2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用.docx

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1、45.3函数模型的应用1能利用已知函数模型求解实际问题2了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性1常见的函数模型建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见的以下函数模型：指数函数模型：ybaxc(a0且a1，b0)对数函数模型ymlogaxn(a0且a1，m0)2常见的图象对应的数学模型(1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选ybaxc(b0，a0，a1)模型(2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选yblogaxc(b0，a0，a1)模型(3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3

2、)，常选二次函数yax2bxc(a0)模型(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数ykxb(k0)模型1关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？答案指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律直线型的函数增长速度均匀不变2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法()(2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性()(3)函数y3x1属于幂函数模型()(4)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为y2x1.()答案

3、(1)(2)(3)(4)题型一利用已知函数模型解决实际问题【典例1】我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式：LI10lg(单位为分贝，LI0，其中I011012，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是11012 W/m2，耳语的强度是11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1108 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下试求声音强度I的范围解(1)由题意可知

4、树叶沙沙声的强度是I111012 W/m2，则1，LI110lg10，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I211010 W/m2，则102；LI210lg10220，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I31108 W/m2，则104，LI310lg10440，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝(2)由题意知0LI50，即010lg50，1105，即1012I85，即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.题型二自建函数模型解决实际问题【典例2】目前某县有100万人，经过x年后为y万人如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析

5、式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)思路导引已知条件中年平均增长率为1.2%，建立指数模型求解解(1)当x1时，y1001001.2%100(11.2%)；当x2时，y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；当x3时，y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3；故y关于x的函数解析式为y100(11.2%)x(xN*)(2)当x10时，y100(11.2%)101001.01210112.7.故10年后该县约有112.7万人(3)设x年后该县的

6、人口总数为120万，即100(11.2%)x120，解得xlog1.01215.3.因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万可以用指数函数模型来解决的几类问题在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式针对训练2一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.已知到今年为止，森林面积为a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)由题意得a(1p%)10，即(1p%)10题型三拟

7、合数据构建函数模型解决实际问题【典例3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？思路导引借

8、助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解决问题解(1)描点、作图，如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型yabx(a，b为常数且b0)取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可得a2.2，b1.8.这样，得到一个函数模型：y2.21.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由(2)得到的函数模型为y2.21.8x.则由y2.21.825，求得y47.2，即当最大积雪深度

9、为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷变式若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为30 cm，问可以灌溉土地多少公顷？解由(2)得到的函数模型为y2.21.8x，则由y2.21.830，求得y56.2，即当最大积雪深度为30 cm时，可以灌溉土地约为56.2公顷建立拟合函数的方法策略根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题针对训练3某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201620172018产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2016、2017、2018、20

10、19定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？解建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42，则g(x)x42，故g(4)44244.4，与计划误差为1.4.由可得，f(x)x27x模型能更

11、好地反映该公司年销量y与年份x的关系1某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()Ay0.2xBy(x22x)CyDy0.2log16x解析当x1时，否定B；当x2时，否定D；当x3时，否定A，故选C.答案C2在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为()解析由题意可知函数模型为指数函数，故选D.答案D3一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t

12、(h)的关系用图象表示为图中的()答案B4一种产品原来的成本价为a元，计划每年降低p%，则成本y随年数x变化的函数关系式是_解析当x1时，ya(1p%)；当x2时，ya(1p%)2；当x3时，ya(1p%)3；.故成本y随年数x变化的函数关系式是ya(1p%)x.答案ya(1p%)x5.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1aent，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过_分钟，桶1中的水只有 L.解析由题意，可得ae5n，nln2，令aetln2，得t15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有 L.答案10

13、课后作业(三十六)复习巩固一、选择题1一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A.B.C.1 D.1解析设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1x)11ma，所以1x，即x1.答案D2有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()Aulog2tBu2t2CuDu2t2解析可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它散点图如图所示由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当

14、t3时，2t22326，排除B，故选C.答案C3某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为yalog2(x1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为()A300只B400只C500只D600只解析由题意，知100alog2(11)，得a100，则当x7时，y100log2(71)1003300.答案A4在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1B10Clg10.1D1010.1解析两颗

15、星的星等与亮度满足m2m1lg，令m21.45，m126.7，则lg(m2m1)(1.4526.7)10.1，从而1010.1.故选A.答案A5衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：Vaekt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为()A125B100 C75D50解析由已知，得aae50k，ek.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则aaekt1，(ek)t1，t175.答案C二、填空题6某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是_解析设2010年年产量是

16、a，则2018年年产量是na，设年平均增长率为x，则naa(1x)8，解得x1.答案17某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时解析由题意，得，得e22k(e11k)2，故e11k.故食品在33的保鲜时间是ye33kb(e11k)3eb319224(小时)答案248已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya(0.5)xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件则此厂3月份该产品的产量为_万

17、件解析ya(0.5)xb，且当x1时，y1，当x2时，y1.5，则有解得y2(0.5)x2.当x3时，y20.12521.75(万件)答案1.75三、解答题9燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得05log2.解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得：v5log25log2815(m/s)，即

18、当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.10我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示：生长时间24589高度2.013.013.504.995.47(1)试猜测生长时间与高度之间的函数关系，并近似地写出一个函数关系式；(2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年解(1)设生长时间为x年，高度为y米，根据表格中的数据，在平面直角坐标系中进行描点，如图所示从图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型故所求的函数关系式可设为ykxb(其中k0，xN)把直线通过的两点(5,3.50)和(9,5.47)代入上式，得方程组

19、解得因此所求的函数关系式为y0.4925x1.0375(xN)分别将x2，x4，x8代入上式，得y的相应值分别为2.0225,3.0075,4.9775，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系(2)令0.4925x1.037550，解得x100，即该植物大约要经过100年才能长成高50米的参天大树综合运用11.为了预防甲型H1N1等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为yta(a为常数)，如图所示(1)从药物释放开始，写

20、出y与t的函数关系式；(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室解(1)由图象可知，当0t0.1时，即药物从开始释放到完毕，y10t；当t0.1时，即药物释放完毕，由10.1a，得a0.1，当t0.1时，yt0.1.y(2)由题意可知，t0.10.6，即这次消毒0.66036(分钟)后，学生才能进教室12某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)1(k为正常数)日销售量Q(x)(件)与

21、时间x(天)的部分数据如下表所示：x(天)10202530Q(x)(件)110120125120已知第10天的日销售收入为121百元(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：Q(x)axb，Q(x)a|x25|b，Q(x)abx，Q(x)alogbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该服装的日销售收入f(x)(1x30，xN)(百元)的最小值解(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)Q(10)110121，解得k1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选Q(x)a|x25|b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)125|x25|(1x30，xN)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)125|x25|(1x30，xN)(3)由(2)知当1x25时，yx在1,10上是减函数，在10,25)上是增函数，所以当x10时，f(x)取得最小值，且f(x)min121；当25x30时，yx为减函数，所以当x30时，f(x)取得最小值，且f(x)min124.综上所述，当x10时，f(x)取得最小值，且f(x)min121.从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元