2020年中考数学 压轴综合题汇编练习 二次函数 （含答案）.docx

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1、2020中考数学 压轴综合题汇编 二次函数 （含答案）1. 如图，抛物线yx2x2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.第1题图 (1)求点A，B，C的坐标；(2)将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD.求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似，若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当y0时，0x2x2，解得：x11，x24，则A(1，0)，B(4，0)，当x0时，y2，故C(0，2)；(2)如解图，过点D作DEx轴于点E，将ABC绕AB中点M旋转180得到BAD，DECO2，AOBE1

2、，OEOBBE413，D(3，2)；四边形ADBC是矩形理由如下：将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD，ACBD，ADBC，四边形ADBC是平行四边形，AC，BC2，AB5，AC2BC2AB2，ACB是直角三角形，ACB90，平行四边形ADBC是矩形；第1题解图 (3)存在满足条件的点P的坐标为(1.5，1.25)、(1.5，1.25)、(1.5，5)、(1.5，5)【解法提示】由题意可得：BD，AD2，则，当BMPADB时，BM2.5，PM1.25，故P1(1.5，1.25)或P2(1.5，1.25)，当BMPBDA时， ，BM2.5，PM5，可得P3(1.5，5)或P4(1.5，5)

3、，综上所述，点P的坐标为(1.5，1.25)，(1.5，1.25)，(1.5，5)，(1.5，5)2. 已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(1，0)，B(m，0)，与y轴交于点C.(1)若m3，求抛物线的解析式，并写出其对称轴；(2)如图，在(1)的条件下，设抛物线对称轴交x轴于点D，在对称轴左侧抛物线上有一点E，使SEACSDAC，求点E的坐标；(3)如图，设F(1，4)，FGy轴于点G，在线段OG上是否存在点P，使OBPFPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由第2题图解：(1)当m3时，点B的坐标为(3，0)，把A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc中得，解得，抛物线的解

4、析式为yx22x3，对称轴为x1；(2)如解图，连接AC，第2题解图点A(1，0)，C(0，3)，设AC的函数表达式为ykxb，将A、C坐标代入得，解得，直线AC解析式为y 3x3，过点D(1，0)且平行于AC的直线L1为：y3x3，直线AC向上平移6个单位得到直线L1，将直线AC向上平移620个单位得到直线L2：y3x17，联立方程组 ， 解得，(不合题意，舍去)点E坐标为(4，5)；(3)设点P(0，y)，第2题解图当m0时，如解图所示，则POBFGP，得，my24y(y2)24，4y0，4m0时，如解图所示，第2题解图易证POBFGP，得，m y2 4y (y2)24，4y0，0m4，综

5、上所述，m的取值范围是4m4，且m0.3. 如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由解：(1)根据题意得A(4，0)，C(0，2)，yx2bxc过A、C两点，yx2x2；(2)如解图，令y0，则x2x20，第3题

6、解图x14，x21，B(1，0)，过D作DMx轴交AC于M，过B作BNx轴交AC于N，DMBN，DMEBNE，令D(a，a2a2)，M(a，a2)，DM a2a2(a2)a22a，B(1，0)，N(1，)，BN，(a2)2，当a2时，取最大值为；第3题解图 如解图，A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)，由勾股定理得AC2，BC，AB5，AC2BC2AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB中点P，连接CP，P(，0)，PAPCPB，CPO2BAC，tanCPOtan(2BAC).情况1：如解图，作QAAC，QHAH，当DCF2BAC时，即QCA2BAC，tanQCA，AQ，AHQC

