概率论复习试题2016-2017-2-精品文档资料整理.docx

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1、1设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示事件“A与B都发生，C不发生”为_ _.2已知10片药片中有5片安慰剂，从中任意抽取5片，则其中恰有3片是安慰剂的概率为 _.3设X服从(0,1)分布，其分布律为，则X的分布函数_ _ _.4. 设二维随机变量(X,Y)具有分布函数则(X,Y)关于X的边缘分布函数_ _.5设X和Y是两个独立的随机变量，X和Y的概率密度分别为， 则X和Y的联合概率密度 .1设A，B是两个事件，且，则( ). (A) (B) (C) (D) 2. 一个口袋里有8只球，其中5只红球、3只白球，从袋中取球两次，每次随机地取一只，作放回抽样，则取到两球颜色相同的概率为(

2、 ).(A) (B) (C) (D) 3.已知随机变量X的分布律为X-2 -1 0 1 3 设，则的概率=( ).(A) (B) (C) (D) 4. 设X是一维随机变量，它的分布函数的图形如下图所示-101234F(x)1x则以下关于X的叙述中哪个是正确的？( )(A) X是连续型随机变量 (B) (C) (D) 5. 设（X，Y）是二维随机变量，则下列关于X和Y的独立性、方差、协方差、相关系数及不相关性的叙述中错误的是( ).(A) 若X和Y相互独立，则X和Y的协方差Cov(X, Y)=0.(B) 若X和Y相互独立，则X和Y的相关系数. (C) 若X和Y相互独立，则必有D(X+Y)=D(X

3、)+D(Y).(D) 若X和Y不相关，则X和Y必相互独立.1.将一枚硬币掷3次，分别以H和T表示出现正面和反面，以X表示3次中出现H的次数，写出这个随机试验的样本空间S，及随机变量X的分布律并求概率。4(10分)设随机变量 在(2, 8)内服从均匀分布，写出X的概率密度，并求它的数学期望和方差1. (10分) 有一棵病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果浇水，树活着的概率为0.85；如果不浇水，树活着的概率为0.2 。有0.8的把握确定邻居会记得浇水。(1) 求主人回来，树还活着的概率；(2) 如果主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。 . 1、一位运动员投篮四次，已知四次中至少投中一次的

4、概率为0.9984，则该运动员投篮的命中率为_ .2、若事件相互独立，且，则_.3、设随机变量的分布函数 ，则_.4、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到黄球的概率是_.5、设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则参数_.6、若随机变量在0，5上服从均匀分布，则方程有实根的概率为_.7、已知则_.8、设随机变量的密度函数，则_.1、对于事件，不正确的命题是( )(A) 若相容，则也相容 (B) 若独立，则也独立(C) 若对立，则也对立(D) 若对立，则独立2、下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为( )(A) (B

5、) (C) (D) 3、设随机变量,则随着的增大，概率( )(A) 单调增大 (B) 单调减少(C) 保持不变 (D) 增减不定4、已知为随机变量的概率分布列，其中为常数，则( )(A) (B) (C) (D) 5、已知随机变量的分布函数为，则( )(A) (B) (C) (D) 1、测量某一目标的距离，测量误差(cm)服从正态分布，求：（1）测量误差的绝对值不超过150cm的概率；（5分）（2）测得的距离不少于真实距离的概率.（5分）（已知）1. 如果 ，则 事件A与B 必定（ ） 独立； 不独立； 相容； 不相容.2.若随机变量的分布函数为，则（ ）A. ； B.； C.； D.3.设随机

6、变量X且期望和方差分别为，则（ ）(A) ; (B) ;(C) ; （D） .1.已知事件，有概率，条件概率，则_ 2.设随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则关于y的方程无实根的概率为_3.设二维随机变量的分布函数为则=_ . 1. 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,若任取一件产品发现是次品,问此次品是甲车间生产的概率是多少？2. 设随机变量X 的概率密度为求 的概率密度.3. 一（本题满分8分） 某中学学生期末考试中数学不及格的为，语文不及格的为，两门课程都不及格的为 已知一学生数学考试不

