2019-2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5.1全称量词与存在量词.docx

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1、15.1全称量词与存在量词1能够记住全称量词和存在量词的概念2学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假3理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定1全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题1x是命题吗？对任意的xR，x是命题吗？答案x不是命题，不能判断真假，而对任意的xR，x则是命题2全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？答案命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词3判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略()(2)“三

2、角形内角和是180”是存在量词命题()(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题()(4)内错角相等是全称量词命题()答案(1)(2)(3)(4)题型一全称量词命题与存在量词命题【典例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题(1)凸多边形的内角和等于360；(2)有的力的方向不定；(3)矩形的对角线不相等；(4)存在二次函数yax2bxc与x轴无交点思路导引找命题中的量词及其命题的含义解(1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360，故为全称量词命题(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题(4)含有量词“存在”，是存在量词命题

3、判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断针对训练1用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x2x10恒成立；(2)当x为有理数时，x2x1也是有理数；(3)方程3x2y10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直解(1)对任意实数x，不等式x2x10成立(2)对任意有理数x，x2x1是有理数(3)存在一对整数x，y，使3x2y10成立(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.题型二判断全称量词命题的真【典例2】判断下列全称量词命题

4、的真假(1)任意实数的平方均为正数(2)函数ykxb为一次函数(3)同弧所对的圆周角相等(4)xR，x233.解(1)假命题若这个实数为0，则其平方为0，不是正数所以“任意实数的平方均为正数”为假命题(2)假命题当k0时，ykxb不是一次函数，为常函数所以“函数ykxb为一次函数”是假命题(3)真命题根据圆周角的性质可知其为真命题(4)真命题xR，x20，故有x233成立判断全称量词命题真假的方法要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可针对训练2判断下列全称量词命题的真假(1)对每一个无理数x，x2也是无理数

5、(2)末位是零的整数，可以被5整除(3)xR，有|x1|1.解(1)因为是无理数，但()22是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题(3)当x0时，不满足|x1|1，所以“xR，有|x1|1”为假命题题型三存在量词命题真假的判断【典例3】判断下列存在量词命题的真假(1)有的集合中不含有任何元素(2)存在对角线不互相垂直的菱形(3)xR，满足3x220.(4)有些整数只有两个正因数解(1)由于空集中不含有任何元素因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题(2)由于所有

6、菱形的对角线都互相垂直所以不存在对角线不垂直的菱形因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题(3)xR，有3x220，因此存在量词命题“xR,3x220”是假命题(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题判断存在量词命题真假的方法判断存在量词命题“xM，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性若找到一个元素xM，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在xM，使p(x)成立，则该命题是假命题针对训练3判断下列存在量词命题的真假(1)有些二次方程只有一个实根(2)某些平行四边形是菱形(3)存在实数x1、x2，当x1x.解(1)由于

7、存在二次方程x24x40只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题(3)当x12，x21时有xx，故“存在实数x1、x2，当x1x”为真命题.题型四含有量词的命题的应用【典例4】已知命题“1x2，x2m0”为真命题，求实数m的取值范围解“1x2，x2m0”成立，x2m0对1x2恒成立又yx2在1x2上y随x增大而增大，yx2m的最小值为1m.1m0.解得m1.实数m的取值范围是m|m1变式若把本例中的“”改为“”，其他条件不变，求实数m的取值范围解“1x2，x2m0”成立，x2m0

8、在1x2有解又函数yx2在1x2上单调递增，函数yx2在1x2上的最大值为224.4m0，即m4.实数m的取值范围是m|m4求参数范围的2类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设针对训练4是否存在

9、实数m，使不等式mx22x50对于任意xR恒成立，并说明理由解不等式mx22x50可化为mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m使不等式mx22x50对于任意xR恒成立，此时需m4.5若存在一个实数x，使不等式mx22x50成立，求实数m的取值范围解不等式m(x22x5)0可化为mx22x5.令tx22x5，若存在一个实数x使不等式mx22x5成立，只需mtmin.又t(x1)24，tmin4，m4.所以所求实数m的取值范围是m|m4课堂归纳小结1判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词2判定全称量词命题的真假的方法：