7、OA90，HQAQAH90，QAHCAO90，HQACAO，AHQCOA.，即，AH，HQ，Q(，)，又C(0，2)，设直线QC的解析式为ymxn，将Q、C坐标代入ymxn中得，解得QC：yx2，联立直线QC与抛物线的解析式，得，解得x10(舍)，x22，xD2；情况2：如解图，当FDC2BAC时，作QADF，Q在CD延长线上，QHx轴于点H，第3题解图 即AQC2BAC，tanAQC，AQ，QHAAOC，AH，HQ3，OHAOAH4，Q(，3)，又C(0，2)，设直线QC的解析式为y mxn，将Q、C坐标代入ymxn中得，解得，QC：yx2，联立直线QC与抛物线的解析式得，解得x10(舍去)

8、，x2，xD，综上所述，D点的横坐标为2或.4. 如图，已知二次函数y1 x2bxc的图象与x轴交于B(2，0)、C两点，与y轴交于点A(0，6)，直线AC的函数解析式为y2 mxn.第4题图 (1)求二次函数的解析式；(2)过线段OC上任意一点(不含端点)作y轴的平行线，交AC于点E，与二次函数图象交于点F，求线段EF的最大值；(3)在抛物线上是否存在一点P，使得ACP是以AC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)二次函数y1 x2bxc的图象过点A(0，6)，点B(2，0)，解得，二次函数的解析式为y1 x22x6；(2)y1 x22x6的对称轴为直线x

9、 2，又B(2，0)与C关于直线x 2对称，C(6，0)，将点A(0，6)，点C(6，0)代入直线AC的函数解析式y2 mxn，得，解得，直线AC的函数解析式为y2 x6，点E在AC上，点F在抛物线上，设E(x，x6)，则F(x，x22x6)，0x6，且EF平行于y轴，EF (x6)(x22x6) x23x (x3)2，当x 3时，EF有最大值；(3)假设在抛物线上存在一点P，使得ACP是以AC为底边的等腰三角形， 如解图，设AC中点是Q，第4题解图A(0，6)，C(6，0)，Q(3，3)，PA PC，AQ CQ，OA OC，PQ经过原点(0，0)，设直线PQ的解析式为y kx, 把Q(3，3

10、)代入，得3 3k，解得k 1，直线PQ的解析式为y x，联立得，解得或，故所求点P的坐标为P1(1，1)，P2(1，1)5. 如图，直线y x2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax2bx2经过点A、B、C，且点B的坐标是(1，0)(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC上一个动点，DEAC，交直线AC下方的抛物线于点E，EGx轴于点G，交AC于点F，请求出DF的最大值；(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点H，点P是射线CH上的一点，当ABP是直角三角形时，请直接写出点P的坐标. 第5题图解：(1)由y x2知，A(4，0)，抛物线y ax2bx2经过A(4，0)、B(1，0)两

11、点，解得，抛物线的解析式为y x2x2；(2)EFx轴，点E在抛物线上，点F在线段AC上，设点E的坐标是(m，m2m2)(0m4)，则点F的坐标是(m，m2)，EF (m2)(m2m2)m22m(m2)22，由y x2知，C(0，2)，在RtOAC中，AC 2，OCAC1，由题意得，FDECOA 90，FEDCAO，EFDACO，DFEF OCAC1，DF(m2)2(0m4)，当m 2时，DF取得最大值；(3)点P的坐标为(0，2)，(3，2)，(4，)【解法提示】A(4，0)，B(1，0)，H(，0)，设直线CP的解析式为y mxn，把C(0，2)，H(，0)，代入得，解得，射线CH的解析式

12、为y x2(x0)，当BPA 90时，如解图，设P(t，t2)，则PB2 (t1)2(t2)2，PA2 (t4)2(t2)2, PB2PA2 AB2，(t1)2(t2)2(t4)2(t2)2 52，整理得t23t 0，解得t1 0，t2 3，此时P点坐标为(0，2)或(3，2)；当BAP 90时，如解图，则PAx轴，P点的横坐标为4，当x 4时，y x2 ，则P(4，)，第5题解图综上所述，满足条件的P点坐标为(0，2)或(3，2)或(4，)6. 如图，对称轴为直线x 的抛物线经过B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线