7、及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）； 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分） 解： 设“某学生数学考试不及格”，“某学生语文考试不及格” 由题设， 所求概率为 所求概率为二（本题满分8分） 两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率 解： 设“任取一个零件是不合格品”，“任取一个零件是第一台车床加工的” 所求概率为由Bayes公式

8、得 三（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为 求常数（3分）； 现对独立重复地观察4次，用表示观察值大于的次数，求（5分） 解： 由密度函数的性质，得 ，因此， 由于所以，随机变量的分布列为， 所以 五（本题满分8分） 一个工厂生产某种产品的寿命（单位：年）的密度函数为 该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望 解： 设为工厂售出一个产品的净赢利，则所以， 一（本题满分10分） 某学生无意将自己的钥匙丢掉了，他记得钥匙丢在教室里，宿舍里，操场上，道路上的概率分别为，和如果钥匙丢在教室里

9、，能被找到的概率为；如果钥匙丢在宿舍里，能被找到的概率为；如果钥匙丢在操场上，能被找到的概率为；如果钥匙丢在道路上，能被找到的概率为 求该学生找到钥匙的概率（6分）； 如果该学生找到了钥匙，求他在操场上找到的概率（4分） 解： 设“钥匙丢在教室里”，“钥匙丢在宿舍里”， “钥匙丢在操场上”，“钥匙丢在道路上” “找到钥匙” 所求概率为由全概率公式，得 所求概率为，由Bayes公式，得 五（本题满分9分） 某种型号的电子元件的使用寿命（单位：小时）具有以下的密度函数： 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）； 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于20

10、00小时的概率（5分） 解： 设，则 设，则所求概率为 而 ，所以， 1（10分） 已知随机变量的分布律（1） 求随机变量分布函数（2） 求随机变量的数学期望2（10分） 在件产品中有7件正品，3件次品（1） 从中任取只，求至多有两件次品的概率（2） 从中每次取件，做不放回抽样，则前三次都取到次品的概率1. 随机事件是样本点的集合.口袋中有5只外形相同的球，分别编号1,2,3,4,5，从中同时取3只球，则球的最小号码为1的事件为 . 2. 设随机变量X的密度函数为f(x)=，则P1 X 1= .（(1)=0.8413, (2)=0.9772.）1.（4分）某产品40件为一批，每批产品中没有次品

11、的概率为0.4，有1, 2, 3件次品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1.今从某批产品中随机地取10件，求其中恰有1件次品的概率.（注：只列出计算概率的算式，不要求计算结果.）2.（6分）已知随机变量X取四个值1,0,2,3，相应的概率分别为，（1）求常数c；（2）计算P X 1.三、（12分）已知随机变量(X , Y)的分布律为，（1）求D(2X Y)；（2）判断X , Y的独立性与相关性；（3）求Z = max X,Y的分布律.1. 随机事件发生，意味着 .(A)都发生； (B)至多有一个发生；(C)恰好有一个发生； (D)至少有一个发生.2. 设随机变量，则X的分布函数为 . (A)

12、 (B)(C) (D)3. 已知，且，正确的是 .(A)； (B)； (C)； (D).三、（12分）设随机变量(X,Y)的分布律为，（1）求Z = 2X Y的分布律；（2）求Cov(X, Y)；（3）判断X , Y的独立性与相关性.四、（共11分）1.（6分）设随机变量（1）求常数a；（2）求分布函数F(x).一. 填空题：（每空3分，共24分）1. 袋内有只红球，只黑球，设从中任取的两只都是红球，事件与互不相容，且,则 .2. 设事件与相互独立，且，则 .3. 设随机变量的概率密度为，表示对的次独立观察中事件出现的次数，则 .4. 设随机变量与相互独立，其中,，则 .三. (10分) 一箱

