2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.2两角和与差的正弦余弦公式.docx

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1、第2课时两角和与差的正弦、余弦公式1掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式2会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等3熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法1两角和与差的余弦公式cos()coscossinsin，简记为：C()cos()coscossinsin，简记为：C()温馨提示：(1)记忆口诀：“余余正正，符号异”；(2)，R.2两角和与差的正弦公式sin()sincoscossin，简记为：S()sin()sincoscossin，简记为：S()温馨提示：(1)公式中，R.记忆口诀：“

2、正余余正，符号同”(2)，R.1由公式C()可以得到sin()的公式吗？答案可以sin()coscossincoscossin2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sinsin成立()(3)对于任意，R，sin()sinsin都不成立()(4)把公式cos()coscossinsin中的用代替，可以得到cos()()答案(1)(2)(3)(4)题型一给角求值【典例1】求值：(1)cos75；(2).思路导引(1)将75写成3045，再利用两角和的余弦公式求解；(2)观察题目中出现的角的关系，把47写成1730，

3、然后运用公式求值解(1)cos75cos(3045)cos30cos45sin30sin45.(2)原式sin 30.解决给角求值问题的方法对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值要善于逆用或变用公式针对训练1求值：(1)sin14cos16sin76cos74；(2)(tan10).解(1)原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin16sin(1416

4、)sin30.(2)解法一：原式(tan10tan60)2.解法二：原式2.题型二给值求值【典例2】已知，0，cos，sin，求sin()的值思路导引先确定及的范围，再求出sin和cos的值，将用与表示，最后代入公式求解解，sin.0，cos，sin()sin()sin.变式若本例条件不变，求cos()的值解由典例的解法可知，sin，cos，sinsincoscossin.又sinsincos()，从而cos().给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角

5、时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角针对训练2已知，cos()，sin()，求cos2与cos2的值解，0，.sin()，cos().cos2cos()()cos()cos()sin()sin()，cos2cos()()cos()cos()sin()sin().题型三给值求角【典例3】设，为钝角，且sin，cos，则的值为()A. B. C. D.或思路导引由角、的范围及角的正弦，可求角的余弦，由角的余弦，可求得角的正弦，再利用两角和的余弦公式求角，注意角的范围解析，为钝角，sin，cos，由cos，得sin，cos()cosco

6、ssinsin.又2，.故选C.答案C(1)解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，)，则选余弦函数针对训练3已知：，且cos()，sin，求角的大小解因为，所以(0，)由cos()，知sin().由sin，知cos.所以sinsin()sin()coscos()sin.又，所以.题型四辅助

7、角公式【典例4】化简：(1)(cosxsinx)；(2)3sinx3cosx.思路引导将asinxbcosx化成sin(x)形式解(1)(cosxsinx)22cos.(2)3sinx3cosx666cos.辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式asinbcossin()(或asinbcos)cos()，将形如asinbcos(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质针对训练4函数f(x)sinxcos的值域为()A2,2 B，C1,1 D，解析f(x)sinxcoss

8、inxcosxsinxsinxcosxsin，所以函数f(x)的值域为，故选B.答案B课堂归纳小结1两角和与差公式的理解、记忆(1)公式间的逻辑关系(2)公式的结构特征和符号规律对于公式C()，C()可记为“同名相乘，符号异”；对于公式S()，S()可记为“异名相乘，符号同”2应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin

9、2cos2，1sin90，cos60，sin60等，再如：0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.1sin105的值为()A.B.C.D.解析 sin105sin(9015)cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30.所以D选项是正确的答案D2sin45cos15cos225sin15的值为()A B C. D.解析原式sin45cos15cos(18045)sin15sin45cos15cos45sin15sin(4515)sin30答案C3已知cos()，sin(其中，(0，)，则sin()的值为()A.B.C.D.解析由cos()，sin，

10、得cos，cos，因为，(0，)，所以sin，sin.所以sin()sincoscossin.故选A.答案A4sincos_.解析原式2.解法一：原式222sin2sin.解法二：原式222cos2cos.答案5当函数ysinxcosx(0x2)取得最大值时，x_.解析函数ysinxcosx2sin，当0x2时，x，所以当y取得最大值时，x，所以x.答案课后作业(四十九)复习巩固一、选择题1在ABC中，A，cosB，则sinC等于()A. B C. D解析cosB，B为锐角sinB.又sinCsin(AB)sin(AB)sincosBcossinB答案A2计算cos(802)cos(652)s

11、in(802)sin(652)的值为()A.B.C.D.解析原式cos(802)(652)cos15cos(4530).答案C3.sin15cos15的值为()A. B C. D解析原式sin30sin15cos30cos15(cos30cos15sin30sin15)cos(3015)cos45.答案B4已知sin，cos()，且，则sin等于()A B. C D.解析因为sin，cos()，且，所以cos，sin().sinsin()sin()coscos()sin，故选D.答案D5已知cossin，则sin的值是()A B. C D.解析因为cossin，所以cossin，所以sin.所

12、以sinsin，故选C.答案C二、填空题6形如的式子叫做行列式，其运算法则为adbc，则行列式的值是_解析coscossinsincoscos0.答案07若cos()，cos()，则tantan_.解析由得解得所以tantan.答案8A，B均为锐角，cos(AB)，sin，则sin_.解析因为A，B均为锐角，cos(AB)，sin，所以0AB，可得sin(AB)，cos，可得sinsin.答案三、解答题9已知sin()coscos()sin，是第三象限角，求sin的值解sin()coscos()sinsin()coscos()sinsin()sin()sin，sin，又是第三象限角，cos.s

13、insincoscossin.10化简：sin2sincos.解原式sinxcoscosxsin2sinxcos2cosxsincoscosxsinsinxsinxcosxsinxcosxcosxsinxsinxcosx0.综合运用11在ABC中，2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形解析在ABC中，C(AB)，2cosBsinAsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB.sinAcosBcosAsinB0，即sin(BA)0，AB.故选A.答案A12若sinxcosx4m，则实数m的取值范围是()A2m6 B6m6C2m0，所以0.所以sin，cos()，sin(2)sin()sincos()cossin().(2)coscos()coscos()sinsin()，又因为，所以.