数在点可微分，则函数在点的偏导数，存在，且有我们知道，对一元函数，可微与可导是等价的.但是，对于多元函数来说，函数可微，则函数一定存在偏导数；反

26、之，函数存在偏导数，但函数不一定可微，即多元函数的各偏导数存在是函数可微分的必要条件而不是充分条件.例如，根据定义容易求得函数在点处有，所以，当点沿直线趋于点时，则这表明，当时，不是比高阶的无穷小，因此函数在点不可微.定理1及上述例子告诉我们，偏导数与存在并不能保证函数在点可微. 如果再假定偏导数与在点连续，就可保证在点可微，即有下面可微的充分条件.定理2(可微的充分条件)如果函数在点的某一邻域内存在偏导数、且这两个偏导数在点连续，则函数在点可微.该定理证明从略.由定理2可知，偏导数连续是函数可微分的充分条件. 下面例子表明，该条件不是必要条件.例1证明函数在点处可微分，而、在点不连续.证 由

27、于所以，从而故函数在点处可微.当时，有而点沿直线趋于点时，极限不存在，即在点不连续，同理可得在点不连续.与一元函数微分类似，实际上，自变量的增量与为与，分别称为自变量与的微分. 因此，函数的全微分可写为 （7.2）上式中的与分别称为函数对和对的偏微分. 因此，二元函数的全微分是它的两个偏微分之和，这个性质称为二元函数全微分的叠加原理.全微分的定义、可微分的充分条件、必要条件以及叠加原理都可推广到三元及其以上的多元函数. 例如，如果三元函数在点可微分，则它的全微分就是它的三个偏微分之和，即例2求函数的全微分.解 因为，所以.例3求函数在点处的全微分.解 因为所以.例4求函数的全微分.解 因为所以

28、例5求函数的偏导数和全微分.解 *二、利用全微分进行近似计算. 近似计算公式定义2 如果函数在点处可微，那么函数 （7.3）称为函数在点处的线性化. 近似公式 （7.4）称为函数在点处的标准线性近似.多元函数的全微分在近似计算中有重要应用. 实际上，对于可微的二元函数，因为是一个比高阶的无穷小量，所以有近似公式 （7.5）或 （7.6）利用式（5）或（6）可以对二元函数的函数值进行近似计算.例6计算的近似值.解设函数，因此，要计算的值就是函数值.取，则有，所以例7圆柱体形变时，底半径由增大到，高由减少到.求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积分别为、和，则.，将代入上式，得即

29、此圆柱体的体积减少了.例8求函数在点的线性化.解 首先求，和在点的值：于是在点的线性化为.*.误差分析例9测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm，且可能的最大测量误差为0.2cm，试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.解以、为边长的矩形盒的体积为，所以由于已知为了求体积的最大误差，取再结合得即每边仅0.2cm的误差可以导致体积的计算误差达到对于一般的二元函数，如果自变量、的绝对误差分别为、，即 （7.7）则z的误差 （7.8）从而得到z的绝对误差约为;z的相对误差约为.例10 在直流电路中，测得电压U=24V，相对误差为0.3%; 测得电流I=6A，相对误差为

30、0.5%，求用欧姆定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.解 由欧姆定律可知，所以R的相对误差约为，R的绝对误差约为.问题讨论1. 讨论函数在点处全微分是否存在?2. 你能通过相关定理和例题总结出多元函数的连续性、可导性（即偏导数存在）、可微性及偏导数连续之间的相互关系吗？请画出它们的关联图.小结本节我们给出了微分的概念和条件（可微的必要条件和充分条件），并通过典型例题分析进一步探讨了二元函数的连续性、可导性（即偏导数存在）、可微性及偏导数连续之间的相互关系. 我们有：函数的偏导数连续则函数可微，函数可微则连续、可导；但函数可微其偏导数未必连续，函数连续未必可微，函数可导也未必可微；函数连续

31、未必可导，反之亦然. 最后作为选修内容，我们给出了利用全微分计算多元函数的近似值的公式和例子，同时还进行了相关的误差分析.习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) ；(2) ；(3)；(4)；2. 求函数在处的全微分.3. 求函数当时的全微分和全增量，并求两者之差.*4讨论函数在点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在的连续性.*5.计算的近似值.*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).*6.测得直角三角形两腰的长分别为70.1cm和240.1cm，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.7.4多元复合函数及其求