13、上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图，若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在一点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由第6题图解：(1)抛物线的对称轴为直线x ，设抛物线的解析式为：y a(x)2k(a0)， 抛物线经过点B(2，0)，C(0，4)，解得：，抛物线的解析式为：y2(x)2，化为一般式为y2x22x4.(2)在第一象限内抛物线上取一点P，连接CP，BP，AC，过点P作PFx轴于点F，交BC于点E，如解图，第6题解图设直线BC的解析式为y dxt(d0)，直线经过点B(2，0)，C(0，4)，解得，直线

14、BC的解析式为y2x4，P为第一象限内抛物线上一点，设P点坐标为(n，2n22n4)，则E点坐标为(n，2n4)，PE PFEF 2n22n42n4 2n24n，SBPC SBPESCPE PEBFPEOF PEOB2n24n，S四边形COBPSOCBSBPC 242n24n2(n1)26，当n 1时，S四边形COBP最大 6，(3)存在点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形点Q坐标为(48，0)或(，0)理由如下：分以下两种情况：(i)如解图所示：当BQM 90时，第6题解图CMQ90，只能CM MQ，由(2)得：直线BC的解析式为y 2x4.设M点坐标为(m，2m4)(0m2)，则

15、MQ 2m4，OQ m，BQ 2m，在RtOBC中，BC 2，MQOC，QMB OCB，MQB COB，BMQBCO， ，即 ，BM (2m) 2m，CM BCBM 2(2m) m，CM MQ，2m4 m，m 48，Q(48，0)(ii)如解图所示：当QMB 90时，第6题解图CMQ 90，只能CM MQ，设M(m，2m4)(0m2)，过点M作MNx轴于N，则ON m，MN 2m4，NB 2m，由(i)得：BM 2m，CM m，QBM OBC，QMB COB 90，RtBOCRtBMQ， ，即 ，MQ 2(2m) 42m，m 42m，m ，M(，)，MNx轴于N，QMBC，QMNNMB 90，

16、NMBNBM 90，QMN NBM，又BNM MNQ 90，RtBNMRtMNQ， ，即 ，NQ ，OQ NQON ，Q(，0)综上所述，符合条件的点Q为(48，0)或(，0)7. 如图，抛物线y ax23xc经过A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；(3)在(2)在条件下，m的最大值为抛物线上点D的纵坐标(D不与C重合)，在x轴上找一点E，使以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点坐标第

17、7题图解：(1)抛物线y ax23xc经过A(1，0)，B(4，0)两点，解得：a 1，c 4.抛物线的解析式为y x23x4.(2)将x 0代入抛物线的解析式得：y 4，C(0，4)设直线BC的解析式为y kxb.将B(4，0)，C(0，4)代入得：，解得：k 1，b 4，直线BC的解析式为：y x4.过点P作x的垂线与直线BC交于点Q，如解图：第7题解图点P的横坐标为t，P(t，t23t4)，Q(t，t4)PQt23t4(t4)t24t.mt24t(t2)24(0t4)当t 2时，m的最大值为4；(3)点E为(1，0)或(7，0)【解法提示】将y 4代入抛物线的解析式得：x23x4 4.解

18、得：x1 0，x2 3.点D与点C不重合，点D的坐标为(3，4)又C(0，4)，CDx轴，CD 3.当BE CD 3时，以B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形点E(1，0)或(7，0)8. 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(1，0)、B(3，0) 和C(0，3)第8题图 (1)求抛物线的解析式；(2)设点P是x轴上一动点，以CP为边，在CP的右侧作正方形CPQM.设P点的坐标为(t，0)，用含t的代数式表示Q点的坐标；(3)在(2)的条件下，随着点P的运动，是否存在这样的正方形CPQM，有两个顶点同时在抛物线上，如果存在，请求点P的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)设抛物