13、中有只同型的配件，其中只是次品，装配工在使用时任取一只，若是次品，则扔掉重取一只，直到取得合格品为止，以表示在取得合格品前已取出的次品数.求： (1) 的分布律； (2) 分布函数值; (3) . 四. (10分) 设随机变量服从参数为的指数分布，求的概率密度.1、事件与满足下列关系中的哪一个，则称它们是对立的。 （A） （B）， （C） （D）以上都不是2、若与独立，。 （A） 0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.43、若随机变量独立同分布，则下列等式正确的是。（A） （B） （C） （D） 以上都不对3. 设连续随机变量的概率密度为：， 求：1）的值； 2）。4. 已知离散随机变

14、量的概率分布为10120.20.250.30.25求：1）的概率分布； 2）和五、证明题（7分1=7分） 已知二维连续随机变量的联合概率密度为： ， 证明：独立。1 已知离散型随机变量的分布列为：21012P0.150.20.30.20.15 求：（1）.E和D； (2) . 的分布列。3. 设连续随机变量的分布函数为求 常数； ； 的概率密度。4. 已知离散随机变量的概率分布为：010.20.40.4 求 的概率分布； 和。1、事件独立，且，则等于（A）0； （B）1/3； （C）2/3； （D）2/5. 答：（ B ）2、设是连续型随机变量的概率密度函数,则下列选项正确的是（A）连续； （

15、B）；（C）的值域为0,1； （D）。 答：（ D ）3、随机变量，则概率随着的变大而（A）变小； （B）变大； （C）不变； （D）无法确定其变化趋势。 答：（ A ）12、已知连续型随机变量的概率密度函数为，（1）求概率；（2）求.解：（1）由题意（2）由随机变量函数的数学期望的性质13、已知连续型随机变量的分布函数为，（1）求常数；（2）求；（3）求的概率密度函数.解：（1）由分布函数的性质 因此可得 （2）由分布函数的性质 （3）由密度函数的定义 1 任何一个连续型随机变量的概率密度一定满足（ ）（A） （B）（C）（D）在定义域内单调非减4. 下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数

16、的是（ ）（A） （B）（C）（D）5. 设随机变量X的概率密度函数，则Y=（ ）时，。（A） （B）（C）（D） 2、如果连续型随机变量X的分布函数为：，分别求：（1）；（2）；（3）求密度函数。3、设随机变量X的密度函数为：如果已知，求：a和b，写出分布函数。1、A、B是两个随机事件，已知，则 0.6 , 0.1 ，= 0.4 , 0.6。2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球

17、一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。（1）抽到次品的概率为： 0.12 。（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 0 1 -1 10.2 0.30.4 5、设二维随机向量的分布律如右，则0.1, 0.4，的协方差为: - 0.2 ， 1 2 概率0.6 0.4的分布律为: 6、若随机变量且，,则0.8185 ， 5 ， 16 ）。二、（6分）已知随机变量X的密度函数求：（1）常数， （2）

18、（3）X的分布函数F（x）。解:(1)由 2 (2) = 2 (3) 2三、（6分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：求：（1）X，Y的边缘密度，（2）讨论X与Y的独立性。解:(1) X，Y的边缘密度分别为: 4 (2)由(1)可见, 可知: X，Y相互独立四、（7分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：求：（1）X，Y的边缘密度，（2）由（1）判断X，Y的独立性。解:(1) X，Y的边缘密度分别为: 5 (2)由(1)可见, 可知: X，Y相互独立 22. 在随机事件中，和两事件至少有一个发生而事件不发生的随机事件可表示为（）.（A）（B）（C）（D）3甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6

19、，乙胜的概率为0.4，设为甲胜，为乙胜，则甲胜乙输的概率为（）.（A）（B）（C）（D）0.64下列正确的是（）.（A）若，则（B）若，则（C）若，则 （D）若10次试验中发生了2次，则5设、互为对立事件，且，则下列各式中错误的是（）.（A） （B） （C）（D）1、代表三件事，事件“、至少有二个发生”可表示为 2已知，则= 3、二个事件互不相容，则 4对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 5设、两两相互独立，满足，且已知，则 五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为若让他们共同破译的概率是多少？1二维随机变

