2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2.2三角恒等变换的应用.docx

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1、第2课时三角恒等变换的应用题型一三角恒等变换与三角函数性质的综合【典例1】已知函数f(x)sin2sin2(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合思路导引先降幂，再用辅助角公式化为Asin(x)的形式，从而研究三角函数的性质解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，f(x)的最小正周期为T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk(kZ)，所求x的集合为.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、

2、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障针对训练1已知函数f(x)2sin(x3)sin2sin21，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos2x0的值解f(x)(2sinxcosx)(2cos2x1)sin2xcos2x2sin.(1)f(x)的最小正周期为；最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知f(x0)2sin.又f(x0)，sin.由x0，得2x0，cos，cos2x0coscoscossinsin.题型二三角恒等变换在实际生活中的应用【典例2】有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上

3、划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？思路导引在AOB中利用AOB表示OA，AB的长，然后表示出矩形面积：2OAOB，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值解画出图象如右图所示，设AOB，则ABasin，OAacos.设矩形ABCD的面积为S，则S2OAAB，即S2acosasina22sincosa2sin2.，2(0，)，当2，即时，Smaxa2，此时，A，D距离O点都为a.解决实际问题应首先设定主变量角以及相关的常量

4、与变量，建立含有角的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决针对训练2.某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)解连接OC，设COB，则00，aR)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.则的值为()A1 B. C. D.解析f(x)cos2xsin2xasina，依题意得2，解之得.答案B5已知函数f(x)，则()A函数f(x)的最大值为，无最小值B函数f(x)的最小值为，最大值为0C函数f(x)的最大值为，无最小值

5、D函数f(x)的最小值为，无最大值解析因为f(x)tanx，0x，所以函数f(x)的最小值为，无最大值，故选D.答案D二、填空题6函数f(x)sin2sin2x的最小正周期是_解析f(x)sin2xcos2x(1cos2x)sin2xcos2xsin，所以T.答案7在ABC中，若3cos25sin24，则tanAtanB_.解析因为3cos25sin24，所以cos(AB)cos(AB)0，所以cosAcosBsinAsinBcosAcosBsinAsinB0，即cosAcosB4sinAsinB，所以tanAtanB.答案8f(x)sin3cosx的最小值为_解析f(x)cos2x3cosx

6、2cos2x3cosx1221cosx1，当cosx1时，f(x)min4.答案4三、解答题9已知函数f(x)(2cos2x1)sin2xcos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值解(1)f(x)(2cos2x1)sin2xcos4xcos2xsin2xcos4x(sin4xcos4x)sin，f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)f()，sin1，4.4，故.10已知f(x)5sinxcosx5cos2x(xR)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)的对称轴、对称中心解f(x)sin2x5sin2xcos2x5sin.(1)f(x)的单调递增区间

7、是(kZ)(2)对称轴方程是：xk，(kZ)；对称中心为(kZ)综合运用11函数ycos2sin21()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数解析y1sin2x，是奇函数故选A.答案A12在ABC中，若sinAsinBcos2，则ABC是()A等边三角形B等腰三角形C不等边三角形D直角三角形解析由已知得，sinAsinB，又cosCcos(AB)，2sinAsinBcos(AB)1，cos(AB)1，0A，0B，AB，AB0，ABC是等腰三角形，故选B.答案B13.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形

8、的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于_解析题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则有所以两条直角边的长分别为3,4.则cos，cos22cos21.答案14已知AB，那么cos2Acos2B的最大值是_，最小值是_解析AB，cos2Acos2B(1cos2A1cos2B)1(cos2Acos2B)1cos(AB)cos(AB)1coscos(AB)1cos(AB)，当cos(AB)1时，原式取得最大值；当cos(AB)1时，原式取得最小值.答案15.某高校专家楼前现有一块矩

9、形草坪ABCD，已知草坪长AB100米，宽BC50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且EHF为直角，如图所示(1)设CHEx(弧度)，试将三条路的全长(即HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)解(1)在RtCHE中，CH50，C90，CHEx，HE.在RtHDF中，HD50，D90，DFHx，HF.又EHF90，EF，三条路的全长(即HEF的周长)L.当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x；当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x.故此函数的定义域为.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求HEF的周长L的最小值即可由(1)得L，x，设sinxcosxt，则sinxcosx，L.由tsinxcosxsin，x，得t，从而11，当x，即CE50时，Lmin100(1)，当CEDF50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元