2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.2.1正弦函数余弦函数的性质一.docx

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1、第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)1了解周期函数、周期、最小正周期的定义2会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期3掌握函数ysinx，ycosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性1周期函数(1)周期函数的概念(2)最小正周期温馨提示：对周期函数的三点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ且n0)也是f(x)的周期(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)C(C为常数，xR)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1生活中，有很多“周而复始

2、”的现象，你能举出几个常见的例子吗？答案每天的日出日落，四季更替，每周上课用的课程表等2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)由于sinsin，则是函数ysinx的一个周期()(2)因为sinsin，所以函数ysin的周期为4.()(3)对任意实数x，若有f(x1)f(x)，则f(x)是周期函数，T1是f(x)的一个周期()(4)函数ysin是奇函数()答案(1)(2)(3)(4)题型一正、余弦函数的周期性【典例1】求下列函数的最小正周期(1)f(x)cos；(2)f(x)|sinx|.思路导引求三角函数周期时可利用定义f(xT)f(x)，也可用公式T，还可以利用图象求解解(1)解法一：

3、定义法f(x)coscoscosf(x)，即f(x)f(x)，函数f(x)cos的最小正周期为.解法二：公式法ycos，2.又T.函数f(x)cos的最小正周期为.(2)解法一：定义法f(x)|sinx|，f(x)|sin(x)|sinx|f(x)，f(x)的最小正周期为.解法二：图象法函数y|sinx|的图象如图所示，由图象可知最小正周期为.求三角函数最小正周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解(2)公式法，对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期针对训练1求下列函数的周期(1)y3sin；(2)y|cos

4、x|.解(1)y3sin，.又T4，函数y3sin的周期T4.(2)f(x)|cosx|，f(x)|cos(x)|cosx|cosx|f(x)，f(x)|cosx|的周期T.题型二正、余弦函数的奇偶性【典例2】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin；(2)f(x)sin|x|；(3)f(x).思路导引首先看定义域是否关于原点对称，再看f(x)与f(x)之间的关系解(1)因为函数的定义域为R，f(x)sincos，所以f(x)coscosf(x)，所以函数f(x)sin是偶函数(2)因为函数的定义域为R，f(x)sin|x|sin|x|f(x)，所以函数f(x)sin|x|是偶函数(3)由得c

5、osx1，所以x2k(kZ)，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数判断函数奇偶性应把握好2个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(x)的关系对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断要特别注意化简前后式子的等价性针对训练2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)xsin；(2)f(x)；(3)f(x)sin.解(1)函数f(x)xsin的定义域为R.f(x)xsinxcosx，f(x)(x)cos(x)xcosxf(x)，f(x)是奇函数(2)函数应满足1sinx0，函数的定义域为.函数的定义域不关于原点对称，该函数既不是奇函数也不

6、是偶函数(3)f(x)sincos2x，定义域为R.f(x)cos(2x)cos2xf(x)，f(x)是偶函数.题型三正、余弦函数周期性与奇偶性的应用【典例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sinx，求f的值思路导引解决此类问题的关键是利用函数的周期性与奇偶性，将x化到可求值区间内解f(x)的最小正周期是，fff.f(x)是R上的偶函数，ffsin.f.变式本例中的“偶函数”改为“奇函数”其他条件不变结果如何？解f(x)最小正周期为，fff.f(x)为奇函数，ffsin，f.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性

7、，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值利用奇偶性，可以找到x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题针对训练3函数f(x)sin是周期为_的_(奇或偶)函数解析f(x)sinsincos2x，周期T，ycos2x为偶函数故f(x)是周期为的偶函数答案偶课堂归纳小结1求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T，如y|sinx|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，0，xR)的周期T.2.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)

8、正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用.1函数y2sinx5的最小正周期是()A.B C2 D4解析函数y2sinx5的最小正周期就是函数ysinx的最小正周期，即2，故选C.答案C2函数ycos的奇偶性为()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数，又是偶函数解析函数的定义域为R，且ycossinx，故所给函数是奇函数答案A3已知函数f(x)sin1，则下列命题正确的是()Af(x)是周期为1的奇函数Bf(x)是周期为2的偶函数Cf(x

9、)是周期为1的非奇非偶函数Df(x)是周期为2的非奇非偶函数解析f(x)sin1sin1cos(x)1T2，而f(x)f(x)，f(x)为偶函数答案B4定义在R上的函数f(x)周期为，且是奇函数，f1，则f的值为()A1 B1 C0 D2解析由题意得ffff1.答案B5函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是_解析由题意得2，k4.正整数k的最小值为4.答案4课后作业(四十四)复习巩固一、选择题1下列函数中，周期为的是()AysinxBysin2xCycosDycos4x解析T，|4，而0，4.答案D2函数y4sin(2x)的图象关于()Ax轴对称B原点对称Cy轴对称D

10、直线x对称解析y4sin(2x)4sin2x，奇函数图象关于原点对称答案B3函数f(x)3sin是()A周期为3的偶函数B周期为2的偶函数C周期为3的奇函数D周期为的偶函数解析f(x)3sin3sin3sin3cosxT3，而f(x)f(x)，则f(x)为偶函数答案A4设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x), f(x2)f(x)，则函数yf(x)的图象是()解析由f(x)f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称由f(x2)f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.答案B5函数y的奇偶性为()A奇函数B既是奇函数也是偶函数C偶函数D非奇非偶函数解析由题意知，当1sinx0，即sinx1时

11、，y|sinx|，所以函数的定义域为，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数答案D二、填空题6函数f(x)sin的最小正周期为，其中0，则_.解析依题意得，10.答案107f(x)sinxcosx是_(填“奇”或“偶”)函数解析xR时，f(x)sin(x)cos(x)sinxcosxf(x)，即f(x)是奇函数答案奇8若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)则f_.解析T，fffsin.答案三、解答题9判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos2x；(2)f(x)sin2；(3)f(x)xcosx.解(1)因为xR，f(x)cos(2x)cos2xf(x)，所以f(x

12、)cos2x是偶函数(2)因为xR，f(x)sin2cos2，所以f(x)cos2cos2f(x)，所以函数f(x)sin2是偶函数(3)因为xR，f(x)xcos(x)xcosxf(x)，所以f(x)xcosx是奇函数10已知函数ycosx|cosx|.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期解(1)ycosx|cosx|函数图象如图所示(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2.综合运用11若函数f(x)sin是偶函数，则的一个取值为()A2010 BCD解析当时，f(x)sincosx为偶函数，故选D.答案D12函数ycos(sinx)的最小正

13、周期是()A.B C2 D4解析ycossin(x)cos(sinx)cos(sinx)函数ycos(sinx)的最小正周期为.答案B13函数f(x)sin1的图象关于_对称(填“原点”或“y轴”)解析f(x)sin1cos2x1，f(x)f(x)，f(x)是偶函数偶函数图象关于y轴对称，f(x)图象关于y轴对称答案y轴14函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(1)1，则sin_.解析函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(1)1，f(5)f(41)f(1)f(1)1，则原式sinsin1.答案115已知f(x)是以为周期的偶函数，且x时，f(x)1sinx，当x时，求f(x)的解析式解x时，3x，因为x时，f(x)1sinx，所以f(3x)1sin(3x)1sinx.又f(x)是以为周期的偶函数，所以f(3x)f(x)f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)1sinx，x.