20、量（）的联合分布律为:1210.220.3则与应满足的条件是 ，当相互独立时，= 七、（12分）已知随机变量的分布律为:-1011/41/21/4011/21/2且已知（1）求（）的联合分布律；（2）是否相互独立？为什么？2设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B）. （C）. （D）. （ ）4设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立，则的值为 （A）. （A）. （C） （D）. （ ）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A）. （B）. （C）. （D）. 三、（10分） 设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次

21、中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）.解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且，.于是，（1）（X，Y）的联合分布为 YX300102030（2）.七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。解：（1）由所以.（2）X的边缘密度函数：.Y的边缘密度函数：.（3）因，所以X，Y是独立的.3设随机变量的密度函数为，用表示对的3次独立重复观察中事件出现的次数，则 .2（6分）设随机变量和独立同分布，且的分布律为

22、：求的分布律。四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）解：已知X的概率密度函数为Y的分布函数FY(y)为因此Y的概率密度函数为2、 设连续型随机变量的概率密度和分布函数为和，则下列正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、18、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数3、已知连续型随机变量的分布函数为，求（1）常数和，（2），（3）概率密度。三.（10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别占产量的5%、4%、2%。（1）从全厂产品中任意抽出一个螺钉

23、，试问它是次品的概率是多少？（2）从全厂产品中如果抽出的一个恰好是次品，试问这个次品是由甲车间生产的概率是多少？四.（12分）设连续型随机变量的分布函数为：试求1)系数A及B；2)随机变量的概率密度；3)随机变量落在区间()内的概率。五(8分)、已知随机变量只取1，0，1，2四个值，相应的概率依次为，确定常数c，并计算和。三.(10分)有两个口袋，甲袋中有2个白球，1个黑球；乙袋中有1个白球，2个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，（1）求取到白球的概率；（2）若发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋的球，黑、白哪种颜色可能性大？三(12分)、甲、乙、丙三人同时对飞

24、机进行射击，三人击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。（1）试求飞机被击落的概率。（2）若飞机被击落，求飞机是被一人击中而击落的概率。4.甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半。(1)从盒中任意抽查一个产品，试问它是废品的概率是多少？(2)如果抽出的一个产品恰好是废品，求它不是乙组加工的概率。3、设随机变量的概率密度为， 试求：（

25、1）的分布函数；（2）；（3）。1、（10分）设随机变量的概率密度为， 试求：（1）常数；（2）边缘概率密度和，并判断是否独立？（3）。例1. 设随机变量与相互独立，且，则与的相关系数_.答案：0例2. 设、，又，则与的相关系数（）A. -0.8B. -0.16C. 0.16D. 0.83. 将2封信随机地投入2个邮筒，设随机变量分别表示投入第1个和第2个邮筒的信的数目，试求：（1）的联合分布； （2）的数学期望及方差；（3）的相关系数； （4）判断是否不相关. 是否相互独立。解答：（1）Y X0120001002004分（2）X与Y同分布，且X的分布为：X012P因此 ， 2分（3）方法1：

26、，故 2分方法2：由于，即，与存在线性关系，因此。 2分（4）相关，不独立 2分2、设随机变量和的分布律为0101并且。（1）求，的数学期望以及方差；（2）求的联合分布律；（3）求，的协方差；（4）判断，是否不相关，是否独立。解答：（1）； （2）X2 X1-10100100（3）；（4）由知故不相关；又()联合分布律中不满足，所以不独立。2、设二维随机变量（）的概率分布为X Y01-10.6400.040.81（1）请将上表空格处填全；（2）求，的数学期望以及方差、；（3）求，的协方差以及相关系数，并判断是否不相关，是否独立；（4）记，求的概率分布，并求。1. 解答：（1）X Y01-10.160.640.800.040.160.20.20.81（2），；（3）， ，故不相关，又()联合分布律中满足，所以也相互独立；Z-101P0.160.680.16（4）=。例3. 已知随机变量服从参数为2的泊松分布，则随机变量的方差为（）A. B. C. D. 答案：D例4. 设随机变量，则_.答案：4例5. 设随机变量，则（）A. B. C. D. 答案：B例6. 设随机变量，则下列选项中，不成立的是（）A. B. C. D. 答案：B26