32、导法则在第二章，我们学习了一元复合函数的求导法则，即链式法则. 多元复合函数是否也有这样的求导法则呢？例如，设，而，如何求？又设，而，如何求复合函数偏导数和等问题？本节我们将探讨这些问题.一、多元复合函数的求导法则多元复合函数求导要比一元复合函数求导复杂的多，下面将分三种情况进行讨论.1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有 （7.9）证1 因为具有连续的偏导数，所以它是可微的，即有又因为 及都可导，因而可微，即有代入的表达式中即得，从而.证2 当t取得增量时，、及相应地也取得增量、及.由、及的可微性，有，令，上

33、式两边取极限，即得.注 推广 设，则对的导数为: （7.10）链式法则（7.9）、（7.10）中的称为全导数.说明：公式（7.9）、（7.10）给出的求导法则称为链式法则，其右端就像一段链条，式中的各个导数（或变量）就像链节一样，一环紧扣一环. 在具体计算时，可以先画出变量之间的链式图，再按照链式法则计算复合函数的导数.例1设而求导数解 这里是函数，、是中间变量，是自变量，由链式法则，有注意：本例中的函数既通过中间变量、与自变量相联系，又直接与自变量t相联系，所以其全导数由三个部分：、组成，计算时要特别注意，不要遗漏，同时要注意符号的区别（右边第三项不能写成），这在抽象函数求偏导时特别重要.2

34、.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数都在点具有对及的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有 （7.11）定理证明从略.推广:设，则 （7.12）链式法则（7.11）、（7.12）与前面的（7.9）、（7.10）相比，因为现在有两个自变量，所以前面的全导数就变成了现在的偏导数，.例2 设而求和解 本例中的变量有函数，中间变量、，自变量，由链式法则（7.3），有例3 求的偏导数.解 设 则可得则思考问题:(1) 设，求？提示: （7.13）(2) 设，且，求？提示: （7.14）注意：这里与是不同的,是把复合函数中的y看作不变而对求偏导数,而是把中

35、的及都看成常数而对求偏导数. 且由和两个部分组成，与也有类似的区别.例4 设，求和解 例5 设 求解 例6 设，其中有连续的二阶偏导数，求解 设则例7 设其中函数f有二阶连续偏导数，求和.解 令记，同理记通过上述若干例子我们看到，在求多元复合函数的偏导数时，要分析其变量，哪些是中间变量，哪些是自变量？还要注意函数的结构，因变量与中间变量，中间变量与自变量是如何联系的等等. 有时中间变量还不止一层，这时候我们在应用链式法则时，要根据函数结构从外层中间变量到内层中间变量再到自变量，逐层求导，切忌遗漏. 当函数既通过中间变量与某一自变量相联系，且又直接与该自变量相联系时，要注意引入不同符号来区别有关

36、导数或偏导数，如例1中的与，思考问题（2）中的与以及与等等.二、多元复合函数的全微分设具有连续偏导数，则有全微分如果具有连续偏导数，而也具有连续偏导数，则 （7.15）由此可见，无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分的形式不变性.例8利用全微分的形式不变性解本节的例2.即设而求和.解 因 代入后归并含及的项，得即比较上式两边、的系数，得它们与例2的结果一样.例9 求函数的全微分.解 设则 于是由于 代入上式，得例10 已知 求和.解 因为故所求偏导数问题讨论1. 在定理1中，若将函数在对应点具有连续偏导数这一条件减弱为偏导数存在，定理结论是否成立？

37、若成立，请给出证明；若不成立，请给出反例.2. 设具有二阶连续偏导数，求，并说明求导过程中出现的与与有何区别？小结本节第一部分针对复合函数的中间变量为一元函数、多元函数或既有一元函数又有多元函数三种情形给出了二元、三元复合函数求导的链式法则，即式（1）（6）. 在计算多元复合函数导数时，最好先画出反映自变量、中间变量和函数关系的链式图. 在第二部分，给出了全微分的形式不变性，并探讨了该性质在解题中的应用.习题7.41.设，求.2.设，而，求.3.设，求，.4.设，而，求，.5.设求6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1) ；(2) ；(3) ；(4) .7.求下列函数的二阶

