9.4矩形、菱形、正方形（19.正方形组图（下））-江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义.docx

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1、19.正方形组图（下）（解题课，难度） 核心考点知识梳理典例剖析例1.如图，分别以 ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形 ABF G 和 ACDE，连接 EG， 若 O 为 EG 的中点求证：AO = BC，AOBC 证明：延长AO至点M，使AO=OM，连接GM，O为GE的中点，EO=GO又AOE=MOG, GOM EOA，GM=AE. OGM=OEA， GM/AE， AGM+GAE=180,四边形ACDE、四边形ABFG是正方形，AE=AC， AG=AB，GAB=EAC-90, GM=AC，BAC+GAE=360-GAB-EAC =180，AGM=BAC,GAMABCBC=AM=2A

2、O,即AO = BC延长OA交BC于点H，ABCGAM，2=3， 四边形ABFG是正方形，BAG=90，1+2=1+3=180-BAG=90 AHB=90，即AOBC例2.如图9.56，分别以 ABC 的边 AB、AC 为边，向外作正方形 ABF G 和 ACDE，连接 EG， 若 AHBC，HA 的延长线交 EG 于点 O求证：O 为 EG 中点 证明：作GM丄AO交A0延长线于M, 作ENAO于N,GMO=ENO =90 ，AHBC AHB = 90，1+2 =90，四边形ABFG是正方形，GAB = 90 ， AB = GA，_l+3 = 180-GAB = 90，2 = 3，又AHB=

3、GMO = 90，ABHGAM，GM=AH，同理可证ACHEAN, 得到EN = AH ，GM = EN，又MOG=NOE,GM0=EN0=90,MOG NOEOG = OE,即点O为 EG 中点 基础练1.如图，以ABC的两边AB、AC分别向外作正方形ABDE. ACHG, F为BC中点，连接AF, EG求证：AF= EG.如图，过点A作AF的垂线FF，取AF=AF=AF,分别连接EF、GF,则判定AEFABF的依据为( ),同理可判定AGFACF.A.SAS B. AAS C. SSS由AEFABF,下列说法错误的是( )A. EF = AF B. AEF = ABF C.F=AFB G1

4、 由AEFABF, AGFACF, F是BC中点，下列说法错误的是（ ）A. F + F = 180 B. EF= AF C. EF= GF 由EF1F2G为平行四边形可得( ),结合AF1=AF2=AF,可证得AF=EG. A.EG=F1F2 B.EGF1F2 C.EG=2EF12.已知, ABC中，AB = 6,AC = 4, M是BC的中点,分别以AB、AC为边向外作正方形ABDE ,正方形ACFG,连接EG, MA的延长线交 EG于点N,如图 1,若BAC = 90 ,求证：AM = EG, AMEG；将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图2,(1)中结论_(填“成立”或“不成 立”)

5、，请说明理由；将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B,C, F三点在一条直线上,并可知AN =_(直接写出).19.正方形组图（下）答案基础练1.A A B A证明：如图，过点A作AF的垂线F1F，取 AF = AF2 = AF,分别连接EF、GF2F2AF = 90,正方形ACHG,AC = AG, GAC = 90l + 3 = 2 + 3 1 = 2在AGF与ACF中AG = AC1 = 2 AGF2 ACF(SAS)AF2 = AF同理可得AEFABFF= AFB, EF= BF F=AFB, EF= BF ,F= AFC, GF= CFF是BC中点 BF = CF EF= GF2, A

6、FB+AFC=180,F+F=180EFGF2 ,四边形EF1F2G为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）,EG =F1F2 F1F2 = AF1 + AF2 = 2AF ,EG = 2AF,即AF=EG2. 第一步：证明ABCAEG(SAS) 如图，四边形ABDE,四边形ACFG均为正方形,BAE = CAG = 90 = BAC = EAG,且AB = AE, AC = AG,在ABC和AEG中，AB = AEBAC = EAG,ABCAGE(SAS),AC = AGBC = EG, CBA = AEG第二步：证明AM = EG, AMEG； M是BC的中点，AM = BM

7、 = BC,AM = EG, MBA = MAB = AEN ANE = 180 - (NEA + EAN)=180- (BAM + EAN)=180- (180 - 90)=90 ,AM EG.成立，如图，延长AM到H,使得AM = MH,连接BH第一步：证明ACMHBM(SAS). 得出 HBA + CAB = 180在ACM和HBM中，AM = HMAMC = HMB,ACMHBM(SAS)CM = BMBH = AC, BHM = CAM,AC/BH,HBA + CAB = 180 第二步：证明 EAGABH(SAS),得出 AM = EG 四边形ABDE,四边形ACFG均为正方形，B

8、AE = CAG = 90 ,BAC + EAG = 180 , ABH = EAG, 且AB = AE, AC = AG, BH = AG, 在EAG和 ABH中， AE = ABEAG = ABH, EAGABH(SAS)AG = BHEG = AH, GEA = HAB,AM = AH, EG = AH，AM = EG第三步：证明AMGEANE = 180-(NEA + EAN)=180- (HAB +EAN)=180- (180- 90)=90 ,AM 丄 EG如图，当点F在BC的延长线上时，作CH AM于H.易证：ANGCHA,可得AN = CH.在RtACM中, ：AC = 4, CM = AM =，AMCH=ACCM, CH=, AN=如图，当点F在线段BC上时，同法可得AN=CH=综上所述，AN的值为.