线性代数考试3卷答案（48课时）-精品文档资料整理.doc

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1、20 20 学年第 学期科目: 线性代数 考试试题3 答案及评分标准命题教师： 使用班级： 一、填空题：（共15分，每题3分）1.1 2. 3. 4.1 5. 二、选择题：（共15分，每小题3分）1. 2. 3. 4.B 5.三、计算题：（共50分，第1、2各5分，3-6每题各10分）1. 已知 ，求X. 解 （2分） （2分）. (1分) 2.解 D= （2分） （1分） (2分)3.解：特征方程, （2分）从而 （2分）当时，由得基础解系，即对应于的全部特征向量为， （3分） 当时，由得基础解系，即对应于的全部特征向量为。 （3分）4.解：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯型矩阵有 （2

2、分）（1） 当时，方程组有唯一解. （2分）（2） 当时，方程组无解. （2分）（3） 当时，方程组有无限多个解. （2分）这时，由此得通解,即 （2分） 5.解：（4分） 所以向量组A的一个最大无关组为且 （2分） = （4分）6. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系,并用基础解系表示方程的通解 解 作方程组的增广矩阵 B = ，并对它施以初等行变换： 与所给方程组同解的方程为.取时, 则， 得所给方程组的一个解 =(, 0, , 0)T. (6分） 与对应的齐次方程组同解的方程为.取及，则及得对应的齐次方程组的基础解系 (1, 1, 0, 0)T. (1, 0, 2

3、, 1)T.所以所求方程的通解为 = =+,其中为任意常数. (10分) 四、证明题：（20分，每题10分）1. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1.证1 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E,即A(A-E)=2E 或 ,从而A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E或, 从而知(A+2E)可逆, 且. (10分) 证2 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E,两端同时取行列式得|A2-A|=2,即|A|A-E|=2, 故|A|0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A

4、2|=|A|20, 故A+2E也可逆.由A2-A-2E=OA(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E, 又由 A2-A-2E=O (A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . (10分) 2. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1能由a2, a3线性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3线性表示. 证明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2, a3也线性无关. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示. （5分）(2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示.(5分) 第 4 页 共 4页