38、偏导数，(其中具有二阶连续偏导数):(1) ，(2) .8.设其中是可微函数，证明7.5隐函数的求导法则在自然科学与社会科学中，很多变量之间是以一个方程或方程组的形式联系的，即在一定条件下，由方程或方程组决定了变量之间的函数关系，这种函数关系即隐函数. 如果能从方程或方程组解出函数关系，则隐函数求导问题就成了前面学习过的显函数求导问题. 然而，在很多情形要解出显函数是很难的有时甚至根本无法解出. 在这种情况下如何求隐函数的导数呢？本节将来讨论这些问题.一、一个方程确定的隐函数及其导数在第2章，我们就一个二元方程所确定的隐函数求导方法进行了讨论，给出了直接从方程出发计算隐函数导数的公式，现在我们

39、进一步探讨这个问题.假设二元方程确定了函数关系，将其代入，得恒等式，等式两边对x求导得，假设Fy连续且，由连续函数的性质，存在的一个邻域，在这个邻域内恒有. 于是得.这样我们得到如下的隐函数存在定理.定理1设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内能唯一确定具有连续导数的函数，它满足条件，并有 （7.16）隐函数存在定理还可以推广到三元及其以上的函数. 例如，在一定条件下，一个三元方程可以确定一个二元隐函且有类似于定理1的求导公式.定理2 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有. （7.

40、17）证 在题设条件下，方程确定了二元函数，代入.得，上式两端分别对和求导，得.因为连续且，所以存在点的一个邻域，使，于是得.例1证明方程在点的某邻域内能唯一确定一个有连续导数且当时的隐函数，求这函数的一阶和二阶导数在的值.证 令，则由定理1知，方程在点的某领域内能唯一确定一个有连续导数且当时的隐函数函数的一阶导数为二阶导数为例2求由方程所确定的隐函数的导数解 此题在第二章第六节采用方程两边求导的方法做过，这里我们直接用公式求之. 令, 则由原方程知时，. 所以，例3求由方程是常数）所确定的隐函数的偏导数和解 令则显然,它们都是连续函数，所以，当时，由隐函数存在定理2得例4 设求解 令 则 所

41、以，注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，生搬硬套地套公式（7.16）、（7.17）并不一定是最好的，在公式（7.16）、（7.17）的推导过程中，主要应用了复合函数求导法则. 因此，可利用复合函数求导法或微分法的直接计算. 尤其是在方程中含有抽象函数时，该方法可能更为清晰. 下面通过例子来说明这种方法.例5 设方程确定了隐函数，求解 本例套用公式很简单，作为基本训练，我们直接从方程出发并应用复合函数求导法则来解它.方程两边分别对和求偏导，得，所以从而同理可求得 .例6 设 求解 令（1）把看成的函数对求偏导数得（2）把看成的函数对求偏导数得（3）把看成的函数对求偏导数得注： 本

42、例也可用公式直接计算，但用复合函数求导法则直接计算似乎更简单，同学们可以比较一下.例7 设确定函数，其中具有连续偏导数，且 求证证 首先说明，此例中三个把中间变量依次编号为1.2.3，则表示函数关于第个中间变量的偏导数. 类似的处理在上节（例8）遇到过，后面还会遇到.已知方程确定函数，在所给方程两边取微分，得即有合并得，解得，从而，于是请用公式（2）完成证明并比较哪种方法更简单.例8设由方程确定，其中具有一阶连续偏导数，且求分析：本例中函数u和自变量x的关系很复杂: 和直接联系：；通过中间变量和联系：；通过中间变量和联系，这时又有两种方式：一是和直接联系；二是通过中间变量和直接联系，即 求时要

43、考虑到上面各种联系.解 由，由前面分析及复合函数求导的链式法则，有由确定. 故由公式（7.17），有 (其中)代入即得该例是复合函数求导和隐函数求导综合应用的一个例子.二、方程组确定的隐函数及其偏导数在一定条件下，由方程组可以确定一对二元函数例如方程和可以确定两个二元函数事实上， 在不解出的情况下如何根据原方程组求的偏导数？定理3 设在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数所组成的函数行列式:在点不等于零，则方程组在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件,并有 （7.18） （7.19） （7.20） （7.21）上述定理给出了方程组确定的隐函数的偏导数计算公，.编者把该定理和这组公式放在这里只是为了理论体系的完备性. 同学们完全不用对上述公式死记硬背，在实际计算方程组所确定