10、定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假3判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.1下列命题中，不是全称量词命题的是()A任何一个实数乘0都等于0B自然数都是正整数C对于任意xZ,2x1是奇数D一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是存在量词命题答案D2下列命题中，存在量词命题的个数是()有些自然数是偶数；正方形是菱形；能被6整除的数也能被3整除；任意xR，yR，都有x2|y|0.A0B1C2D3解析命题含有存在量词；命题可以叙述为“所有的正方形都是菱形”

11、，故为全称量词命题；命题可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题是全称量词命题故有1个存在量词命题答案B3下列命题是“xR，x23”的另一种表述方法的是()A有一个xR，使得x23B对有些xR，使得x23C任选一个xR，使得x23D至少有一个xR，使得x23解析“xR，x23”是全称量词命题，改写时应使用全称量词答案C4对任意x8，xa恒成立，则实数a的取值范围是_解析对于任意x8，xa恒成立，大于8的数恒大于a，a8.答案a85判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假(1)xR，|x|20；(2)存在一个实数，使等式x2x80成立；(3)在平面直角坐

12、标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点解(1)存在量词命题xR，|x|0，|x|22，不存在xR，使|x|20.故命题为假命题(2)存在量词命题x2x820，命题为假命题(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题课后作业(八)复习巩固一、选择题1下列量词是全称量词的是()A至少有一个B存在C都是D有些答案C2下列命题：中国公民都有受教育的权利；每一个中学生都要接受爱国主义教育；有人既能写小说，也能搞发明创造；任何一个数除0，都等于0.其中全称量词命题的个数是()A1B2 C3D4解析都是全称量词命题，是存在量词命题答案C3下列命

13、题是存在量词命题的是()A一次函数的图象都是上升的或下降的B对任意xR，x2x10Bx，yR，x2y20CxQ，x2QDxZ，使x21解析首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x0时，x20；B项也不是真命题，因为当xy0时，x2y20；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题答案C5下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是()A斜三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C任意无理数的平方必是无理数D存在一个负数x，使2解析只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题因为是无理数，而()22不是无理数，所以C为假命题答案A二、填空题6“任意一个

14、不大于0的数的立方不大于0”用“”或“”符号表示为_解析命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“”符号可以表示为x0，x30.答案x0，x307给出下列四个命题：yxy1；矩形都不是梯形；x，yR，x2y21；等腰三角形的底边的高线、中线重合其中全称量词命题是_解析是全称量词命题，是存在量词命题答案8四个命题：xR，x23x20恒成立；xQ，x22；xR，x210；xR,4x22x13x2.其中真命题的个数为_解析当x1时，x23x20，故为假命题；因为x时，x22，而为无理数，故为假命题；因为x210(xR)恒成立，故为假命题；原不等式可

15、化为x22x10，即(x1)20，当x1时(x1)20，故为假命题答案0三、解答题9判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假(1)存在x，使得x20；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形的两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数解(1)存在量词命题如x2时，x20成立，所以是真命题(2)全称量词命题因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题(3)全称量词命题因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题(4)存在量词命题因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是

16、真命题10用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假(1)所有实数x都能使x2x10成立；(2)对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；(3)一定有整数x，y，使得3x2y10成立；(4)所有的有理数x都能使x2x1是有理数解(1)xR，使x2x10；真命题(2)a，bR，使axb0恰有一解；假命题如当a0，b0时，该方程的解有无数个(3)x，yZ，使3x2y10；真命题(4)xQ，使x2x1是有理数；真命题综合运用11下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是()A对任意的a，bR，都有a2b22a2b20，则“x0满足关于x的方程axb”的充要条件是()AxR，ax2bxaxbx0BxR，

17、ax2bxaxbx0CxR，ax2bxaxbx0DxR，ax2bxaxbx0解析由于a0，令函数yax2bxa2，故此函数图象的开口向上，且当x时，取得最小值，而x0满足关于x的方程axb，那么x0，故xR，ax2bxaxbx0，故选C.答案C13已知函数yx2bxc，则“c0”是“x0R，使xbx0c0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析x0R，使xbx0c0的充要条件是xbx0c0,4cb2.所以当c0时，一定有4cb2，即x0R，使xbx0c0.反之当x0R，使xbx0c0时，只要4cb2即可，不一定c0.故选A.答案A14若对于任意xR，都有ax22xa0，则实数a的取值范围是_解析依题意，得即a1.答案a|a0恒成立”是真命题，令(a1)240，得1a3，即a|1a3