19、线的解析式为：ya(x1)(x3)，代入点C(0，3)，得33a.a1，y(x1)(x3)x22x3，抛物线的解析式为yx22x3；(2)如解图，过点Q作QEx轴，垂足为点E.第8题解图四边形CPQM是正方形，PCPQ，CPQPQM90，CPOEPQEPQPQE90，CPOPQE，CPOPQE(AAS)，PEOC3，QEOP，点P的坐标为(t，0)，点Q的坐标为(t3，t)；(3)存在理由如下：如解图，过点M作MFy轴，垂足为点F，与(2)同理可以证出CPOMCF，FMOC3，CFOP，点M的坐标为(3，3t)已知点C在抛物线上，则当点P在抛物线上时，则点P与点A或与点B重合，此时t1或3；当

20、点Q在抛物线上时，把点Q(t3，t)代入y x22x3，得t(t3)22(t3)3，解得：t10，t25；当点M在抛物线上时，把点M(3，3t)代入yx22x3，得3t963，解得t3.综上，当点P的坐标分别为(5，0)、(3，0)、(1，0)、(0，0)、(3，0)时，正方形CPQM有两个顶点同时在抛物线上9. 如图，直线y -x3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y ax2bxc与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x 2.第9题图 (1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB、PC，求PBC的面积；(3)连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P、B、Q为顶点

21、的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)y x3与x轴、y轴相交于B、C两点，C(0，3)，B(3，0)，抛物线的对称轴为：x 2，可设二次函数的解析式为：y a(x2)2k(a0)，把B(3，0)、C(0，3)两点代入，得，解得，抛物线的解析式为：y (x2)21，即y x24x3.(2)y x24x3 (x2)21，P(2，1)，又B(3，0)、C(0，3)，PC2 2242 20，PB2 (32)212 2，BC2 3232 18.PB2BC2 PC2，PBC是直角三角形SPBC PB BC 33.(3)设存在点Q(m，0)，使得以点P、B、Q为顶点的

22、三角形与ABC相似，易证ABC ABP 45，Q点在B点左边，则m3，于是AB 2，BC 3，BQ 3m，BP ，当 时，QBPABC，则 ，解得m ，Q(，0)；当 时，PBQABC，则 ，解得m 0，Q(0，0)，故存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似NQ点的坐标为Q(，0)或Q(0，0)10. 在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线yax2(a0)上两个不同的动点，其中A在第二象限，B在第一象限第10题图(1)如图所示，当直线AB与x轴平行，AOB90且AB2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；(2)如图所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平

23、行，AOB仍为90时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若直线y2x2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且BPCOCP，求点P的坐标解：(1)如解图，抛物线关于y轴对称，ABx轴，AB2，第10题解图ACBC1，AOB90，ACBCOC，A(1，1)，B(1，1)，xA xB111.把B(1，1)，代入yax2，得a1，抛物线解析式为yx2；(2)A、B两点的横坐标的乘积是1.证明：如解图，过点A、B作AM、BN分别垂直x轴于点M、N，第10题解图设B(b，b2)，A(c，c2)，AOB90，AOMOAMA

24、OMBON，OAMBON，又AMOONB90，AOMOBN，即，b2c2bc，b、c均不能为0，bc1，即A、B两点的横坐标的乘积是1；(3)如解图，作PGy轴于点G，第10题解图设直线AB解析式为ykxt，A(c，c2)，B(b，b2)，bc 1，A(，)，把B(b，b2)，A(，)代入直线AB解析式ykxt，得，得b2bkk，(b)(b)(b)k，b0，kb，把kb代入，得b2b21t，t1，即D(0，1)，当x0时，y2x22，即C(0，2)，设P(x，2x2)，则PGx，OG2x2，DC3，GD OGOD2x3，BPCOCP，DPDC3，在RtPGD中，PG2DG2PD2，即x2(2x3)29，解得x10(舍去)，x2，y2x2，P(，).